2012年浙江高考数学(理科)试卷分析1

2012 年普通高等学校招生全国同一考试(浙江卷) 数 学(理科)

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 5 页,选择题部分 1 至 3 页,非选择题部 分 4 至 5 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 选择题部分(共 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写 在试卷和答题纸规定的位置上. 2. 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么
P ? A ? B? ? P ? A? ? P ?B ?

柱体的体积公式
V ? Sh

如果事件 A,B 相互独立,那么 柱体的高
P ? A ? B? ? P ? A?? P ?B ?

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示 锥体的体积公式
V ? 1 3 Sh

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 锥体的高
Pn ? k ? ? C n p
k k

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示

?1 ? p ?

n?k

, ? k ? 0,1, 2, ? , n ?

球的表面积公式
S ? 4 πR
2

台体的体积公式
V ? 1 3 h S1 ?

?

S1 S 2 ? S 2

?

球的体积公式
V ? 4 3 πR
3

其中 S 1 , S 2 分别表示台体的上底、下底面积,

h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)= A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)

【解析】A=(1,4),B=[-1,3],则 A∩( C RB)=(3,4). 【答案】B

【考点定位】本题主要考察集合的概念与运算,是常见和常考的问题。

2.已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i 【解析】
3+i 1? i

3+i 1? i

= C.2+i =1+2i. D.1+2i

B.2-i =
( 3 ? i )( 1 ? i ) (1 ? i )( 1 ? i )



2 ? 4i 2

【答案】D 【考点定位】本题主要考察复数的代数运算及复数的定义,是复数的内容的主要考点。

3.设 a ? R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线 l1 与直线 l2 平行,则有: 【答案】A 【考点定位】本题主要考察逻辑语言中的充分必要条件,同时联系到两条直线的位置关 系。
a 1 ? 2 a ?1

,解之得: a 1 ? 1, a 2 ? ? 2 .所以为充分不必要条件.

4.把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左 平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)

得: 1=cosx+1, y 向左平移 1 个单位长度得: 2=cos(x+1)+1, y 再向下平移 1 个单位长度得: y3=cos(x+1).令 x=0,得:y3>0;x= 【答案】A 【考点定位】本题考察三角函数的图像变化,三角变换是三角函数图象内容的一个重要 考点 5.设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实 数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B: 若 a⊥b,由长方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,当 λ>0 时,a 与 b 同向,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 【答案】C 【考点定位】本题主要考察向量的概念和线性运算,理解向量的概念,掌握平行四边形 法则,三角形法则是根本。
?
2 ? 1 ,得:y3=0;观察即得答案.

6.若从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共 有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种

【解析】1,2,3,?,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的 数其和为偶数,则取法有: 4 个都是偶数: C 4 ? 1 种;
4

2 个偶数,2 个奇数: C 52 C 42 4 个都是奇数: C 54
? 5

? 60

种;

种.

∴不同的取法共有 66 种. 【答案】D

【考点定位】主要考察分类组合,考察分析问题和解决问题的能力,学会分类处理是关 键。

7.设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 【解析】S n ?
d 2 n ? ( a1 ?
2

d 2

)n , 可以看作是关于 n 的一元二次函数, A 选项, d<0 对 当

时,数列{S n}明显的有最大项;同理,B 选项也正确;选项 C 显然是错的,举出反例:—1, 0,1,2,3,?.满足数列{S n}是递增数列,但是 S n>0 不成立.对于选项 D,由于 S n>0, 所以就有 Sn+1>S n ,故 D 正确。 【答案】C 【考点定位】考察数列概念,前 N 项和的单调性,明确数列的有关概念和性质是关键 8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a,b>0)的左右焦点,B

是虚轴的端点,直

线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P, 两点, Q 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M. 若 |MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是 A. C.
2 3 3
2

B. D.

6 2
3

【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .
c c
b ? ? y= ( x+ c ) ac ? c x.由 ? ,得:Q( a c? a ? y= b x ? a ?

b

b

直线 PQ 为:y= (x+c),两条渐近线为:y=
c

b

b



bc c? a

);

b ? ? y= ( x+ c ) ? ac ? c 由? ,得:P( b c? a ? y= - x ? a ?



bc c? a

).∴直线 MN 为:y-

bc c? a

=﹣ (x-
c

b

? ac c? a

),

令 y=0 得:xM= 即 e=
6 2

c
2

3 2

c ? a

.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=

c
2

3 2

c ? a

,解之得:e 2

?

c a

2 a

?

