配套K12高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数导学案苏教版必修4

小学+初中+高中+努力=大学

1.2.1 任意角的三角函数

课堂导学 三点剖析 1.任意角的正弦、余弦、正切的定义 【例 1】有下列命题,其中正确的命题的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数的值相同 ②终边不同的角的同名三角函数的值不等 ③若 sinα >0,则 α 是第一、二象限的角
④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cosα = ? x x2 ? y2

A.1

B.2

C.3

D.4

思路分析:运用概念判断.

解析:由任意角三角函数定义知①正确;

对②,我们举出反例 sin ? =sin 2? ;

3

3

对③,可指出 sin ? >0,但 ? 不是第一、二象限的角;对④,应是 cosα = x .

2

2

x2 ? y2

综上选 A.

答案:A

温馨提示

要准确地理解任意角的三角函数定义,可与三角函数线结合记忆.

2.角、实数和三角函数值之间的对应关系

【例 2】 判断下列各式的符号.

(1)tan250°·cos(-350°);

(2)sin151°cos230°;

(3)sin3cos4tan5;

(4)sin(cosθ )·cos(sinθ )(θ 是第二象限角).

思路分析:本题主要考查三角函数的符号.角度确定了,所在的象限也就确定了.三角函数的

符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于(4),视 sinθ 、cosθ 为弧度数.

解:(1)∵tan250°>0,cos(-350°)>0,

∴tan250°·cos(-350°)>0.

(2)∵sin151°>0,cos230°<0,

∴sin151°·cos230°<0.

(3)∵ ? <3<π ,π <4< 3? , 3? <5<2π ,

2

22

∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,

∴sin3·cos4·tan5>0.

(4)∵θ 是第二象限角,∴0<sinθ <1< ? , 2
∴cos(sinθ )>0.

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同理,- ? <-1<cosθ <0, 2
∴sin(cosθ )<0,故 sin(cosθ )·cos(sinθ )<0. 温馨提示 (1)判断各三角函数值的符号,须判断角所在的象限.(2)sinθ 既表示角 θ 的正弦值,同 时也可以表示[-1,1]上的一个角的弧度数.(3)中解题的关键是将 cosθ 、sinθ 视为角 的弧度数.

tan(x ? ? ) ? sin x

【例 3】求函数 y=

4

的定义域.

lg(2 cosx ?1)

思路分析:运用等价及集合的思想.

解:只需满足条件

??x ? ? ?sin

? ?? 42 x ? 0,

?

k? , k

?

Z,

?

??x ? k? ? ? ?sin ? 0,

3? 4

??lg(2 cosx ?1) ? 0,

??0 ? 2 cosx ?1 ? 1,

?

?

?

??x ? k? ??2k? ?

? 3? , k ? Z, 4
x ? (2k ?1)? ,

k

?

Z

,

? ?2k?

?

?

?

x

?

2k?

?

?

, 且x

?

2k? , k ? Z.

?

3

3

∴函数的定义域为{x|2kπ <x<2kπ + ? ,k∈Z}. 3
温馨提示 利用图形,可直观找出不等式组的解集,体现了数形结合思想.
各个击破 类题演练 1 已知角 α 的终边经过点 P(-6,-2),求 α 的三个三角函数值.
解 : 已 知 x=-6,y=-2, 所 以 r= 2 10 , 于 是 sinα = y ? ? 2 ? ? 10 , r 2 10 10

cosα = x ? ? 6 ? ? 3 10 , tanα = y ? ? 2 ? 1 .

r 2 10 10

x ?6 3

变式提升 1

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已知角 α 的终边经过点 P(2t,-3t)(t<0),求 sinα ,cosα ,tanα . 解:∵x=2t,y=-3t
∴r= (?2t)2 ? (?3t)2 ? 13 | t |

∵t<0 ∴r= ? 13t

∴sinα = y ? ? 3t ? 3 13 , r ? 13t 13

cosα = x ? 2t ? ? 2 13 , r ? 13t 13

tanα = y ? ? 3t ? ? 3 . x2 2
类题演练 2

判断下列各式的符号

(1)sin105°·cos230°;(2)sin 7 π ·tan 7 π ;

8

8

(3)cos6·tan 6;(4)sin4·tan( ? 23 ? ). 4
解:(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角,

∴sin105°>0.cos230°<0.

sin105°·cos230°<0.

(2)∵ ? < 7 π <π ,∴ 7 π 是第二象限角.

28

8

∴sin 7 π >0,tan 7 π <0.

8

8

∴sin 7 π ·tan 7 π <0.

8

8

(3)∵ 3 π <6<2π ,∴6 弧度的角是第四象限角. 2
∴cos6>0,tan6<0.∴cos6·tan6<0.

(4)∵π <4< 3 π ,∴sin4<0. 2

又 ? 23 ? =-6π + ? ,∴ ? 23 ? 与 ? 终边相同.

4

4

44

∴tan( ? 23 ? )>0. 4

∴sin4·tan( ? 23 ? )<0. 4
变式提升 2

已知 α 是第三象限角,试判断 sin(cosα )·cos(sinα )的符号.

解:∵α 是第三象限角.

∴cosα <0,sinα <0.

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小学+初中+高中+努力=大学 又|sinα |<1,|cosα |<1, ∴-1<cosα <0,-1<sinα <0, ∴sin(cosα )<0,cos(sinα )>0. ∴sin(cosα )·cos(sinα )<0. 类题演练 3 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sinα +3cosα 的值. 解:设 α 终边上任意一点 P(k,-3k),则
r= x2 ? y2 ? k 2 ? (?3k)2 ? 10 | k |,
当 k>0 时,r= 10 k , ∴sinα = ? 3k ? ? 3 ,
10k 10 cosα = k ? 1 .
10k 10
∴10sinα +3cosα = ? 3 10 ? 3 10 ? ? 27 10 . 10 10
当 k<0 时,r=- 10 k, ∴sinα = ? 3k ? 3 ,
? 10k 10
cosα = k ? ? 1 ? ? 10 . ? 10k 10 10
∴10sinα +3cosα = 3 10 ? 3 10 ? 27 10 . 10 10
变式提升 3
已知 α ∈(0, ? ),试比较 α 、sinα 、tanα 的大小. 2
解:如右图,设锐角 α 的终边交单位圆于点 P,过单位圆与 x 轴正半轴的交点 A 作圆的切 线交 OP 延长线于 T,并过点 P 作 PM⊥x 轴,则
|MP|=sinα ,|AT|=tanα , 的长为 α .
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连 PA,

∵S△OAP<S

<S , 扇形 OAP

△OAT

即 1 |OA|·|MP|< 1 |OA|2·a< 1 |OA|·|AT|,|MP|<α <|AT|,

2

2

2

∴sinα <α <tanα .

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