高中数学概率与统计试题

十三、《概率与统计》变式题(命题人:广州市第三中学 刘窗洲)

审校人 张志红

1.(人教 A 版选修 2-3 第 66 页例 4)

某射手每次射击击中目标的概率是 0.8 ,求这名射手在 10 次射击中,

(1)恰有 8 次击中目标的概率;

(2)至少有 8 次击中目标的概率 ?

变式 1:某人参加一次考试,4道题中解对3道则为及格,已知他的解题正确率为 0.4 ,则

他能及格的概率为



【 解 析 】: 他 能 及 格 则 要 解 对 4 道 题 中 解 对 3 道 或 4 道 : 解 对 3 道 的 概 率 为 :

P( A) ? C43 0.43 ? 0.6 ,解对 4 道的概率为: P(B) ? C44 0.44 ,且 A 与 B 互斥,他能及格的

概率为

P(

A

?

B)

?

C43

0.43

?

0.6

?

C

4 4

0.4 4



变式 2:设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 0.7、0.6 和 0.5。 (1) 三人各向目标射击一次,求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标 的概率; (2) 若甲单独向目标射击三次,求他恰好命中两次的概率.
【解析】(I)设 AK 表示“第 k 人命中目标”,k=1,2,3.

这里,A1,A2,A3 独立,且 P(A1)=0.7,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5.

从而,至少有一人命中目标的概率为

恰有两人命中目标的概率为

答:至少有一人命中目标的概率为 0.94,恰有两人命中目标的概率为 0.44.

(II)设甲每次射击为一次试验,从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中 事件“命中目标”发生的概率为 0.7,故所求概率为

答:他恰好命中两次的概率为 0.441.

变式 3:在 2004 年雅典奥运会中,中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛,根

据以往战况,中国女排在每一局赢的概率为 3 , 5
局,求:

已知比赛中,俄罗斯女排先胜了每一

(1) 中国女排在这种情况下取胜的概率;

(2) 求本场比赛只打四局就结束的概率.(均用分数作答)

【解析】(1)中国女排取胜的情况有两种,第一种是中国女排连胜三局,第二种是在第 2 局

到第 4 局,中国女排赢了两局,第 5 局中国女排赢,∴中国女排取胜的概率为

(3)3 5

?

C 32

?(3)2 5

?

2 5

?

3 5

?

297 . 625

(2)

C 21

?(2)2 5

?

3 5

?

(3)3 5

?

51 . 125

变式 4: 一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次,正面向上恰为 1 次的可能性不为 0,而且与正面

向上恰为 2 次的概率相同.令既约分数 i 为硬币在 5 次抛掷中有 3 次正面向上的概率,求 j

i? j.
【解析】设正面向上的概率为 P,依题意:

C51P?1? P?4 ? C52 P2 ?1? P?3 ,1-P=2P,
解得: P ? 1 , 3
硬币在 5 次抛掷中有 3 次正面向上的概率为:

C53P3 ?1 ?

P?2

?

C53

?? ?

1 3

?? ?

3

??1 ?

?

1 ??2 3?

?

40 . 243

2.(人教 A 版选修 2-3 第 77 页例 4)

随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数 X 的均值、方差和标准差。

变式 1:设某射手每次射击打中目标的概率为 0.8 ,现在连续射击4次,求击中目标的次数

ξ 的概率分布.

【解析】击中目标的次数ξ 可能为 0,1,2,3,4。

当ξ =0 时, P?? ? 0? ? C40 0.24 ,

当ξ

=1 时, P??

?

1?

?

C

1 4

0.81

?

0.23



当ξ =2 时, P?? ? 2? ? C42 0.82 ? 0.22 ,

当ξ

=3 时, P??

?

3?

?

C

3 4

0.83

?

0.21



当ξ

=4 时, P??

?

4?

?

C

4 4

0.84



所以ξ 的分布列为:

ξ

0

1

2

P

3

4

变式 2:袋中有12个大小规格相同的球,其中含有2个红球,从中任取3个球,求取出的 3个球中红球个数ξ 的概率分布.
【解析】ξ 的所有可能的取值为:0,1,2.

当ξ =0 时, P?? ? 0? ? C130 ,
C132

? ? 当ξ

=1 时, P ?

?1

? C21C120 C132



当ξ =2 时, P?? ? 2? ? C22C110 ,
C132

ξ

0

1

2

P

评述: C130 C132

+

C21C120 C132

+

C 22 C110 C132

= 120 ? 90 ? 10 =1. 220

变式 3:从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量? 表示所选 3 人中女

生的人数.

(1)求? 的分布列;

(2)求? 的数学期望;

(3)求“所选 3 人中女生人数? ? 1 ”的概率.

【解析】(1)? 可能取的值为 0,1,2。 P(? ? k) ? C2k ? C43?k , k ? 0, 1, 2 . C63
所以,? 的分布列为

0

1

2

P
(2)由(1),? 的数学期望为 E? ? 0 ? 1 ? 1? 3 ? 2 ? 1 ? 1 55 5
(3)由(1),“所选 3 人中女生人数? ? 1 ”的概率为

P(? ? 1) ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 4 . 5
变式 4:甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题,乙能答对其中的 8 题.规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格.

(Ⅰ)求甲答对试题数ξ 的概率分布及数学期望;

(Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.

【解析】(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ 的概率分布如下:

ξ

0123

P

甲答对试题数ξ 的数学期望
Eξ =0× 1 +1× 3 +2× 1 +3× 1 = 9 . 30 10 2 6 5
(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则

P(A)= C62C41 ? C63 = 60 ? 20 = 2 ,P(B)= C82C21 ? C83 = 56 ? 56 = 14 .

