2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数练习新人教A版选修2_2

309 教育网 www.309edu.com 1.3.1 函数的单调性与导数 [A 基础达标] 1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析:选 D.f′(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,当 f′(x)>0,即 x>2 时,f(x)单调递增, 故选 D. 2.函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,其中 a,b,c 为实数,当 a2-3b<0 时,f(x)在 R 上( ) A.是增函数 B.是减函数 C.是常函数 D.既不是增函数也不是减函数 解析:选 A.f′(x)=3x2+2ax+b,方程 3x2+2ax+b=0 的判别式 Δ =(2a)2-4×3b= 4(a2-3b).因为 a2-3b<0,所以 Δ =4(a2-3b)<0,所以 f′(x)在 R 上恒大于 0,故 f(x) 在 R 上是增函数. 3.(2018·杭州七校联考)已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f′(x)的图象 可能是图中的( ) 解析:选 C.由函数 y=f(x)的图象的增减变化趋势可判断函数 y=f′(x)取值的正、负 情况如下表: x (-1,b) (b,a) (a,1) f(x) 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com f′(x) - + - 由表,可知当 x∈(-1,b)时,函数 y=f′(x)的图象在 x 轴下方;当 x∈(b,a)时, 函数 y=f′(x)的图象在 x 轴上方;当 x∈(a,1)时,函数 y=f′(x)的图象在 x 轴下方.故 选 C. 4.(2018·石家庄二中月考)已知函数 f(x)= x+ln x,则下列选项正确的是( ) A.f(e)<f(π )<f(2,7) B.f(π )<f(e)<f(2.7) C.f(e)<f(2.7)<f(π ) D.f(2.7)<f(e)<f(π ) 解析:选 D.由已知,得 f(x)的定义域为(0,+∞).因为 f′(x)=( x+ln x)′=( x)′ + (ln x)′ = 2 1 x + 1 x >0 , 所以 f(x) 在(0,+∞)上是增函数 .因为 2.7<e<π ,所以 f(2.7)<f(e)<f(π ),选 D. 5.若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则 k 的取值范围是( ) A.(-∞,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 解析:选 D.因为 f(x)=kx-ln x,所以 f′(x)=k-1x.因为 f(x)在区间(1,+∞)上单 调递增,且 f′(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 f′(1)=k-1≥0,所以 k≥1. 6.函数 f(x)=(x2+x+1)ex(x∈R)的单调减区间为________. 解析:f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=ex(x2+3x+2)=ex(x+1)(x+2), 令 f′(x)<0, 解得-2<x<-1, 所以函数 f(x)的单调减区间为(-2,-1). 答案:(-2,-1) 7.(2018·泰州期末检测)若函数 f(x)=(x2+mx)ex 的单调减区间是???-32,1???,则实数 m 的值为________. 解析:f′(x)=[x2+(m+2)x+m]ex,因为 f(x)的单调减区间是???-32,1???,所以 f′(x) =0 的两个根分别为 x1=-32,x2=1,即?????ff′ ′???(-132)???==00,解得 m=-32. 答案:-32 8.若函数 f(x)=2ln x+x2-5x+c 在区间(m,m+1)上为减函数,则实数 m 的取值范 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 围是________. 解析:因为函数 f(x)=2ln x+x2-5x+c,所以 f′(x)=2x+2x-5=2x2-x5x+2(x>0).令 f′(x)<0,得12<x<2,即 f(x)的单调递减区间是???12,2???.又函数 f(x)在区间(m,m+1)上为减 函数,所以12≤m<m+1≤2,解得12≤m≤1. 答案:???12,1??? 9.已知函数 f(x)=ax3-3x2+1-3a,讨论函数 f(x)的单调性. 解:由条件可知 a≠0. 所以 f′(x)=3ax2-6x=3ax???x-2a???. 所以当 a>0 时, f′(x)>0 得 x<0 或 x>2a, f′(x)<0 得 0<x<2a. 所以,f(x)在(-∞,0),???2a,+∞???上是增函数,在???0,2a???上是减函数; 当 a<0 时, f′(x)<0 得 x<2a或 x>0, f′(x)>0 得2a<x<0. 所以,f(x)在???-∞,2a???,(0,+∞)上是减函数,在???2a,0???上是增函数. 综上,a>0 时,f(x)在(-∞,0),???2a,+∞???上是增函数,在???0,2a???上是减函数; a<0 时,f(x)在???-∞,2a???,(0,+∞)上是减函数,在???2a,0???上是增函数. 10.已知函数 f(x)=ln exx+k(k 为常数,e 为自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求实数 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 309 教育资源库 www.309edu.com 309 教育网 www.309edu.com 解:(1)由 f(x)=ln x+k ex ,可得 1x-k-ln f′(x)= ex x . 因为曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与

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