江苏省镇江市丹徒镇高中数学2.2.1直接证明导学案(无答案)苏教版选修22

2.2.1 直接证明
畅游学海 敢搏风 浪誓教 金榜题 名。决 战高考 ,改变 命运。 凌风破 浪击长 空,擎 天揽日 跃龙门

章节与课题

直接证明

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使用日期或周次 1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的基本方法:综合法;了解综

本课时学习 目标或学习 任务 本课时重点 难点或学习 建议 本课时教学 资源的使用

合法的思考过程、特点; 2.结合已经学过的数学实例, 了解 直接证明的两种基本方法: 分析法和综 合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. 综合法和分析法的证明过程和应用.

导学案 学 习 过 程

(一) 问题引入 1.问题 1:如图,四边形 ABCD 是平行四边形. 求证:AB=CD,BC=DA. 证明:连结 AC, ∵四边形 A BCD 是平行四边形 ∴AB∥CD,BC∥CD 故∠1=∠2, ∠3=∠4 又∵AC=CA ∴⊿ABC≌⊿CDA

∴AB=CD,BC=DA 思考 1:以上证明方法有什么特点? 2.问题 2:设 a , b 是两个正实数,且 a ? b ,求证: a 3 ? b3 ? a 2b ? ab2 . 证明:要证 a 3 ? b3 ? a 2b ? ab2 成立, 只需证 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) 成立,
2 2

即需证 a 2 ? ab ? b 2 ? ab 成立.(∵ a ? b ? 0 )
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只需证 a 2 ? 2ab ? b 2 ? 0 成立, 即需证 (a ? b) 2 ? 0 成立. 而由已知条件可知, a ? b ,有 a ? b ? 0 ,所以 (a ? b) 2 ? 0 显然成立, 由此命题得证. 思考 2:以 上证明方法有什么特点? (二) 学生活动 1 . 问 题 1 的 证 明 方 法 的 特 点 是 ________________________________ ___________________. 2. 问题 2 的证明方法的特点是___________________________________________________. (三) 知识建构 1.直接证明 直接从_________________逐步推得 证明的一般形式为: 成立的,这种证明通常称为直接证明.直接

_______ ? ? _______ ? . ? ? A ? B ? C ? ? ? ________ _______ ? ? _______ ?
2.常用的直接证明方法有_____ ____与__________: (1) 从 _________ 出 发 , 以 __________________ 为 依 据 , __ _______ , 直 到 推 出 _____________为止,这种证明方法常称为_________. (2) 从_________出发 , 追溯__________________, _________, 直到使__________________ 为止,这种证明方法常称为_______ __. 注: (1)综合法与分析法的推证过程如下: 综合法— ________ ? ? ? ? ? ________; 分析法— ______ ? ? ? ? ? __________ . (2)对分析法证题的说明: ①每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是____________条件; ②在寻求充分条件时,起调控方向作用的是本题条件.即在一系列可以证 明结论的条件 中,与__________较为接近的条件,才是我们所需要的; ③“只需证明” 、 “为了证明” 、 “∵A 成立,∴B 成立”类似这些语言必须有,而且要用 它们把每一步连结起来.
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(四)学习交流、问题探讨 例 1. 如图, 已知 AB, CD 相交于点 O, △ACO≌△BDO, AE=BF, 求证:CE=DF.(尝试用两种方法证明)

变式 1:已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点, 求证: ( 1)MN∥平面 PAD; (2)MN⊥CD.

例 2.已知 a>0,b>0,求证:a(b +c )+b(c +a )≥4 abc.

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变式 2:已知 a , b 是 正数,且 a ? b ? 1 ,求证:

1 1 ? ? 4 ,分别用分析法,综合法证明. a b

小结: ________解题方向较为明确, 有利于寻找解题思路; ________条理清晰, 宜于表述. 因 此,在实际解题时,通常以_______为主寻求解题思路,再用_______有条理地表述过程. (五) 课后作业 1.在

ABCD 中, AE ? BD, 垂足为 E ; CF ? BD, 垂足为 F .求证: AE ? CF .

2.设 x ? 2 ,求证: x ? 1 ? x ?

x ?1 ? x ? 2 .

3. 若 a ? 1, b ? 1 ,求证:

a?b ? 1. 1 ? ab

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