【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第4讲


专题一 第4讲

第4讲
【高考考情解读】
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不等式及线性规划

1.本讲在高考中主要考查两数的大小比较、一元二次不等式 的解法、基本不等式及线性规划问题.基本不等式主要考 查求最值问题,线性规划主要考查直接求最优解和已知最 优解求参数的值或取值范围. 2.多与集合、函数等知识交汇命题,以填空题的形式呈现, 属中档题.

主干知识梳理

专题一 第4讲

1.四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法
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先化为一般形式 ax2+bx+c>0(a≠0),再求相应一元二次 方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根据相应二次函数图 象与 x 轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集. (2)简单分式不等式的解法 f?x? ①变形? >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); g?x? f?x? ②变形? ≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. g?x?

主干知识梳理

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(3)简单指数不等式的解法 ①当 a>1 时,af(x)>ag(x)?f(x)>g(x);
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②当 0<a<1 时,af(x)>ag(x)?f(x)<g(x). (4)简单对数不等式的解法 ①当 a>1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)且 f(x)>0,g(x)>0; ②当 0<a<1 时,logaf(x)>logag(x)?f(x)<g(x)且 f(x)>0,g(x)>0.

主干知识梳理

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2.五个重要不等式 (1)|a|≥0,a2≥0(a∈R).
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(2)a2+b2≥2ab(a、b∈R). a+b (3) ≥ ab(a>0,b>0). 2 a+b 2 (4)ab≤( ) (a,b∈R). 2 a2+b2 a+b 2ab (5) ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b

主干知识梳理
3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划

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(1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函 数、可行域、最优解等.
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(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可 行域;②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解 的点;③求出目标函数的最大值或者最小值. 4.两个常用结论
? ?a>0, 2 (1)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ? ?Δ<0. ? ?a<0, 2 (2)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ? ?Δ<0.

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考点一 例1
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一元二次不等式的解法

(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为

[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6), 则实数 c 的值为________.
2 ? ? a a f(x)=x2+ax+b=?x+2?2+b- . 4 ? ?

解析 由题意知

a2 a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 b= . 4 4
? a?2 ∴f(x)=?x+2? . ? ?

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? a?2 又∵f(x)<c.∴?x+2? <c, ? ?

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a a 即-2- c<x<-2+ c.
? a ?-2- c=m, ∴? ?-a+ c=m+6. ? 2 ① ②

②-①,得 2 c=6,∴c=9.
答案 9

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二次函数、二次不等式是高中数学的重要基础知
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识, 也是高考的热点. 本题考查了二次函数的值域及一元二次 不等式的解法.突出考查将二次函数、二次方程、二次不等式 三者进行相互转化的能力和转化与化归的数学思想方法.

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(1)已知关于 x 的一元二次不等式 ax2+2x+b>0 的 ? ? ? ? a2+b2+7 1 ? 解 集 为 ?x?x≠-a ? , 则 ( 其 中 a>b) 的 最 小 值 为 ? ? a - b ? ? ? ________.
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(2)设命题 p:{x|0≤2x-1≤1},命题 q:{x|x2-(2k+1)x+k(k +1)≤0},若 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围 是__________.

解析 (1)由题意知 a>0 且 Δ=4-4ab=0,

即ab=1,则由a>b得a-b>0. a2+b2+7 ?a-b?2+2ab+7 9 故 = =a-b+ ≥2 9=6, a-b a-b a-b 当且仅当 a-b=3 时取“=”.

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1 (2)p:{x| ≤x≤1},q:{x|k≤x≤k+1}, 2 1 1 ? ? ?k≤ ?k< 由 p?q 且 q p,则? 2 或? 2 , , ? ? ?1<k+1 ?1≤k+1
? 1? 1 ∴0≤k≤ ,即 k 的取值范围是?0,2?. 2 ? ?

答案

(1)6

? 1? (2)?0,2? ? ?

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考点二 例2 利用基本不等式求最值问题

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(1)(2012· 浙江)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y

的最小值是________.
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(2)设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值 是________.

1?1 3? 解析 (1)∵x>0,y>0,由 x+3y=5xy 得5? y+x?=1. ? ?
?1 3 ? 1 ∴3x+4y=5(3x+4y)?y+x ? ? ?

12y? 1?3x =5? y +4+9+ x ? ? ?

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13 1?3x 12y? 13 1 = + ? y + x ?≥ + ×2 5 5? 5 5 ? 3x 12y y ·x

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=5(当且仅当 x=2y 时取等号), ∴3x+4y 的最小值为 5.
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(2)方法一
2

∵4x2+y2+xy=1,
2

3 ∴(2x+y) -3xy=1,即(2x+y) - · 2xy=1, 2 ? 3? 8 ?2x+y?2 2 2 ∴(2x+y) - · ≤1,解之得(2x+y) ≤ , ? 2? 5 ? 2 ? 2 10 即 2x+y≤ . 5 10 10 等号当且仅当 2x=y>0,即 x= ,y= 时成立. 10 5

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方法二

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令t=2x+y,则y=t-2x,代入4x2+y2+xy=1,

得6x2-3tx+t2-1=0,由于x是实数,
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8 故 Δ=9t -24(t -1)≥0,解得 t ≤ , 5
2 2 2

2 10 2 10 即- ≤t≤ , 5 5 2 10 即 t 的最大值也就是 2x+y 的最大值,为 . 5 ? 1 ?2 ? 15 ? ? ? 2 2 方法三 化已知 4x +y +xy=1 为?2x+4y? +? y?2=1, ? ? ? 4 ? 1 15 令 2x+ y=cos α, y=sin α, 4 4

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3 15 1 3 则 y= sin α,则 2x+y=2x+ y+ y 4 5 4 4
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15 2 10 2 10 =cos α+ 5 sin α= 5 sin(α+φ)≤ 5 .
答案 (1)5 2 10 (2) 5

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在利用基本不等式求最值时, 要特别注意“拆、 拼、
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凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字 母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值 )、“等”(等 号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.解题时应 根据已知条件适当进行添 (拆 )项,创造应用基本不等式的条 件.