3 2





【答案】B 【考点定位】 考察双曲线的标准方程和简单的几何性质, 求离心率一般先列出关于 a、 b、 c 的等式,再求解。 9.设 a>0,b>0. A.若 2 a B.若 2 a C.若 2 a D.若 2 a
? 2 a ? 2 ? 3b
b

,则 a>b ,则 a<b ,则 a>b ,则 a<b
b

? 2 a ? 2 ? 3b
b

? 2 a ? 2 ? 3b
b

? 2 a ? 2 ? 3b
b

【解析】若 2a
x f ? ? x ? ? 2 ? l n 2?

? 2a ? 2 ? 3 b

,必有 2a

? 2a ? 2 ? 2 b
b

.构造函数:

f

? x?

? 2 ? 2x
x

,则

2 ?

0 恒成立, 故有函数 f

? x?

? 2 ? 2x
x

在 x>0 上单调递增, a>b 成立. 即 其

余选项用同样方法排除. 【答案】A 【考点定位】考察函数的性质和比较大小,利用单调性比较大小是常用的方法,而单调 性除了用初等函数的性质来判断外,还有求导法。 10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 着,在翻着过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , , 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可 知选项 B 是正确的. 【答案】B 【考点定位】考察空间图形的形状大小位置的变化规律,动手可以直观的感受到其中的 奥妙。
2

.将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻

2012 年普通高等学校招生全国同一考试(浙江卷) 数 学(理科)

非选择题部分(共 100 分) 注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描 黑. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三 棱锥的体积等于_____1______cm3. 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于
1 2 ? 3 ?1? 2 ? 1 3 ? 1.

【答案】1 【考点定位】考察空间几何的三视图,及多面体体积的求法。 12.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 _________
1 120

_____.

【解析】T,i 关系如下图: T i 【答案】 1 2
1 120 1 2 1 6 1 24 1 120

3

4

5

6

【考点定位】考察算法的功能,机构,基本思想,要明确其算理掌握运 算功能 13.设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若
S 2 ? 3a2 ? 2

, S4

? 3a4 ? 2

,则 q=______________.
? 3a4 ? 2

【解析】将 S 2

? 3a2 ? 2

, S4

两个式子全部转化成用 a 1 ,q 表示的式子.

2 ? 1? q a1 ? 3 a1 q ? 2 ? 3 ? 1? q 2 即? ,两式作差得: 2 q ? 3 q ? 0 ,解之得: q ? 或 q ? 0 ( 舍去 ) . 4 1? q 2 3 ?a ? 3 a1 q ? 2 1 ? 1? q ?

【答案】

3 2

【考点定位】考察数列的通项公式、求和公式。 14.若将函数 f ? x ?
f

? x

5

表示为
2 5

? x?

? a 0 ? a1 ? 1 ? x ? ? a 2 ? 1 ? x ? ? ? ? a 5 ? 1 ? x ?

其中 a 0 , a 1 , a 2 ,?, a 5 为实数,则 a 3 =______________. 【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
? a5 ? 1 ? ? a4 ? 0 ?C 3a ? C 1a ? a ? 0 4 4 3 ? 5 5

即: ? C 54 a 5

?

a3 ? 10



法二: 对等式: f ? x ?
60 x
2

? x ? a 0 ? a1 ? 1 ? x ? ? a 2 ? 1 ? x ? ? ? ? a 5 ? 1 ? x ?
5 2
2

5

两边连续对 x 求导三次得:
? 6 a3

? 6 a 3 ? 2 4 a 4 (1 ? x ) ? 6 0 a 5 (1 ? x )

,再运用赋值法,令 x

? ?1

得: 6 0

,即 a 3

? 10



【答案】10 【考点定位】考察二项式定理和函数的综合,通过二项式展开的系数与函数式的系数相 等来解。 15.在 ? ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 A B ? A C =______________. 【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= cos∠BAC=
34 ? 34 ? 100 2 ? 34 ? ?
34 ??? ???? ?

. . A B ? A C = AB AC cos ? BAC ? 34 ? ( ?
??? ???? ?

