2014高考数学备考学案(文科)能力提升第50课 空间几何体的表面积与体积


第 50 课

空间几何体的表面积与体积
2

1.(2011 湖北高考)设球的体积为 V 1 ,它的内接正方体的体积为 V A. V 1 比 V C. V 1 比 V 【答案】D
2

,下列说法中最合适的是(



大约多一半; 大约多一倍;

B. V 1 比 V D. V 1 比 V

2

大约多两倍半; 大约多一倍半

2

2

【解析】设球的半径为 R ,正方体的边长为 a ,则 2R ? 3a ,即 R ?

3 a, 2

∴ V1 ?

4? 3 4? 3 3? 3 3? R ? ? ( a )3 ? a ? V2 . 3 3 2 2 2

?S
4. (2012 昌平二模)四面体的四个面的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 、 S4 ,记其中最大的面积为 S ,则 的取值范围是( A. ( ,2] 【答案】C 【解析】不妨设 S4 最大,即 S4 ? S , ∵ S ? S1 ? S2 ? S3 ? 3S , ∴ 2S ? S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? 4S , ) B. [ ,2]
i ?1

4

i

3S

1 3

1 3

C. ( , ]

2 4 3 3

D. [ , ]

2 4 3 3

S 2 S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 4 2 ? i 4 i ?1 ? . ? , ? ∴ ? 3S 3 3 3S 3 3
3.一个棱台的上底面积为 16 ,下底面积为 64 ,它的中截面(平行于底面且过侧棱中点的截面)将它分为 两个棱台,则上、下两个棱台的体积之比为( A. 2 : 3 【答案】C 【解析】不妨设该棱台为正四棱台,则上、下底面边长分别为 4 、 8 , ∴中截面边长为 6 ,中截面面积为 36 , ∴上、下两个棱台的体积之比为 B. 3 : 5 ) C. 19 : 37 D. 18 : 37

4

16 ? 36 ? 16 ? 36 19 . ? 36 ? 64 ? 36 ? 64 37

1

4. (2011 全国高考)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则 棱锥 O ? ABCD 的体积为 【答案】 8 3 【解析】设 O ? ABCD 的高为 h , ∴ h ? OA ? ( AC ) ?
2 2



1 2

1 42 ? ( ? 4 3)2 ? 2 , 2

1 1 VO ? ABCD ? S ? h ? ? (6 ? 2 3) ? 2 ? 8 3 . 3 3
5.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 E 、 F 分别为 AB 、 AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分成体积为

V1 、 V2 的两部分,求 V1 : V2 的值.
C1 A1 B1

C E A F B

【解析】延长 A A, B1F , C1E 交于点 P , 1 设原三棱柱底面积为 S ,高为 h ,

1 2 ∴ VP ? A1B1C1 ? S ? 2h ? Sh , 3 3 1 1 1 1 VP ? AEF ? S AEF ? h ? ( S A1B1C1 ) ? h ? Sh , 3 3 4 12 2 1 7 ∴ V1 ? VP ? A1B1C1 ? VP ? AEF ? ( ? ) Sh ? Sh 3 12 12 7 5 ∴ V2 ? Sh ? V1 ? Sh ? Sh ? Sh ,∴ V1 : V2 ? 7 : 5 . 12 12

2

6.如图, AB 为圆 O 的直径,圆 O 的半径 R ? 2 , C 为半圆 O 上的点,且 BC ? 2 .现以 AB 所在直线为轴, 旋转一周得到一几何体. (1)求该几何体的表面积; (2)求该几何体的体积.

【解析】 (1)如图所示,过 C 作 CO1 ? AB 于 O1 , ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ ?ACB ? 90 ,
?

∵ AB ? 2 R ? 4 , BC ? 2 , ∴ AC ? ∵ S ?ABC ? ∴ O1C ?

AB2 ? BC 2 ? 2 3 .
1 1 AC ? BC ? AB ? O1C , 2 2

AC ? BC 2 3 ? 2 ? ? 3, AB 4

∴ S球 =4? R2 ? 16? ,

S圆锥AO1侧 =? ? O1C ? AC ? ? ? 3 ? 2 3 ? 6? , S圆锥BO1侧 =? ? O1C ? BC ? ? ? 3 ? 2 ? 2 3? ,
∴ S几何体侧 =22? +2 3? . ∴旋转所得到的几何体的表面积为 22? +2 3? . (2)∵ V球 = ? R ?
3

4 3

32 ?, 3

1 1 V圆锥AO1 = ? ? O1C 2 ? O1 A , V圆锥BO1 = ? ? O1C 2 ? O1B , 3 3 1 1 2 2 ∴ V圆锥AO1 +V圆锥BO1 = ? ? O1C ? (O1 B ? O1 A) ? ? ? O1C ? AB ? 4? , 3 3 20 ?. ∴ V几何体侧 =V球 ? (V圆锥AO1 +V圆锥BO1 )= 3

3


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