合情推理与演绎推理例题分析 (2)_图文

※.一同学在电脑中打出如下若干个圆:

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…,若
依此规律继续下去,得到一系列的圆,则在前2 009个 圆中共有●的个数是 A.61 C.63 ( B.62 D.64 )

解析:设前2 009个圆中共有●的个数为n,经观察可得如 下关系 ≤2 009, 经检验n=61. 答案:A

变式题 [2009· 浙江卷] 观察下列等式: C1+C5=23-2, 5 5 C1+C5+C9=27+23, 9 9 9 C1 +C5 +C9 +C13=211-25, 13 13 13 13 C1 +C5 +C9 +C13+C17=215+27, 17 17 17 17 17 …… 由以上等式推测到一个一般的结论: 4n+1 对 于 n∈N* , C 1 +1 + C 5 +1 + C 9 +1 + … + C 4n+1 4n 4n 4n = . 【解答】 这是一种需类比推理方法破解的问题,

结论由两项构成,第二项前有(-1)n, 二项分别为 24n-1,22n-1,因此对于 n∈N*, C1 +1+C5 +1+C9 +1+…+C4n+1=24n 1+(-1)n22n 1. 4n 4n 4n 4n 1
+ - -

【答案】 2

4n-1

+ -1 22n-1

? ? ? ?

? ?n ? ?

1 例 1 设 f(x)= x , 先分别求 f(0)+f(1), f(-1)+f(2), 3+ 3 f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明. 【思路】 利用函数解析式计算各和式的值,并注意 观察各和式中的两自变量值间的关系. 1 1 1 【解答】 f(0)+f(1)= 0 + = + 3 + 3 31+ 3 1+ 3 3-1 3- 3 1 3 = + = , 2 6 3 3+ 3 3 同理,f(-1)+f(2)= , 3

3 f(-2)+f(3)= . 3 注意到在这三个特殊的式子中,自变量之和均等于 1,由此归纳猜想: 3 当 x1+x2=1 时,均有 f(x1)+f(x2)= . 3

证明:设 x1+x2=1,则 f(x1)+f(x2)=
1 3 ? 3
x1

?

1 3 x2 ? 3

?3 = ?3
= =

x1 x1

? 3 ? 3 x2 ? 3 ?
x2

? ? 3???3

?

? 3?

3 x1 ? 3 x2 ? 2 3

3 x ? x2 ? 3 3 x1 ? 3 x2 ? 3
3 x1 ? 3 x2 ? 2 3 3 3 x1 ? 3 x2 ? 2 ? 3

?

?

?

?

3 x1 ? 3 x2 ? 2 3


3 3 x1 ? 3 x2 ? 2 3

?

?

3 = . 3


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