云南省2015年7月普通高中学业水平考试数学试卷及答案

云南省 2015 年 7 月普通高中学业水平考试

数学试卷
选择题(共 51)
一、选择题(本题共 17 个小题,每个小题 3 分,共 51 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求的,请在答题卡相应位置填涂。 ) 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2} ,则 CU A ? ( A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 2} ) D. {x | x ? 2} )

2. 已知某几何体的直观图如右下图,该几何体的俯视图为( B

A
o

B

C

D

3.已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ,且 | a |? 2 , | b |? 2 ,则 a ? b ? (



A. 2

B.

2 2

C.

2


D.

1 2
D. y ? x ? 1 ) D. (?1 ,与 0) 2

4.在下列函数中,为偶函数的是( A. y ? lg x
2 2

B. y ? x

2

C. y ? x

3

5.已知圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 的圆心坐标及半径分别为( A. (?1 ,与 0) 3 6. log 2 B. (1 ,与 0) 3 ) C. (1 ,与 0) 2

4 ? log 2 7 ? ( 7
B. 2

A. -2

C.

1 2

D. ?

1 2

7.如图 1 是某校举行歌唱比赛时,七位评委为某位选手打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个 最低分后,所剩数据的中位数和平均数依次为( ) A. 87,86 B. 83,85 C. 88,85 D. 82,86
7 8 8

8. cos 22.5 ? sin 22.5 ? (
2 o 2 o



2  3  7   8
0 3

A.

2 2

B.

1 2

C. ?

2 2

D. ?

1 2

9

图1

1

9.已知等差数列 an 中, a1 ? 4 , a2 ? 6 ,则 S4 ? (



A. 18 B. 21 C. 28 D. 40 10.把十进制数 34 化为二进制数为( ) A. 101000 B. 100100 C. 100001 D. 100010 11.某大学有 A、B、C 三个不同的校区,其中 A 校区有 4000 人,B 校区有 3000 人,C 校区有 2000 人,采 用按校区分层抽样的方法,从中抽取 900 人参加一项活动,则 A、B、C 校区分别抽取( ) A. 400 人、300 人、200 人 B. 350 人、300 人、250 人 C. 250 人、300 人、350 人 D. 200 人、300 人、400 人 12.为了得到函数 y ? sin(3 x ?

?

) 的图象,只需要把函数 y ? ( x ? ) 的图象上的所有点( 6 6
B. 横坐标缩短为原来的

?



A. 横坐标伸长为原来的 3 倍,纵坐标不变

1 倍,纵坐标不变 3 1 倍,横坐标不变 3
开始 输入 x

C. 纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变

D. 纵坐标缩短为原来的

当输入的 x 的值为-2 时, 输出的 y 值为 ( ) 13. 一个算法的程序框图如图 2, A. -2 B. 1 C. -5 D. 3 )

3 14.已知 ? 为第二象限的角, sin ? ? ,则 tan ? ? ( 5
A.

x ? 3?

y ? 2x ?1



3 4 4 3

B.

4 3 3 4

y?x

C. ?

D. ?

输出 y 结束

如图 2

15.如图 3,在半径为 1 的圆中有封闭曲线围成的阴影区域,若在圆中随机撒一 粒豆子,它落在阴影区域内的概率为

1 ,则阴影区域的面积为( 4?
C.



A.

3 4

B.

1 4
2

1 4?

D.

3 4?


16.如果二次函数 f ( x) ? x ? mx ? m ? 3 有两个不同零点,那么实数 m 的取值范围是(

? 2) ? (6, ? ?) A. (??,

6) B. (?2,
) C. ?

6) C. (2,

6] D. [?2,

o 17.若 f (cos x) ? cos3x 那么 f (sin 70 ) 的值为(

A. -

3 2

B.

3 2

1 2

D.

1 2

2

非选择题 (共 49 分)
二、填空题 (本大题共 5 个小题,每小题 4 分共 20 分,请把答案写在答题卡相应的位置上。 ) 18.已知向量 a ? (1 , 2) , b ? ( x, 1) ,若 a ? b ,则 x ?

?

?

?

?



? 1] 上的最小值为 19.函数 f ( x) ? ( ) 在区间 [?2,
x

1 2



?x ? 1 ? 20.已知 x, y 满足约束条件 ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
22.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , S3 ? 14 ,若 an ? 0 ,则公比 q ?



21.有甲、乙、丙、丁 4 个同学,从中任选 2 个同学参加某项活动,则所选 2 人中一定含有甲的概率为___; .

三、解答题(本大题 共 4 个小题 共 29 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 23.(本小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 1 . ?? x ? 1,x ? 1

(1)在给定的直角坐标系中作出函数 f(x)的图象; (2)求满足方程 f(x)=4 的 x 值.

24.(本小题满分 7 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,P 是⊙O 所在平面外一点,PA 垂直于⊙O 所在平面,且 PA=AB=10,设点 C 为⊙O 上异于 A、B 的任意一点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若 AC=6,求三棱锥 C-PAB 的体积.

3

25.(本小题满分 7 分) 在锐角 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ,若 C ? 45 , b ? 4 5 , sin B ?
o

2 5 . 5

(1)求 c 的值; (2)求 sin A 的值.

26.(本小题满分 9 分) 已知圆 x ? y ? 5 与直线 2 x ? y ? m ? 0 相交于不同的 A、B 两点,O 为坐标原点.
2 2

(1)求 m 的取值范围; (2)若 OA⊥OB,求实数 m 的值.

4

云南省 2015 年 7 月普通高中学业水平考试 数学参考答案
一、选择题 1~5 DBABC 二、填空题 18、 -2 6~10 BAACD 11~15 ABCDB 16、17 AD

19、 2

20、 4

21、

.

22、 2

三、解答题 23.解: (1)图像如图示. (2)当 x≥1 时,x-1=4,解得 x=5 当 x<1 时, -x+1=4,解得 x=-3 ∴满足方程 f(x)=4 的 x 值为 5 或-3. 24.(1)证明:∵ PA⊥平面 ABC,BC 平面 ABC, ∴ BC⊥PA 又 AB 是⊙O 的直径, ∴ BC⊥AC 而 AC∩PA=A ∴ BC⊥平面 PAC. (2)解:VC-PAB=VP-ABC = S△ABC×PA= × ×6×8×10=80.

25.解:(1)由正弦定理得

,∴ c =

=

=5

.

(2) 在锐角△ABC 中,由 sinB=

得,cosB= ,

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

(

=

.

26 解:(1) 联立

消去变量 y 得,5x2-4mx+m2-5=0……(*),

由圆 x2+y2=5 与直线 2x-y-m=0 相交于不同的 A、B 两点得,△>0, 即 16m2-20(m2-5)>0,解得-5<m<5,∴ m 的取值范围为(-5,5) (2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=0, 由 y1=2x1-m,y2=2x2-m,∴ y1y2=(2x1-m)(2x2-m)=4x1x2-2m(x1+x2)+m2 ∴x1x2+y1y2=5x1x2-2m(x1+x2)+m2=0 又 x1,x2 是方程(*)的两根, ∴x1+x2= ,x1x2=

5



+m2=0,解得 m=

,经检验满足-5<m<5.

∴若 OA⊥OB,求实数 m 的值为

.

6


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