2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案解析

2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答

2016 年 6 月 5 日上午8: 30 ? ?11: 00 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分)
? ? 1、若 y ? log2016 x2 ? ax ? 65 的值域为 R? ,那么 a 的取值范围是
?16 ? a ?16 .

.答案:

解:由值域 y ? R? ,? x2 ? ax ? 65 ? 1, ? x2 ? ax ? 64 ? 0

?? ? a2 ? 4? 64 ? 0 ,? ?16 ? a ?16 . 2 、四面体 ABCD中, ?ABC 是一个正三角形, AD ? BD ? 2 , AD ? BD ,

AD ? CD ,则 D 到面 ABC 的距离为

.答案: 2 3 . 3

解:如图,据题意得, AB ? AD2 ? BD2 ? 2 2 , A

C

于是 BC ? CA ? AB ? 2 2 , CD ? AC2 ? AD2 ? 2,

因 BC2 ? BD2 ? CD2 ,得 BD ? CD ,从而以 D

D

B

为顶点的三面角是三直三面角,

四面体体积V

?

1 3

AD ? S?BCD

?

4 3

,而 S?ABC

?

3 ? AB2 ? 2 4

3,

若设 D 到面

ABC 的距离为 h ,则V

?

1 3

h

?

S?ABC

?

23 3

h

,由

23 3

h

?

4 3



得到 h ? 2 3 . 3

3 、若对于所有的正数 x, y ,均有 x ? y ? a x ? y ,则实数 a 的最小值是

.答

案: 2 .

2

2

? 解:由 ???

x? x ? y ???

? ? ???

y? x ? y ???

? 1,得

x? x? y

y ?
x? y

2,

1

当 x ? y 时取等号. 4 、 已 知 P 是 正 方 形 ABCD 内 切 圆 上 的 一 点 , 记 ?APC ? ?, ?BPD ? ? , 则

tan2 ? ? tan2 ? ?

.答案: 8 .

解:如图建立直角坐标系,设圆方程为 x2 ? y2 ? r 2 ,

Y

D

C

P

O

X

则正方形顶点坐标为 A(?r, ?r), B(r, ?r),C(r, r), D(?r, r) ,A

B

若点 P 的坐标为 P(r cos? , r sin? ) ,于是直线

PA, PB, PC, PD 的斜率分别为

kPA

? 1? sin? 1? cos?

, kPB

? ? 1? sin? 1? cos?



kPC

? 1? sin? 1? cos?

, kPD

? ? 1? sin? 1? cos?



所以

tan 2

?

?

? ? ?

kPC ? kPA 1? kPAkPC

?2 ? ?

?

4(cos?

?

sin? )2



tan 2

?

?

? ? ?

kPD ? kPB 1? kPBkPD

?2 ? ?

?

4(cos?

?

sin? )2 ,

由此立得 tan2 ? ? tan2 ? ? 8 .

解 2:取特例, P 在坐标轴上,则? ? ? ,

这时, tan? ? cot ? ? 2 ? 2 ? tan ? ,? tan2 ? ? tan2 ? ? 22 ? 22 ? 8 1
5 、等差数列 2,5,8, , 2015 与 4,9,14, , 2014 的公共项(具有相同数值的项)的个

数是

.答案:134 .

解:将两个数列中的各项都加1,则问题等价于求等差数列 3, 6,9, , 2016 与等差数列

5,10,15, , 2015 的公共项个数;前者是 M ? ?1, 2,3, , 2016?中的全体能被 3 整除

的数,后者是 M 中的全体能被 5 整除的数,故公共项是 M 中的全体能被15 整除的数,

这种数有

? ??

2016 15

? ??

?

134

个.

2

6 、设 x 为锐角,则函数 y ? sin x sin 2x 的最大值是 解:由 y ? 2 sin2 x cos x ,

.答案: 4 3 . 9

得 y2 ? 4sin4 x cos2 x ? 2(1? cos2 x)(1? cos2 x) ? 2 cos2 x

?

