数学问题解答_图文

62

数 学通报

20 10 年

第 49 卷

第6 期

数学问题解答
20 1 0 年 5 月号问题解答
(解 答 由问题 提供 人给 出)
由点 E , D 在 以 B , C 为焦 点 的椭 圆 上 知 C D cos 一 厄一 一
C O S

a一C

1851 在 A B C 中 , 以 B , C 为焦点的椭 圆分别 交边 A B , A C 于点 E , D .证明: A B D 与 A CE
有相 同的 内心.

+ B D 一B E + C E , 进 而有

05
CO S

些 譬 一 2

a+ C
2

(山东 宁 阳第 一 中学
证明

刘 才华

27 14 00 )
A BD , A CE

1 12 = 1 12 拼

B l . sin 粤 乙
C O S

C l

S

n

卫 2


设 匕 B A C = A , 匕 A B C = B , 艺A C B = C , ABC,
C
S ln

C + a
2

CO S

B 土夕 + B 旦

乙D B C = a , / E C B 一夕 ,

a
S ln

一 B 2
. S ln

的内心分 别 为 I , I, , I: , 因 它 们 都 在 / A 平 分 线 A l 上 , 则 点 I , I, , I: 共线 , 11 , I: 在 点 I 的 同侧 .在
B lll 中 , / B lll =
A + B 一a
2

万 ! ?m 厄
C 十a

卫 2


cos 万 一
C 一a
CO S # CO S

C O S

B 十召 旦 土夕
2

艺A B ll +

乙B A I, =

C+ a
2

C O S

旦 二 夕_
C O S

C O S

旦 土吞
2


, 由正 弦定 理 得
CO S

C+ a
2

#

些空
2

Co s 几犷
CO S

a一C

旦 甥 一 2
CO S

a+ C
2

故 点 I ?, I: 重合 , 即

A BD


11: Bl 二 二 B l . sin乙 IB ll
一一一 屯 一一一万下两下, 下万一 -

A C E 有相 同 的内心. 如 图 , 角/ M A N 内有一 点 D , 过 D 点 的 直

185 2

-二 - - - 丁二二二代厂 -

- : - - - : 爪二下- 二 , 1 1 , -

5In 乙 1 万1 1

sln 乙 廿 1 11



sln 乙 力1 1 1

线 l 与两 边交 于两 点 B ? C,

B I

一 B 2
n

B 一a ?
一 -代 二 -- l 乙 j

一,

.

a

力 1 . 5 11 1 二 丁 乙

A + B 一a

C + a

s, n 一 一 百 一一 一

cos 不 犷
C l

闷 么D

同理 在

C ll: 中 , 有 11: =

n !普
B D

夕 刀 口

B

M

一擎 %

B C

图1

BD C 中
,& ~ ~

, 一 C D 田 . n ~

B C

5 1 1边

-

sin (C + a) % si nC
sin a + sin C sin ( C + a )
B C



A B C 的周长 的最 小 值 , 并 说 明取 最 小 值 李有 贵
A BD ,
B D

的条件.
(山西 临县一 中
解 艺A D C 一0 , 在
可得 ,
A B A D A C C D

一 ,一 7下 二 下一戈 得 S l n 气七 守 护 口少

七口 卞 力刀 -

0 53 200 )
D 一夕 , A D 一m , A C D 中,利用正弦定理

Z eo s a 一 C 2
C O S

设 艺B A D 一 &, 匕C A

BC;在

BCE

a+ C
2

中, B E + C E =

51明 + sinB
sin (B + 召 )

B C -

2& & 5旱 一粤

妥 石 云一 舀 石 石一 s in ( 0一 ) % 石 a 丽一妥 石 汤
B C .
A D

sin (夕 + 月 )

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第 6期
B D
刀之S l f l Q

数 学通报
解之 得 t镇 co s (因 Co s

63

所以A B A C -

m sin s

理 卫 _
2

sin (0 一a ) %
m s in s D C

了sin a si明

sin ( 8 一a )

sin (0 + 月 )

=

m si叩 sin (8+ 月 )
si n (8一 a)

导一 ,> & 舍 去 , 扮o s守十

a ) 所 以 A B + A C + B D + D C - m (sin s十 sin

丫 5i a si n 明)

+噜黯黔
_
一T n
{& U

此 时 A B 十 A C + BC ~
s一 a
U a

Z m& & 守

)

{ & . 0+ a

& . 8+ 口
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0 一口
U l p

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2

1
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t

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\ 乙 / 乙

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5 1守
此 时 B +& A D一 吵嘿华奥
S ln 气 口一 口户

2 5! & & 5 ( 守) 5 1(& +守) 一!守 设5 1(& +守) 一 , 守 t, A B +


L , I

sin s

BC +

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所 以 sin (8 + 沪 )=

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i n宁 ( 一 导一 ) ! 2 +矿 !今

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一 sn !导 s i n ) (& & 5宁 一 侧 户 百 1 而 丢 1 硕 )(

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20 10 年
y X 2 了 ! | ?
一一

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第6 期

? ZC O S

些吞
2

所以

理 二旦_
2

了 si a si n 叩
y y yl

x& x , 一x Z) 是 二 元 一 次 方 程 组 (
y l一 y Z

即A B + BD = A C+ D C

所 以 当 A B + B D 一A C + D C 时 , A B + A C +

_ 生 (& 2一x , x ) 之 L | ?

