高二数学月考试题及答案-许昌四校2015-2016学年高二下学期第一次联考(理)

许昌四校 2015-2016 学年高二下学期第一次联考 数学(理)
第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.命题“ ?x0 ? ? 0, ??? ,ln x0 ? x0 ?1 ”的否定( A. ?x0 ? ? 0, ??? ,ln x0 ? x0 ?1 C. ?x ? ? 0, ??? ,ln x ? x ?1 )

B. ?x0 ? ? 0, ??? ,ln x0 ? x0 ?1 D. ?x ? ? 0, ??? ,ln x ? x ?1

2.设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则 △ABC 的形状为 ( A. 锐角三角形 ) C. 钝角三角形 D. 不确定

B. 直角三角形
a

3.数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 bn ? 2 n (n ? N * ) ,则“数列 ?an ? 是等差数列”是“数列 ?bn ? 是等比 数列”的( ) B.必要但不充分条件 D.既不充分也必要条件

A.充分但不必要条件 C.充要条件

4.如图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别 为 e1﹑e2﹑e3﹑e4 ,其大小关系为( A. e1 ? e2 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e4 ? e3 )

B. e2 ? e1 ? e3 ? e4 D. e2 ? e1 ? e4 ? e3

, 0? ,离心率为 5.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F ?1
A.

1 ,则椭圆 C 的方程是( 2
D.



x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 5

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

6. 如图, 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75 ,

30 ,此时气球的高是 60m ,则河流的宽度 BC 等于(
A. 240( 3 ?1)m B. 180( 2 ?1)m



C. 120( 3 ?1)m

D. 30( 3 ? 1)m ) D. 150?

7.在 ?ABC 中,如果 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc ,那么 A 等于( A. 30 ? B. 60 ? C. 120?

8.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长都为 2,E,F,G 为 AB,AA1,A1C1 的中点,则 B1F 与平面 GEF 所成角的正弦值为( A. ). D.

3 5

B.

5 6

C.

3 3 10

3 6 10

9.如图,已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上有一点 A ,它关于原点的对称点为 B , a 2 b2
, ] ,则该 12 6

点 F 为双曲线的右焦点,且满足 AF ? BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? [ 双曲线离心率 e 的取值范围为( A. [ 3,2 ? 3] C. [ 2 ,2 ? 3] )

? ?

B. [ 2 , 3 ? 1] D. [ 3, 3 ? 1]

? 2 x ? y ? 10 ? 10.设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
A.



25 2

B.

49 2


C. 12

D. 14

11.下列命题中,正确命题的个数是(

3 3 ①命题“ ?x ? R ,使得 x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R ,都有 x ? 1 ? 0 ”.

②双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 中,F 为右焦点, A 为左顶点,点 B(0, b) 且 a2 b2
5 ?1 . 2

AB ? BF ? 0 ,则此双曲线的离心率为

?

?

③在△ABC 中,若角 A、B、C 的对边为 a、b、c ,若 cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则 a、c、b 成等比数列. ④已知 a, b 是夹角为 120 的单位向量, 则向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直的充要条件是 ? ? A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

5 . 4

12.设 x ? R , 对于使 ? x2 ? 2 x ≤ M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做

? x 2 ? 2 x 的上确界.若 a, b ? R ? ,且 a ? b ? 1 ,则 ?
A. ? 5 B. ?4 C.

1

2a 9
2

?

2 b

的上确界为( ) D. ?

9 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13.若命题“ ?x ? R, x ? ? a ?1? x ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是
2

. .

14.已知 a ? (2, ?1, 2) ,b ? (?1,3, ?3) ,c ? (13,6, ? ) ,若向量 a, b, c 共面, 则? ? 15.等差数列 ?an ?, ?bn? 的前 n 项和分别为 Sn、Tn ,若

Sn a 2n = ,则 11 =_________. b11 Tn 3n ? 1

16.已知 a ? b ,且 ab ? 1 ,则

a 2 ? b2 的最小值是_______. a ?b

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (1)求角 A 的大小; (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. b.

18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : “存在 x ? R,2 x ? ( m ? 1) x ?
2

1 x2 y2 ? 0 ”,命题 q :“曲线 C1 : 2 ? ? 1表 2 2m ? 8 m
x2 y2 ? ? 1表示双曲线” m ? t m ? t ?1

示焦点在 x 轴上的椭圆”,命题 s : “曲线 C 2 :

(1)若“ p 且 q ”是真命题,求 m 的取值范围; (2)若 q 是 s 的必要不充分条件,求 t 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (1)证明: AC ? AB1 ; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60? , AB ? BC ,求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点为 F (0,1) , (1)求抛物线 C 的方程; (2 )过点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,若直线 AO, BO 分别与直线 y ? x ? 2 交于

M , N 两点,求 | MN | 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)
2 设 Sn 是数列 [an } 的前 n 项和, a1 ? 1, S n ? an ? S n ?

? ?

1? ?(n ? 2) . 2?

(1)求 {an } 的通项; (2)设 bn ?

Sn ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

22. (本小题满分 12 分) 如图,已知双曲线 的左、右顶点分别为 A1、A2,动直线 l:y=kx+m 与圆 .

相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为 (1)求 k 的取值范围,并求 (2)记直线 的斜率为 的最小值; ,直线 的斜率为 ,那么

是定值吗?证明你的结论.