8 17

8 17

) ? ? 16

【答案】-16 【考点定位】考察三角形平面和向量的数量积,常见的题型用特例法。 16.定义:曲线 C 上的点到直线 L 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 L 的距离.已知曲线 C1:y=x 2+a 到直线 L:y=x 的距离等于 C2:x 2+(y+4) 2 =2 到直线 L:y=x 的距离, 则实数 a=______________. 【解析】C2 :x 2 +(y+4)
2

=2,圆心(0,—4),圆心到直线 l:y=x 的距离为:

d ?

0 ? (?4) 2

? 2

2

,故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为 d ? ?
2x ? 0

d ?r ? d ?

2 ?

2



另一方面:曲线 C1:y=x 2+a,令 y ? ?

,得: x
1 4 2

?

1 2

,曲线 C1:y=x 2+a 到直线 l:
1 ?a ? a ? 2

1

?(

? a) ?

y=x 的距离的点为( ,
2 7

1

1 4

? a

), d ' ?

2 ?

2

4

9 4

或a ? ?

7 4

。当

a=- 时,曲线 C1 与直线 L 相交,距离为零,故 a ?
4

9 4



【答案】 a ?

9 4

【考点定位】通过新定义来考察直线与圆的位置关系,要先理解定义,结合直线与圆的 位置知识来求解。 17.设 a ? R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x 2-ax-1)≥0,则 a=______________. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况: (A) ? (B) ?
? ( a- 1) x- 1 ? 0 ? x - a x- 1 ? 0
2

, 无解; , 无解.

? ( a- 1) x- 1 ? 0 ? x - a x- 1 ? 0
2

因为受到经验的影响, 会认为本题可能是错题或者解不出本题. 其实在 x>0 的整个区间 上, 我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?), 在各自的区间内恒正或恒负. (如下答图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x 2-ax-1 都过定点 P(0,1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( 考查函数 y2=x 2-ax-1:显然过点 M( 得: a ? 0 或 a ?
3 2
1 a ?1 1 a ?1

,0),还可分析得:a>1;
? a ? ?1? 0 ? ? a ?1? a ?1 ? 1
2

,0),代入得: ?
3 2

,解之

,舍去 a ? 0 ,得答案: a ?



【答案】 a ?

3 2

【考点定位】考察参数不等式的解法,既可数形结合法,也可分类讨论法。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解 ( 1 ) 设 数 列
?2
n ?1

{2

n ?1

an}

的前 n 项和为

Tn

,则

Tn ? n

2

……………2 分

? T n ? T n ? 1 , n ? 2 ? 2 n ? 1, n ? 2 * an ? ? ? ? ? 2 n ? 1( n ? N ) 1,    n ? 1 T 1     n ? 1 ? ?
2n ? 1 2
n ?1

an ?

…………………………………………6 分
3 2 5 2 ? 5 2
2

(2)由

Sn ? 1?

? ... ?

2n ? 3 2
n?2

?

2n ? 1 2
n ?1



2S n ? 2 ? 3 ?

?

7 2
2

? ... ?

2n ? 1 2
n?2

②……………………………8 分
2 2
n?2

由②-①得, 分
2 (1 ? ? 2? 1?
? 6? 2n ? 3 2
n ?1

Sn ? 2 ? 2 ?

2 2

?

2 2
2

? ... ?

?

2n ? 1 2
n ?1

………………………. .……10

1 2 1
n ?1

) ?

2n ? 1 2
n ?1

2

18.(本小题满分 12 分)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA= ,
3

2

sinB=

5

cosC.

(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a=
2

,求 ? ABC 的面积.

【解析】本题主要考察三角恒等变换,正弦定理,余弦定理及三角形面积求法等知识点。 (Ⅰ)∵cosA= >0,∴sinA=
3 2

1 ? cos A ?
2

5 3





5

cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =
5 3

cosC+ sinC.
3
5

2

整理得:tanC=



(Ⅱ)由 tanC=

5

及 sinB=

5

cosC 可知 cosC>0,故可求出 sinC=

5 6

,cosC=

1 6

.所以,

sinB=

5 6

又由正弦定理知:
1 2

a s in A

?

c s in C


1 2 5 6

故c

?

3

.又 S ?

ac sin B =

?

2?

3?

=

5 2

∴ ? ABC 的面积为:S= 【答案】(Ⅰ)
5

5 2



;(Ⅱ)

5 2



【考点定位】考察三角函数求值,解三角形,是常见题型。 19.(本小题满分 13 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且规定:取出一个白球得 2 分,取 出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P ( X ? 3) ? C5 C9
3 3

?