的唯一解 .

{
一~ ~ 一, 目 . ~ }

:e os妙

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l

_即 与& 2一 xZ ) x 2 y
一一

坑联 羊 u 最 小 沮m } 节 飞 百厂下不二 共}
1 C O S ~ 气丁e e S lf l Q S ln 廿 }

丈 r | 1 .
y X

X O

L



!J


x& x 1一x Z) 是 二 元 一 次 方 程 组 (
y z一 y Z

8 53 1

已知 点 P 是 双 曲线

尹 z a 一

一 少 2 b

= 1 (口> 0 , b >

) 上异 于顶 点 的任 意一 点 , 双 曲线上 过 点 P 的 切 0 线 与 以坐标 原点 O 为 圆 心 , a 为 半 径 的 圆相 交 于 点 A 与 点 B , 圆 O 上 以 A ?B 为 两 切 点 的 切线 交 于点 Q . 求证 :尸 Q 土x 轴.

{

l x + yy x l 一矿

(3)
(4) ?的唯一 解.

x Zx 十 y Zy 一矿

易知 (3 ) ?(4 ) 分 别 是 圆 O :x Z + yZ = aZ 在 点

A ? B 处的切线方程 , 故 二 一二 & , y 一子 巡三二三 丝是 y z一 y Z
两条 切线 交点 Q 的坐标 , 从 而 尸 Q 土x 轴 . 1854 对 于 V x , y , z 任R + , A , B , C 分 别 是 锐 角
(x 3+ Ztan A ) (夕 3 + ZtanB ) (23 + ZtanC ) ) 3
(x 十y + 2 ) 3

(湖南省株州市九方 中学

贺功保

412000 )

A B C 的三 个 内角 .证 明

(江苏 南通 大学理 学 院 证明 首先 证 明一个 引理
引理

谭志 中

2 26 & & ) 7

对于 V a , b , & 任R + , 则 有

(a 3+ 2 ) (b, + 2 ) ( & 3 + 2 ) ) 3 (a3/2 + b3/2 +

证明

由点 尸是 双 曲线 上 异 于顶 点 的 点 , 则 切 线

c3/2)

尸 A 既不 与 x 轴 平 行 , 又 不 与 x 轴 垂 直. 设 点
P (x & ,y & ) , A (x , , y ;) , B (x : , y: ) (y , 护 y :). 要 证

引理证明 根据抽屉原理 , 在 任意 矿 , 护, & 3 三个 正实数中 , 总能同时存在二个正实数 同时不大于
1 或 同时不 小 于 1.不妨 设这 两 个 正 实数 为 夕, & 3,
所 以有
(b3一l) ( ! 3一1 )) 0片 (b3+ 2 一3) ( & 3+ 2 一3 ) ) O

尸Q 土x 轴 , 只 需 证 点 Q 的横 坐标 为 x & .易 知点 尸

处双曲 线的 线L 琴 1, 又点 ?, 切 /动 ~ ? 一 的方程为 ? , !, 一 a 乙 一缪 b ! 一
~ ,夕 ?~ ~

A ? B在 双曲 线 上, 所以 三 旦 誉 王 一 2碧 王 一 1
a 一 口-

?产 . , .? 了 ? ! 产上 曰 9 .了

将此 式展 开整理 得 到 (b3+ 2 ) ( & 3+ 2 )) 3 (b3
十c3+ 1)

X oX Z

y oy Z

应用 C au eh y 不 等 式 得 (a , + 1 + 1 ) (1 + b3+
相减得 :
x &(x , 一x :)
a 2

夕 &(夕 , 一夕 :)
b2

= 0 ,从 而

c3)) (a3/2+ b3/, + & 3/ ,)

由上 两式 同 向相 乘 即证得 引 理.
下面证 明本题

x& (x l 一 x Z)

a Z夕& (夕, 一 夕 :) (x l一x :) 代人 ( 1 ) 并 整理 得 :x &
y l一 y Z

对引 理之 式 中的相应 元素进 行 交 换 , 即
l1 y 一


a

1

,

, &

l

,

&

l

a J~ ta ~ 二 一下x n A ~ !,%b ! ~ ta 二 舟石 nB7 夕 3 ,%c ! ~ ta 分专 n ) 犷 之!

x& x l)

所 以 由引 理得
x & (x l 一 x Z)
y l一 y Z

同理 :

1 (a % 一 x & x :)
y Z

/

1

(面孤劣一乙 八福丽夕十乙 八面硒之十乙 )

&._\ /

1

&. _\ /

1

,

._ \

)3 ( 湍 十 儡 +湍
根 据 基 本 不 等 式 ( ?攀十 丫几 华+ 学)2 丫产 丫y / ?竺 入士 上 产 州 十 三 y犷

这 时三 角形三 边 为 4 , 5 , 6.
即只有这 一个 三角 形. 0 1 2 0 年 6 月号 问题 (来 稿请 注 明出处 # 编者 )

所 以 得 到 ( 赢工 3 +2)( 赢,3 +2)

18 56

已知 M ? G ?H 分 别 是

A B C 的外 心 ?