? 2?
?

(1 ?

cos2

x)

?

(1? cos2 3

x)

?

2 cos2

x

3
? ? ?

?

2

?

? ??

2 3

3
? ??

?

16 27



所以 y ? 4 3 .当 cos2 x ? 1 时取得等号.

9

3

7 、若将前九个正整数1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 分别填写于一张 3?3 方格表的九个格子中,

使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是

解答:(答案有多种)

179

263

845

8 、把从1到 n (n ? 1) 这 n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中每相

邻两项的和为平方数,则正整数 n 的最小值是
例如,排出的一个数列为

.答案:15 .

( 8,1,15,10,6,3,13,12, 4,5,11,14, 2,7,9 ) .

解:这是一个操作问题,若用文字表达较为繁琐,故适宜作为填空题直接操作.

记这 n 个连续正整数的集合为 M ? ?1, 2, , n? ,由于 n ?1,

则 M 中必有 2 ,而 2 ?7 ?9 ,所以 n ? 7 ,当 n ? 7 时,从1到 7 这 7 个数可以搭配成
满足条件的三个数段:

(1,3, 6), (2, 7), (4,5) ,但它们不能连接成一个 7 项的数列,故应增加后续的数,增加8

可使得第一段扩充成 (8,1,3, 6) ,增加 9 可使得第二段扩充成 (2, 7,9) ,但新的三段也

不 能 连 接 , 还 需 增 加 新 数 , 即 n ?10 , 而 之 前 的 数 若 与 8,9,10 邻 接 , 只 有

3

8 ?1 ? 9,9 ? 7 ? 16, 10 ? 6 ?16 ,这三段扩充为

(8,1,3, 6,10) ,(2, 7,9) ,(4, 5) ,仍旧不能连接,应当借助新的平方数 25 ,从1到10

这10 个数能搭配成和为 25 的最小数是15 ,则 n ?15,而当 M ? ?1, 2, ,15?时,可

排出上面的情形:

( 8,1,15,10,6,3,13,12, 4,5,11,14, 2,7,9 ) .

二、解答题(共 64 分)

9 、(14 分)如图, CD 是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1的一条直径,

过椭圆长轴的左顶点 A 作 CD 的平行线,交椭圆于

另一点 N ,交椭圆短轴所在直线于 M ,

证明: AM ? AN ? CO?CD .

A

证 1:椭圆方程为 x ? a cos? , y ? bsin? , C

Y
N M O

D BX

点 A, N 的坐标为 A(?a, 0), N(a cos?, bsin? ) ,则直线 AN 方程为

?x

? ?

y

? ?

?a ? t t sin?

cos?



…… 3 '

代入椭圆方程得到 (b2 cos2 ? ? a2 sin2 ? )t2 ? 2ab2t cos? ? 0 ,

AN

?

t

?

b2

2ab2 cos? cos2 ? ? a2 sin2 ?



AM

?

a cos?

(? ? ? ) ,…… 6 ' 2

因此

AM

?

AN

?

b2

2a2b2 cos2 ? ? a2

sin2 ?

,…… 9 '

又据 AN ∥ CD ,则点 C, D 坐标为: C(? OD cos?, ? OD sin?) ,

D( OD cos?, OD sin?) ,……12'

因为 C,

D

在椭圆上,则

CO

2

?

b2

cos2

a2b2 ? ? a2

sin 2

?

,而,

4

CO ?CD ? 2 CO 2 ?

2a2b2



b2 cos2 ? ? a2 sin2 ?

因此 AM ? AN ? CO?CD .……14'
证 2:

易知 CD 的斜率 k 存在,不妨令 CD : y ? kx ,与椭圆方程联系,

解得

? C??

ab

,

kab

??、D

? ?

ab

,

kab

? ? …… 3 '

? b2 ? a2k2 b2 ? a2k2 ? ? b2 ? a2k2 b2 ? a2k2 ?

