【K12教育学习资料】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数知识巧解学案新人教A版必修4

教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 1.2 任意角的三角函数 疱工巧解牛 知识?巧学 一、任意角的三角函数 1.如图 1-2-2,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y 叫做 α 的正 弦,记作 sinα ,即 sinα =y;x 叫做 α 的余弦,记作 cosα ,即 cosα =x; 切,记作 tanα = y 叫做 α 的正 x y (x≠0).像这种以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为 x 函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应 关系,所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 图 1-2-2 2.利用角 α 的终边上任意一点 P 的坐标来定义三角函数. 设 α 是一个任意角,α 的终边上一点 P(除端点外)的坐标是(x,y),它与原点的距离 是 r( r ? | x | ? | y | ? 2 2 x 2 ? y 2 ? 0 ),如图 1-2-3 所示. 图 1-2-3 y y 叫做 α 的正弦,记作 sinα ,即 sinα = ; r r x x 比值 叫做 α 的余弦,记作 cosα ,即 cosα = ; r r y y 比值 叫做 α 的正切,记作 tanα ,即 tanα = ; x x 那么,比值 比值 x x 叫做角 α 的余切,记作 cotα = ; y y 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 比值 r r 叫做角 α 的正割,记作 secα = ; x x 比值 r r 叫做角 α 的余割,记作 cscα = . y y 这些函数都是以角 α 为自变量, 以比值为函数值的函数, 我们将它们统称为三角函数. 3.明确各个三角函数的记法的意义 sinα 、cosα 、tanα 等都表示一个整体,离开自变量 α 的 sin、cos、tan 等都是没 有意义的.sinα 并不表示“sin”与“α ”的乘积, 就像函数“f(x)”不表示“f”与“x” 的乘积一样,sinα 是一个比值,例如 sin ? ? ? 1 ,它表示 的正弦值,即 sin ? .同理, 6 2 6 6 cosα 、tanα 的意义也是一样的. 二、三角函数的定义域 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数是以角为自变量, 以比值 为函数值的函数, 它的定义域的每一个值应使相应的比值有意义, 即使比值的分母不等于零. 设点 P(x,y) ,当 x=0 时,角 α 的终边落在 y 轴上,终边落在 y 轴上的角的集合是 {α |α = ? +kπ ,k∈Z};当 y=0 时,角 α 的终边落在 x 轴上,终边落在 x 轴上的角的集合 2 是{α |α =kπ ,k∈Z}.由三个三角函数的定义可知它们的定义域是: 三角函数 定义域 sinα R cosα R ? Tanα {α |α ≠ +kπ ,k∈Z} 2 同理,角 α 的余切、角 α 的正割、角 α 的余割的定义域分别是: 三角函数 定义域 cotα {α |α ≠kπ ,k∈Z} ? secα {α |α ≠ +kπ ,k∈Z} 2 cscα {α |α ≠kπ ,k∈Z} 学法一得 函数是由定义域及定义域到值域上的对应关系构成的, 它的定义域是使函数有意 义的自变量 x 的集合.三角函数的自变量的取值应使比值有意义, 可以此来确定它的定义域. 三、任意角 α 的三角函数值与角 α 终边上点 P 的位置无关 如 图 1-2-4 , 在 角 α 的 终 边 上 再 作 一 点 P′(x′,y′) , 它 与 原 点 的 距 离 为 r ? ? ( x ?) 2 ? ( y ?) 2 ? 0 ,分别过点 P、P′作 PA⊥x 轴于点 A,P′B⊥x 轴于点 B,显然 △OPA∽△OP′B,则由相似三角形的性质可得 | y | | y ? | | x | | x? | | y | | y ? | ? , ? , ? ,无论角 r r? r r ? | x | | x? | α 的终边落在哪个象限,都有 y 与 y′同号, x 与 x′同号,所以以上三式可化为 y y ? x x? y y ? ? , ? , ? ,即对于确定的角 α ,这三个比值(如果有意义的话)都不会随点 P r r ? r y ? x x? 在 α 的终边上的位置的改变而改变.也就是说, 三角函数是以角为自变量, 以比值为函数值 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 的函数. 图 1-2-4 学法一得 用 α 的终边同单位圆的交点来定义任意角的三角函数是用角 α 终边上任一点来 定义三角函数的特例. 四、任意角的三角函数值的符号 因为 sinα = y ,由于 r>0 恒成立,当点 P(x,y)位于第一、二象限时,y>0;位于第 r 三、四象限时,y<0.所以当 α 位于第一、 二象限时,sinα >0;当 α 位于第三、四象限时, sinα <0;同理,当 α 位于第一、四象限时,cosα >0;当 α 位于第二、三象限时,cosα <0.当 α 位于第一、三象限时,tanα >0;当 α 位于第二、四象限时,tanα <0.关于这三 种三角函数值在各个象限的符号可用图 1-2-5 记忆. 图 1-2-5 记忆要诀 三角函数在各象限的符号可用以下口诀记忆:“一全正,二正弦,三两切,四余 弦”.其含义是在第一象限各三角函数皆为正,在第二象限正弦为正,在第三象限正余切为 正,在第四象限余弦为正.还可简记为“全、s、t、c”四字. 五、终边相同的角的同一三角函数值相等 把角 α 推广到一般形式,由任意角的三角函数的定义可知 sin(α +k·360°)=sinα cos(α +k·360°)=cosα tan(α +k·360°)=tanα , 其中 k∈Z

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