5 42



P ( X ? 4) ?

C5 C4 C9
3

2

1

?

20 42

?

10 21



P ( X ? 5) ?

C 5C 4 C9
3

1

2

?

15 42

?

5 14



P ( X ? 6) ?

C4 C9

3 3

?

2 42

?

1 21



故,所求 X 的分布列为 X P 3
5 42

4
10 21

5
5 14

6
1 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:

E(X)= 3 ?

5 42

? 4?

10 21

? 5?

5 14

? 6?

1 21

?

13 3



【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

13 3



【考点定位】考察离散型随机变量的分布列和期望,首先要先明确随机变量的可能取值,再 正确的求概率,然后求期望即可。 20.(本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中, ? BAD ? 120 得,
0

3

的菱形,且∠BAD=

6

,M,N 分别为 PB,PD 的中点.

AC=AB=BC=CD=DA

BD ?

3 AB

由因为 PA ? 面 ABCD,所以
PA ? AB , PA ? AC , PA ? AD

所以 PB=PC=PD.所以 ? PBC ? ? PDC 。而 M、N 分别是 PB、PD 的中点,所以 MQ=NQ,且 AM=
1 2 PB ? 1 2 PD ? AN

取线段 MN 的中点 E,连结 AE、EQ,则 AE ? MN , QE ? MN , 所以 ? AEQ 为二面角 A ? MN ? Q 的平面角。
1 2

由 AB= 2 3 , PA ? 2 6 ,故在△AMN 中,AM=AN=3,MN=

BD=3,得 AE ?

3 3 2

在 Rt△PAC 中, AQ ? PC ,得 AQ= 2 2 ,QC=2,PQ=4

在△PBC 中, cos ? BPC ?

PB

2

? PC

2

? BC

2

2 PB ? PC

?

5 6

,得

MQ ?

PM

2

? PQ

2

? 2 PM ? PQ cos ? BPC

?

5

在等腰△MQN 中,MQ=NQ= 5 ,MN=3,得 QE ?

MQ

2

? ME

2

?

11 2

在△AEQ 中, AE ?

3 3 2

, QE ?

11 2

, AQ ? 2 2 ,得

cos ? AEQ ?

AE

2

? QE

2

? AQ

2

2 AE ? QE

?

33 33
10 5

∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
10 5





【考点定位】考察平行关系的证明与二面角的求解,掌握定理,正确理解空间位置是关键。 21.(本小题满分 13 分)如图,椭圆 C:
1

x a

2 2

+

y b

2 2

?1

(a>b>0)
10

的离心率为 , 其左焦点到点 P(2, 1)的距离为
2

. 不

过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. 【解析】 (Ⅰ)由题: e
? c a ? 1 2

; (1)
? (2 ? c) ? 1 ?
2 2

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d 由(1) (2)可解得: a 2
? 4, b
2

10

. (2)

? 3, c
2

2

?1.

∴所求椭圆 C 的方程为:

x

+

y

2

?1



4

3

(Ⅱ)设 A ( x 1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,线段 AB 的中点为 R

当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的条件不符,舍去。故 可设直线 AB 的方程为
y ? kx ? b ( b ? 0 )

? y ? kx ? b ? 2 2 2 2 由? x2 消去 y 整理得, ( 4 k ? 3 ) x ? 8 kbx ? 4 b ? 12 ? 0 (1) 则 y ? ?1 ? 4 3 ?

8 kb ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 2 2 2 2 4k ? 3 ? ? 64 k b ? 4 ( 4 k ? 3 )( 4 b ? 12 ) ? 0 , ? 2 4 b ? 12 ? x x ? 2 ? 1 2 4k ? 3 ?

所以线段 AB 的中点 R 坐标为 ( ?
3b 3 ? 4k
2

4 kb
2

4k ? 3 4k ? 3
2

,

3b 3 2

) ,因为 R 在 OP 直线上,所以有

?

? 2 kb 3 ? 4k
2

,得 b=0(舍去)或 k ? ?
2 2

此时方程(1)为 3 x ? 3 bx ? b ? 3 ? 0 ,则
? x1 ? x 2 ? b ? 2 ? ? 3 (12 ? b ) ? 0 , ? x x ? b ? 3 ? 1 2 3 ?
2

所以,

AB ?