( 斋3 +2)?笼 瑞长宏 盖
由此 式 变形 得到
(二3 + Z tal lA ) (夕 3 + ZtanB ) (23 + ZtanC ) )
3 ta n A ta n B tan C
丁 一 一一 百 一1一 了 一 一 一 下 不 下冲 一 一 了 不LX
t a ll Z 生州卜 t a l 力 丫 卜 ta f l 七

内心 ? 垂 心 .证 明 :

(1) 丽一 一洋致抓百 + 不粤导 冠 ;
乙 s l ll Z 1 5 l T l 七 乙 S lf l Z 生S l n O

一 B 2

C

(2 ) 元 一一一下兰 一 + 一 A 2 一 C 万百 2
l s V 州 e 卜Z ) !


s, n 百



Z eo s

2 一普 一誉
5 1 11 广 i s ln (?

由于 A , B , C 分 别 是 锐 角

A B C 的 三个 内角 , 所

以有 tal lA + tan B + ta nC = tan月tan B tanC , 直 接 由

(3) 丽 斗孕 华半黝百 十 缪钾华北.
5 II L 尹 1 5 In 七

此式 代 人上式 化 简 整理 即证 . 1855 试 证 :一 角是 另 一 角 的 两倍 且 三 边 是 三 个 ( 四Jl!洪 雅 中保 中学
证明 如图 , C A 至 D , 使 A D 一A B .则
_C

(杭州 市余 杭高 级 中学
18 57 设

曹凤 山

3 11 100 )

A B C 的 内切 圆 和边 B C ? CA ? AB

连续 自然 数 的三 角形 只有 一个 .

分 别相 切于 D ? E ? F , 设 E F 一d , F D 一 & , D E 一f , 62036 3) A F 一A E 一x , B F 一B D 一y , C D 一C E 一2.求 证 :
, , 少 ? # 1 十. # 1 一 . #1 了 ? 三一 1 . #1 十 . 一 1 以 卜 二十 二

蓝 国孝

A B C 中 , 艺 C A B 一 2/ A B C , 延 长

x

y

z

d

e

J

(2 )x + y + z) d 十 & 十f

(贵 州省 台江 民族 中学
1858

部圭

55 6300 )

设 x , y 任R , 求 z 一 }x 一y + 1 {一3 }x + 康宇

D 一

B

匕D 一匕A B C ,

y 一l J 一2 }3一 y 一3 }的最大值 . (广东 省 深 圳 市 石 岩 公 学 高 中 部
5 1810 8)

所以
所以

A BC的

BD C , AB , +

B C 一 C D . C A 一 (C A + A D )C A ,

185 9

求所有 素数 p , 使 得 1+ p + 厂 + 厂 +
陈克壕



B C Z 一C A , + C A

尸 是 平方 数. (浙 江温 州大 学 数 学 与信 息 学 学 院
32 503 5)

(l ) 在

A B C 中 , 若 艺C 最 大 , 根 据 已知 , 设

A B 一n + 1 , B C 一n , C A 一n 一 1(n 为 大于 1 的 自然

数 ) , 代人 + 式
n Z = (n 一 1 ) + ( n 一 1 ) ( n + 1 ) ,

1860 边 .则





A B C 的 面 积 , a , b , &为 三

解得
题 意.

n 一2 ,

由于 n 一 2 时 , 有 A B 一 B C + C A , 故 不 合 (2 ) 若 艺C 最小 , 则 应 A B 一n 一1 , B C 一n + 1 , C A 一n , 由 + 式
(n + 1 ) 2 = n Z + n ( n 一 1 ) ,

:& 2?4 ? +:(& 一) 2+音 艺 告 ,& 伍 & )2+ 李习 c ( 3 c, P !+


( 3 c, P &一 4 P P aP & )

4 P P aP & )
1 ,
二万 又 a 州 卜b 一 卜C )


(其 中 X 表 循 环 和 , , P 一a 等等 ) (安徽 省族 德 中学

P &一 P



, 一3 , 一1 ~ O , 无 整数 解 .

赵 中华

24260 0 )

(3 ) 若 艺A B C < 艺 C < 艺 C A B , 此 时 A B 一n , B C 一n + 1 , C A 一n 一 1.代 人 + 式 ( n + 1 )2一 ( n 一
1)2+ n (n 一 l) ,

解得

n 一5 ,


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