? ? 1? k2 a2b2

? ? 4 1? k2 a2b2

? CO ?

, CD ?

,

b2 ? a2k2

b2 ? a2k2

? ? 2 1? k2 a2b2
? CO ? CD ? b2 ? a2k 2 …… 6 '

AN 方程为: y ? k ? x ? a?,?M ?0, ka? .

? ? 将 AN 方程与椭圆方程联立,得 b2 ? a2k2 x2 ? 2a3k2x ? k 2a2 ? a2b2 ? 0

2a3k 2

ab2 ? a3k 2

? xA ? xN ? ? b2 ? a2k 2 ,? xN ? b2 ? a2k 2

yN

?

2kab2 b2 ? a2k2

,?

AM

?a

1? k2

…… 9 ' ……12'

? ? AN ?

? ? ?

ab2 ? a3k 2 b2 ? a2k2

?

2
? a?
?

?

4k 2a2b4 b2 ? a2k2

2

? 2ab2 1? k 2 b2 ? a2k2



? ? 2a2b2 1? k2

? AM ? AN ?

? CO ? CD

b2 ? a2k2

…14'

10 、(15 分)如图, D 是 ?ABC 的旁心,点 A 关于直线 DC 的对称点为 E .证明:

(1) 、 B,C, E 三 点 共 线 ; ( 2 )、

A, B, D, E

四点共圆.

5

A

B

C

E

D
证:1、延长 DC 到 M ,延长 AC 到 N ,连 CE , D 为旁心, ?CD 平分 ?BCN ,…… 2 ' 又 A、E 关于 DC 对称, ?CM 平分 ?ACE ??DCN ? ?ACM , ? ?BCD ? ?MCE ??BCN ? ?ACE ,?B 、 C 、 E 三点共线。…… 5 ' 2、过 C 作 CI // AE 交 AD 于 I ,则 IC ? DC …… 7 ' ?I 为 ABC 内心。连 BI ,则 BI 平分 ?ABC ,……10'
? ?IBD ? 90? ,?B 、 D 、 C 、 I 四点共圆,……12'
??CBD ? ?CID ? ?EAD , ? A、 B 、 D 、 E 四点共圆。……15'
11、(15 分)设 x, y, z 为正数,满足: xy ? yz ? zx ? 1,证明:

xyz(x ? y)( y ? z)(x ? z) ? (1? x2 )(1? y2 )(1-z2 )

证:据条件,即要证 xyz(x+y+z-xyz)? (1? x2 )(1? y2 )(1-z2 ) ①

也即 xyz(x+y+z)? 1-(x2 ? y2 ? z2 ) ? (x2 y2 ? y2z2 ? x2z2 )
3'
将此式各项齐次化,因为
1 ? (xy ? yz ? xz)2 ? x2 y2 ? y2z2 ? x2z2 ? 2xyz(x ? y ? z) …… 6 '

② ……

x2 ? y2 ? z2 ? (x2 ? y2 ? z2 )(xy ? yz ? xz) ?

x3( y ? z) ? y3(x ? z) ? z3(x ? y) ? xyz(x ? y ? z) 代入②,

只要证 xyz(x ? y ? z) ?

6

2(x2 y2 ? y2 z2 ? x2z2 ) ? x3( y ? z) ? y3(x ? z) ? z3(x ? y) ? xyz(x ? y ? z) 即

x3( y ? z) ? y3(x ? z) ? z3(x ? y) ? 2(x2 y2 ? y2z2 ? x2z2 ) ? 0 ……12'

也即 xy(x ? y)2 ? yz( y ? z)2 ? xz(x ? z)2 ? 0 。

此为显然,故命题得证.… 15 '
证 2:由题设得:
y?x ? z? ?1? zx, x? y ? z? ?1? yz, z ?x ? y? ?1? xy ,

三式相乘,故原不等式等价于证明:
?1? zx??1? yz??1? xy? ? ?1? x2 ??1? y2 ??1? z2 ?…… 3'