1? k

2

x1 ? x 2 ?

39 6

?

12 ? b

2

设 P 到直线 AB 的距离为 d,则
d ? 8 ? 2b 9?4 ? 2b?4 13

设 △ ABP 的 面 积 为 S , 则 S ?

1 2

AB ? d ?

3 6

?

( b ? 4 ) (12 ? b ) , 其 中
2 2

b ? ( ? 2 3 ,0 ) ? ( 0 , 2 3 ) 。

令 f ( b ) ? (12 ? b )( b ? 4 ) , b ? ( ? 2 3 , 0 ) ? ( 0 , 2 3 )
2 2

f ( b ) ? ? 4 ( b ? 4 )( b ? 2 b ? 6 ) ? ? 4 ( b ? 4 )( b ? 1 ?
' 2

7 )( b ? 1 ?

7)

所以当且仅当 b ? 1 ?

7 ,f(x)有最大值,即△APB 的面积最大。

综上,直线 l 的方程为 3 x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0 【答案】 (Ⅰ)
x
2

+

y

2

?1

;(Ⅱ) 3 x ? 2 y ? 2 7 ? 2 ? 0

4

3

【考点定位】该题综合考察椭圆的标准方程,直线和椭圆的位置关系。 22.(本小题满分 14 分)已知 a>0,b ? R,函数 f ? x ? (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 f ? x ? 的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ)
f
? 4 ax ? 2bx ? a ? b
3



? x ? +|2a-b|﹢a≥0;

(Ⅱ) 若﹣1≤ f ? x ? ≤1 对 x ? [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ)
2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2b

. >0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|﹢a;

当 b≤0 时,

2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2 b

此时 f ? x ? 的最大值为: f ? 1 ? 当 b>0 时,

? 4 a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b

2 f ? ? x ? ? 12 ax ? 2 b

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

此时 f ? x ? 的最大值为:
f m ax

? x?

? b ? a, b ? 2 a ? m a x { f (0 ), (1) ? m a x { ( b ? a ), ( 3 a ? b )} ? ? f } b ? 3 a ? b, ? 2 a

=|2a-b|﹢a;

综上所述:函数 f ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; (ⅱ) 要证 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0,即证 g ? x ? =﹣ f ? x ? ≤|2a-b|﹢a. 亦即证 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a, ∵ g ? x?
? ? 4 ax ? 2bx ? a ? b
3

,∴令 g ? ? x ?

? ? 12 ax ? 2b ? 0
2

?

x ?

b 6a



当 b≤0 时, g ? ? x ?

? ? 1 2 a x ? 2b
2

<0 在 0≤x≤1 上恒成立,

此时 g ? x ? 的最大值为: g ? 0 ? 当 b<0 时, g ? ? x ?
g m ax
2

? a ? b ? 3a ? b

=|2a-b|﹢a;

? ? 1 2 a x ? 2b
b 6a

在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

? x?

? m ax{ g (

), g 1) ( }

? m ax {

4 3

b

b 6a

? a ? b, b ? 2 a }

?4 b b ? a ? b, ? 6 a ? b ? ?3 6a b ? 6a ? ? b ? 2 a,

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 g ? x ? 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a. 即 f ? x ? +|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 0 ? x ? 1 , f ( x ) max ? 2 a ? b ? a ,所以 2 a ? b ? a ? 1 若 2 a ? b ? a ? 1 ,则由(ii)知 f ( x ) ? ? ( 2 a ? b ? a ) ? ? 1 所以 ? 1 ? f ( x ) ? 1 对任意 0 ? x ? 1 恒成立的充要条件是
?2a ? b ? 0 ?2a ? b ? 0 ? ? 即 ? 3 a ? b ? 1 , 或 ? b ? a ? 1 (1) ? a ? 0 ? a ? 0 ? ?

? 2a ? b ? a ? 1 ? a ? 0 ?

在直角坐标系 aob 中, (1)所表示的区域为如图所示的阴影部分,其中不包括线段 BC 作 一 组 平 行 直 线
?1 ? a ? b ? 3。

a+b=t( t ? R

), 得

所以 a+b 的取值范围是 ? ? 1, 3 ?

【考点定位】 本题是导数的综合应用题, 考察函数的单调性, 最值,证明不等式及恒成立问题。


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