1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)_图文

§1.4.3正弦函数、余弦函数的性质 (二)

2.奇偶性
y
-4? -3? -2? -? 1 ?

o
-1

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)= - sinx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数
定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x?R) y
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx (x?R) 是偶函数

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

3.正弦函数的单调性
y
1

-3?

?

5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
sinx

?

?
2



0 0



? 2



? 0



3? 2

-1

1

-1

y=sinx (x?R)
? ? ?? ? k, ?, 增区间为 [[? +2 2 2 2 2 +2 k? ? ],k?Z 3 ? ? 3? k, ?, 减区间为 [[ +2 2 2 2

] ]

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

+2k?],k?Z

4.余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x
cos

-? -1



?

?
2



0 1



? 2



?
-1

x

0

0

y=cosx (x?R)
增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z ? + ?], k?Z 减区间为 [2k?, 2k, 其值从-1增至1 其值从 1减至-1

请同学们把书翻到38页, 做一下例3上面的填空题. 体会一下三角函数的最值.



结:
奇偶性 单调性(单调区间)
? ? [ ? +2k?, 2 2 +2 ?k?],k?Z 3? [ +2k?, 2 2

单调递增 单调递减 单调递增

正弦函数 奇函数

余弦函数

偶函数

+2k?],k?Z [ ?? +2k?, 2k?],k?Z

[2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递减

求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间

例1 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0:
(1) sin( ? ) – sin( ? ) 10 18

?

?

解:? ? ? ? ? ? ?? ?? ?

2

10

18

2

又 y=sinx 在[? sin( ?
?
10

? ?

, ] 上是增函数. 2 2

) < sin(?

?
18

)

?

? ? ? ? sin( ) – sin( )>0 即: 18 10

例1 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0: (2) cos(? 23? ) - cos(?
5

17? ) 4

解: cos( ? 23? )=cos 23? 5 5
?
0?

=cos

?

又 y=cosx 在 [0, ? ]上是减函数 cos
3? 5

4

?

3? ?? 5

3? 5

17? 17? cos( ? )=cos 4 4

=cos

? 4

即: cos

? <cos 4 3?
5
5

从而 cos(? 23? ) - cos(? 17? ) <0 4

?

– cos

?
4

<0

例2

求下列函数的最大值和最小值:

(1) y =cosx ? 1
解:(1)

当cos x取最大值1时,y= cos x+1取最大值2;
当cos x取最小值-1时,y= cos x+1取最小值0.

例2

求下列函数的最大值和最小值:

(2)y = ? 3sin2 x
解:(2)

当sin2 x ? 1时,y= ? 3sin2 x取最小值-3;

当sin2 x ? ?1时,y= ? 3sin2 x取最大值3.

练习:
1.函数 y ? 4sin x, x ???? , ? ? 的单调性是( A.在 ? ?? ,0?上是增函数,在 ?0, ? ? 上是减函数
? ? ?? B.在 ?? 2 , 2 ?上是增函数,在 ? ?



函数

?? ? ?? ? ?? , ? ? 及 ? , ? ? 上是减 ? 2? ? ?2 ?

C.在 ?0, ? ? 上是增函数,在 ? ?? ,0?上是减函数 D.在 数
?? ? ,? ? ? ?2 ?



?? ? ?? , ? ? ? 2? ?

上是增函数,在

? ? ?? ? , ?上是减函 ? ? 2 2?

答案:B

小结:
我们把正弦函数、余弦函数的 性质总结一下,列成表格为:

定义域 值 域 周 期

正弦函数 R

余弦函数 R

[-1,1]

[-1,1]


奇函数


偶函数

奇偶性
单调性

单调递增区间: π π [? ? 2kπ, ? 2kπ](k ? Z) 2 2 单调递减区间: π 3π [ ? 2kπ, ? 2kπ](k ? Z) 2 2

单调递减区间: [2kπ, π ? 2kπ](k ? Z) 单调递增区间: [2kπ ? π, 2kπ ? 2π](k ? Z)


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