C130

120 3

C130

120 15

因为事件 A、B 相互独立,

方法一:

∴甲、乙两人考试均不合格的概率为
P( A ? B )=P( A )P( B )=1- 2 )(1- 14 )= 1 . 3 15 45
∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P=1-P( A ? B )=1- 1 = 44 . 45 45
答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 44 . 45
方法二:

∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为

P=P(A· B )+P( A ·B)+P(A·B)=P(A)P( B )+P( A )P(B)+P(A)P(B) = 2 × 1 + 1 × 14 + 2 × 14 = 44 .
3 15 3 15 3 15 45 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 44 .
45
3.(人教 A 版选修 2-3 第 86 页 B 组 2)
若 X ~ N(5,1) ,求 P(6 ? X ? 7) 。

变式 1:随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),如果 P(ξ<1)=0.8413,求 P(-1<ξ<0). 【解析】∵ξ~N(0,1), ∴P(-1<ξ<0)=P(0<ξ<1)=Φ(1)-Φ(0)=0.8413-0.5=0.3413.

变式 2:一投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润 x(万元)分别服从 正态分布 N(8,32)和 N(6,22),投资者要求利润超过 5 万元的概率尽量地大,那么他应 选择哪一个方案
【解析】对第一个方案,有 x~N(8,32),于是 P(x>5)=1-P(x≤5)=1-F(5)=1 -Φ( 5 ? 8 )=1-Φ(-1)=1-[1-Φ(1)]=Φ(1)=0.8413.
3 对第二个方案,有 x~N(6,22),于是 P(x>5)=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ( 5 ? 6 )
2 =1-Φ(-0.5)=Φ(0.5)=0.6915.
相比之下,“利润超过 5 万元”的概率以第一个方案为好,可选第一个方案.
变式 3:在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N ?70,100 ?.

已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 12 名. (Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人? (Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?
可供查阅的(部分)标准正态分布表??x0 ? ? P?x ? x0 ?

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9278 0.9292 0.9306 0.9319 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9762 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

【解析】:本小题主要考查正态分布,对独立事件的概念和标准正态分布的查阅,考查运 用概率统计知识解决实际问题的能力.

【解答】(Ⅰ)设参赛学生的分数为? ,因为? ~N(70,100),由条件知, P(? ≥90)=1-P(? <90)=1-F(90)=1- ? (90 ? 70) =1- ? (2)=1-0.9772=0.228.
10
这说明成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生人数约占全体参赛人数的 2.28%,因此,

参赛总人数约为 12 ≈526(人). 0.0228

(Ⅱ)假定设奖的分数线为 x 分,则

P(? ≥x)=1-P(? <x)=1-F(x)=1- ? ( x ? 70) = 50 =0.0951, 10 526

即 ? ( x ? 70) =0.9049,查表得 x ? 70 ≈1.31,解得 x=83.1.

10

10

故设奖得分数线约为 83.1 分.

4.(人教 A 版选修 2-3 第 100 页例 2)
一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关,现收集了 7 组观测数据列于表中,试建立 y 与 x 之间的回归方程。 温度 x / 0C 21 23 25 27 29 32 35

产卵数 y / 个 7 11 21 24 66 115 325

变式 1:为了对 2006 年佛山市中考成绩进行分析,在 60 分以上的全体同学中随机抽出 8 位, 他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表,

学生编号

1

2

3

4

5

6

7

8

数学分数 x 60

65

70

75

80

85

90

95

物理分数 y 72

77

80

84

88

90

93

95

化学分数 z 67

72

76

80

84

87

90

92

(1) 若规定 85 分(包括 85 分)以上为优秀,求这 8 位同学中数学和物理分数均为优秀的

概率;

(2) 用变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度;

(3) 求 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01),并用相关指数比较所求回归 模型的效果.

8

8

? ? 参考数据: x ? 77.5, y ? 85 , z ? 81, (xi ? x )2 ? 1050 , ( yi ? y )2 ? 456 ,

i ?1

i ?1

8

8

8

? ? ? (zi ? z )2 ? 550 ,

(xi ? x )( yi ? y ) ? 688 ,

(xi ? x )( zi ? z ) ? 755 ,

i ?1

i ?1

i ?1

8

8

? ? ( yi ? y?i )2 ? 7 , (zi ? z?i )2 ? 94 , 1050 ? 32 .4, 456 ? 21.4, 550 ? 23.5 .

i ?1

i ?1

解答:(1) 由表中可以看出,所选出的 8 位同学中,数学和物理分数均为优秀的人数是 3

人,其概率是 3 . ………………………………………………………………………………………………………3 分 8
(2) 变量 y 与 x、z 与 x 的相关系数分别是

r ? 688 ? 0.99 、 r? ? 755 ? 0.99 . ……………………………………………5 分

32.4 ? 21.4

32.4 ? 23.5

可以看出,物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. …………………………6 分

(3) 设 y 与 x、z 与 x 的线性回归方程分别是 y? ? bx ? a 、 z? ? b?x ? a? . 根据所给的数据,可以计算出 b ? 688 ? 0.65 , a ? 85 ? 0.65* 77.5 ? 34.63 ,
1050 b? ? 755 ? 0.72 , a? ? 81? 0.72 * 77.5 ? 25.20 . ……………………………………………………10 分
1050 所以 y 与 x 和 z 与 x 的回归方程分别是

y? ? 0.65x ? 34.63 、 z? ? 0.72x ? 25.20 . …………………………………………………………11 分

又 y 与 x、z 与 x 的相关指数是 R2 ? 1 ? 7 ? 0.98 、 R?2 ? 1 ? 94 ? 0.83. ……13 分

456

550

故回归模型 y? ? 0.65x ? 34.63 比回归模型 z? ? 0.72x ? 25.20 的拟合的效果好. …14 分


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