上式两边展开并化简得:

? ? x2 ? y2 ? z2 ? ? xy ? yz ? zx? ? x2 y2 ? y2z2 ? z2x2 ? x2 yz ? xy2z ? xyz2

……

6'
配方得:
? x ? y?2 ? ? y ? z?2 ? ? z ? x?2 ? ? xy ? xz?2 ? ? yz ? xy?2 ? ? yz ? zx?2

? x2 ? y ? z?2 ? y2 ? z ? x?2 ? z2 ? x ? y?2

…… 9 '

即 ?1? z2 ?? x ? y?2 ? ?1? x2 ?? y ? z?2 ? ?1? y2 ?? z ? x?2 ? 0 ??? ……12'

0 ? x, y, z ? 1,?1? x2 ? 0,1? y2 ? 0,1? z2 ? 0,

???? 显然成立.

……15'

12、( 20 分)设集合 A ? ?1, 2, , 2016?,对于 A 的任一个1008 元子集 X ,若存在

x, y ? X ,满足 x ? y, x y ,则称 X 为“好集”,求最大的正整数 a ,( a ? A ),使得 任一个含 a 的1008 元子集皆为“好集”. 解:因任何正整数 n 可以表为 n ? 2? t 形式,其中? ? N ,t 为正奇数,于是集合 A 可 划分为以下1008 个子集:
? ? Aj ? m m ? 2? (2 j ?1),? ? N,1 ? m ? 2016 , j ?1, 2, ,1008 …… 4 '

7

对于集合 A 的任一个1008 元子集 X ,只要集 X 中含有某一个 Aj 中的至少两个元素

x, y, (x ? y) ,因 x ? 2k1 (2 j ?1), y ? 2k2 (2 j ?1) , k1 ? k2 ,则 x y ;此时 X 为好集;

以下证明正整数 a 的最大值为 671:

…… 8 '

若 a ? 671时,对于 A 的任一个1008 元子集 X ,如果 X 中含有某个 Aj 中的至少两个

? ? 元素,则 X 便是好集;如果 Aj 中的1008 个集合,每个集合中恰有一个元素在 X 中,

那么 A1007 也有一个元素在 X 中,

但 A1007 ? ?2013? 为单元素集,于是 2013? X ,而 a 2013,( 2013 ? 671?3 ? 3a ) ,
这说明 X 仍是好集, 因此 a ? 671合于要求. ……12' 下面说明当 a ? 672 时,存在含 a 的集 X 不是好集;分两种情况:
(1) 、若 a ?1009 ,取1008 元集 X0 ? ?1009,1010, , 2016?,则 a ? X0 ,

因 X 0 中任两个不同元素 x ? y ,均有 x ? y ,故 X 0 不为好集,这种 a 不合要求.…… 15'
? (2) 、若 672 ? a ?1008 ,记 X1 ? 672 ? j j ? 0,1, ,336?,

? ? X2 ? X0 \ 2(672 ? j) j ? 0,1, ,336 ,令 X ? X1 X 2 ,则 X ?1008,且 a ? X1 ,

若 X 中存在 x ? y, x y ,因 x ? 672 , y ? 2016 ,则 y ? 3x ;

若 x ? 672 ,如果 x y , x ? y ,只有 y ? 2x 或者 y ? 3x ,此时 y 的取值只能是:

y ? 2? 672 ? 1344 , 或 者 y ? 3 ? 6 7 ? 2; 由2 0于 1 6

1 3? 4 4? 2 ( ? 6 ,7这说?明2,这两0个数已) 被挖,去,不2在集0合 X 1 6

2

中;

……18'

若 x ? 672 ,假若 x y ,只有 y ? 2x ,这种数 y 也已悉数被挖去,即 y ? X ,因

此 X 不是好集,这种 a 也不合要求. 综上所述, a 的最大值为 671.

…… 20'

8


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