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2 (1)已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a, x-a 3 +∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为________ . 2 2 2 解析 2x+ =2(x-a)+ +2a x-a x-a

≥2

2 2?x-a?· +2a=4+2a, x-a

3 由题意可知 4+2a≥7,得 a≥ , 2 3 即实数 a 的最小值为 . 2

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(2)(2013· 山东)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则 xy 2 1 2 1 当 z 取得最大值时,x+y- z 的最大值为________ .

解析 由已知得 z=x2-3xy+4y2
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(*)

xy xy 1 则z= 2 ≤1, 2= x 4 y x -3xy+4y y+ x -3
当且仅当 x=2y 时取等号,把 x=2y 代入(*)式,得 z=2y2,
?1 ? 2 1 2 1 1 1 所以x+y- z =y+y-y2=-? y-1?2+1≤1, ? ?

2 1 2 所以当 y=1 时,x +y - z 的最大值为 1.

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考点三 例3
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简单的线性规划问题

(2013· 湖北改编)某旅行社租用 A、 B 两种型号的客车安排

900 名客人旅行,A、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车 总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最 少为________元.

解析

设租 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆时租金为 z 元

则 z=1 600x+2 400y

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? ?x+y≤21 ?y-x≤7 x、y满足? ?36x+60y≥900, ? ?x,y≥0,x、y∈N
本 讲 画出可行域如图 栏 目 开 关

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2 z 直线 y=- x+ 过点 A(5,12)时纵截距最小, 3 2 400
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∴zmin=5×1 600+2 400×12=36 800, 故租金最少为 36 800 元.
答案 36 800

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(1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值; 二是求区域面积;三是确定目标函数中的字母系数的取值范
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围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函 数所表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优 解.(3)对于应用问题,要准确地设出变量,确定可行域和目 标函数.

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(1)(2013· 山东改编)在平面直角坐标系 xOy 中,M ?2x-y-2≥0, ? 为不等式组?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0 ? 本
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所表示的区域上一动点, 则直线

OM 斜率的最小值为________. ?2x-y+1>0, ? (2)(2013· 北京改编)设关于 x、 y 的不等式组?x+m<0, ?y-m>0 ? 的取值范围是________. 表

示的平面区域内存在点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m

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? ?x+2y-1=0, (1)由? ? ?3x+y-8=0

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解析

得 A(3,-1). 1 本 此时线 OM 的斜率最小,且为-3. 讲

栏 (2)当 m≥0 时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象 目 开 限, 关

平面区域内不可能存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,因此 m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的 平面区域.

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1 要使可行域内包含 y= x-1 上的点, 2
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1 只需可行域边界点(-m,m)在直线 y= x-1 的下方即可, 2 1 2 即 m<- m-1,解得 m<- . 2 3 ? 1 2? 答案 (1)- (2)?-∞,-3? 3 ? ?

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1.三个“二次”的关系
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一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根, 也是相应的二次函数图象与 x 轴交点的横坐标,即二次函 数的零点.

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2.基本不等式的作用

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二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和 式”转化为“积式”的放缩功能,常常用于比较数 (式)的
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大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问 题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不 等式的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点,并创 设基本不等式的应用背景,如通过“代换”、“拆项”、 “凑项”等技巧,改变原式的结构使其具备基本不等式的 应用条件. 利用基本不等式求最值时要注意“一正、 二定、 三相等”的条件,三个条件缺一不可.

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3.二元一次不等式表示平面区域的快速判断法: 区域
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区域 B>0 上方 下方 下方 上方 B<0 直线 Ax+ By+ C = 0 直线 Ax+By+C=0 直线 Ax+ By+ C = 0 直线 Ax+By+C=0

不等式 Ax+By+C>0 Ax+By+C<0

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主要看不等号与 B 的符号是否相向,若同向则在直线上方, 若异向则在直线下方,简记为“同上异下”,这叫 B 的值判
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断法. 解决线性规划问题首先要找到可行域, 再注意目标函数表示的 几何意义,数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点 (或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证 解决.

押题精练

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1.若实数 x、y 满足 4x+4y=2x+1+2y+1,则 t=2x+2y 的取值
(2,4] . 范围是________
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解析

依题意得,(2x+2y)2-2×2x×2y=2(2x+2y),

x y 2 2 + 2 t 则 t2-2t=2×2x×2y≤2×( 2 )2= 2 ;

t2 即 -2t≤0,解得 0≤t≤4; 2 又 t2-2t=2×2x×2y>0,且 t>0, 因此有 t>2,故 2<t≤4.

押题精练

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?x-y+1≥0, ? 2.已知点 A(2,-2),点 P(x,y)在?x+y+1≥0, ?2x-y-1≤0 ?

所表示的

→ → 平面区域内,则OP在OA方向上投影的取值范围是______.
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解析 不等式组表示的平面区域,如图所示:

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由向量投影的几何意义知, 当点 P 与点 D 重合时投影最大, 当点 P 与点 B 或点 C 重合时投影最小. 又 C(-1,0),D(0,-1), 本 → =(-1,0),OD → =(0,-1), ∴OC

讲 栏 → → OD · OA 2 目 → → 开 ∴OD在OA方向上的投影为 → = 2 , 关 |OA|

2 2 → → 故OP在OA方向上投影的取值范围是[- 2 , 2 ]. 2 2 答案 [- , ] 2 2

→ → OC · OA 2 → → OC在OA方向上的投影为 =- 2 , →| |OA


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