参考答案 一、选择题 1-5 CBCAD 6-10 CBABA 11-12 BD

二、填空题 13. ?1 ? a ? 3 三、解答题 17.解: (1)由 2asinB= ∵sinB≠0,∴sinA= 又 A 为锐角, 则 A= ;--------5 分 b,利用正弦定理得:2sinAsinB= sinB, 14.3 15.

21 32

16. 2 2

,-------3 分

(2)由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc?cosA,即 36=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc=64﹣3bc, ∴bc= ,又 sinA= ,--------8 分 .--------10 分
2

则 S△ABC= bcsinA=

18. :解: (1)若 p 为真: ? ? (m ? 1) ? 4 ? 2 ? 解得 m ? ?1 或 m ? 3 若 q 为真:则 ?

1 ?0 2

……1 分

…………2 分 ……………….3 分 …………..4 分 ……………6 分 …………….7 分 …………8 分

?m 2 ? 2m ? 8 ?2m ? 8 ? 0

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4 若“ p 且 q ”是真命题,则 ?

?m ? ?1或m ? 3 ?? 4 ? m ? ?2或m ? 4

解得 ? 4 ? m ? ?2 或 m ? 4

(2)若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? m ? t ? 1 由 q 是 s 的必要不充分条件, 则可得 {m | t ? m ? t ? 1} ? ? {m | ?4 ? m ? ?2 或 m ? 4}

……………9 分

即?

?t ? ?4 或t ? 4 ?t ? 1 ? ?2

………………11 分

解得 ? 4 ? t ? ?3 或 t ? 4

……………..12 分

19.解: (1)连接 BC1 ,交 B1C 于 O ,连接 AO . 因为侧面 BB1C1C 为菱形, 所以 B1C ? BC1 ,且 O 为 B1C 与 BC1 的中点. 又 AB ? B1C ,所以 B1C ? 平面 ABO ,故 B1C ? AO . 又 B1O ? CO ,故 AC ? AB1 .------4 分 (2)因为 AC ? AB1 ,且 O 为 B1C 的中点,所以 AO ? CO , 又因为 AB ? BC , ?BOA ? ?BOC .故 OA ? OB , 从而 OA ,OB,OB1 两两垂直.以 O 为坐标原点, OB 的方向为 x 轴正方向, OB 为单位 长,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz .

AB ? BC , 则 因 为 ?CBB1 ? 600 , 所 以 ?CBB 1 为等边三角形.又

A(0, 0,

3 3 3 ) , B(1, 0, 0) , B1 (0, , 0) , C (0, ? , 0) . 3 3 3
3 3 3 , ? ) , A1B1 ? AB ? (1, 0, ? ) , 3 3 3

AB1 ? (0,

B1C1 ? BC ? (?1, ?

3 , 0) . 3

? 3 3 y? z ? 0, ? ? ?n ? AB1 ? 0, ? 3 3 设 n ? ( x, y, z) 是平面 AA 即? 1B 1 的法向量,则 ? n ? A B ? 0, ? ? x ? 3 z ? 0, ? 1 1 ? 3 ?
所以可取 n ? (1, 3, 3) . 设 m 是平面 A1B1C1 的法向量,则 ?

? ?m ? A1 B1 ? 0, ? ?m ? B1C1 ? 0,

同理可取 m ? (1, ? 3, 3) .

则 cos ? n, m ??

n?m n m

?

1 . 7

所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 20.解:(1) 焦点为 F (0,1) ,

1 -------------------------12 分 7

p ? 1? p ? 2 ,所以 x 2 ? 4 y ---4 分 2

(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ,

x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 , | x1 ? x2 |? 4 k 2 ? 1 ---------6 分
y ? y? 1x 8 8 由? ,同理 x N ? , x1 得 x M ? 4 ? x1 4 ? x2 ? y ? x?2
所以 | MN |?

2 | xM ? x N | =

8 2 k 2 ?1 t?3 ,令 4k ? 3 ? t , t ? 0 ,则 k ? ,------8 分 | 4k ? 3 | 4

则 | MN |? 2 2

25 6 5 3 16 8 ?8 ? ? ?1 ? 2 2 ( ? )2 ? ? 2 ,范围为 ? 2 ,?? ? 2 t t 5 25 5 t ?5 ?
? ? 1? 1? ? 2 ?,? n ? 2 时, Sn ? ( Sn ? Sn ?1 )? Sn ? ? , 2? 2? ? 1 1 ? ? 2, S n S n?1

2 21.解: (1)? S n ? an ? Sn ?

整理得, S n ?1 ? S n ? 2S n ?1 S n ?

∴数列 {

1 1 } 是以 2 为公差的等差数列,其首项为 ? 1 .----------4 分 S1 sn

?1, n ? 1 2 2S n 1 1 ? ? ? 1 ? 2(n ? 1) ? S n ? ,? an ? ?? ?2 ,n ? 2 S1 2n ? 1 2S n ? 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 3) ----------6 分
(2)由(1)知, bn ?

Sn 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

?Tn ?
? Tn ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
1 1 n (1 ? )? .--------------12 分 2 2n ? 1 2n ? 1
∴m2=1+k2,①---2 分

22.解: (1)∵l 与圆相切,∴1=









∴ 由于

,∴ ,

,故 k 的取值范围为(-1,1).----4 分







∴当 ,

时,

取最小值为 2

.----6 分

(2)由已知可得 ∴ ,

的坐标分别为(-1,0),(1,0), ,-------8 分





=











由①,得 ∴ =

,--------10 分 =-(3+2 )为定值.-----12 分


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