高三数学综合练习(03)


高三数学综合练习(3)
班级________姓名________学号________ 2008-9 一、填空题: (每题 3 分,共 36 分) 1. 复数

1? i 的虚部为 1? i

.

2. 已知集合 A ? ?x | a ?1 ? x ? a ? 2? , B ? ?x | 3 ? x ? 5? , 则能使 B ? A 成立的实数 a 的 取值范围是
2

. .

3.若 x ? 2 ? i 是方程 x ? bx ? c ? 0 ( b, c ? R )的一个解,则 bc ? 4、 ? x 2 ?

? ?

1? ? 的展开式中常数项为 x?

9

.

5.已知 f ( x) ? ?

?? x 2 ? x ( x ? 0)
2 ?? x ? x ( x ? 0)

,则不等式 f ( x) ? 2 ? 0 解集是

.

6.复数 z ? ?2(sin100? ? i cos100? ) 在复平面内对应的点在第

象限. . .

7. 函数 y ? f (x) 在定义域 (??,0) 内存在反函数, f ( x) ? x2 ?1 , f ?1 3 ? 且 则 ( ) 8.若对任意 x ? R ,不等式 x ? 2ax ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围是
2

9.记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻的概率 为 (用分数表示) 10. 若函数 f (x) 、g ? x ? 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数, ? ??,0? 上都是减函数, 在 且 f ? 2? ? g ? 2? ? 0 ,则使得 f ( x) g ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 11. 已 知 函 数 f ? x ? 是 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , f .

? x? ?

x?

4 , 又 x?? ? ?1 时 , 3, ? x
.

a ? f ? x ? b 恒成立,则 b ? a 的取值范围是 ?
12.定义 g ? x ? 表示如下函数:若 m ?

关于函数 f ? x ? ? x ? g ? x ? 的四个命题:

1 1 ? x ? m ? ? m ? Z ? ,则 g ? x? ? m .给出下列 2 2

①函数 y ? f ? x ? 的定义域是 R ,值域是 ?0, ? ; 2
1

? 1? ? ?

②函数 y ? f ? x ? 是 R 上的奇函数; ③函数 y ? f ? x ? 是周期函数,最小正周期是 1 ; ④函数 y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ?

k ? k ? Z ? 对称. 2

其中正确命题的序号是 _____ _ .(把你认为正确的命题序号都填上) 二、选择题: (每题 4 分,共 16 分) 13.已知 a, b, c 都为实数,则“ a ? b ”是“ ac ? bc ”的
2 2





(A) 充分非必要条件 (C) 充要条件

(B) 必要非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件

14.已知正整数 a, b 满足 4a ? b=30 ,使得 (A)

? 6 , 6? 15.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足下列三个条件: ① 对任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 4? ? f ? x ? ; ② 对任意的 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ; ③ y ? f ? x ? 2? 的图象关于 y 轴对称.
(B) 则下列结论中,正确的是 (A)

?5 ,10?

1 1 ? 取最小值时,则实数对 ? a, b ? 是( a b (C) ?10 , 5? (D) ? 7 , 2?



f ? 7? ? f ? 4.5? ? f ? 6.5?

(B) f ? 7? ? f ? 6.5? ? f ? 4.5?

(

)

(C) f ? 4.5? ? f ? 6.5? ? f ? 7 ?

(D) f ? 4.5? ? f ? 7? ? f ? 6.5?

16.设定义域为 R 的函数 f ?x ?, g ?x ? 都有反函数, g ? x ? 的反函数为 h ? x ? ,令
可得函数 u ? x ? 和 v ? x ? 图象关于直线 y ? x 对称, u ? x ? ? f ? x ?1? , ? x ? ? h ? x ? 3? , v 若 g ? 5? ? 2005 ,则 f ? 4 ? 等于 (A) 2002 三、解答题: (B)

(
(C) 2007 (D)

)

2003

2008

2 2 17. (10 分)已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在 ?? 1,1?上有解;命题 q :只有一个实

2 数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题 p 和 q 都是假命题,求实数 a 的取值范围.

[解]:

2

18. (10 分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后,

?1? y 与 t 的函数关系式为 y ? 16 ? ? ? ( a 为常数) ,如图所示。 ? 16 ? (1) 求常数 a , 并从药物释放开始, 写出每立方米空气中的含药量 y (毫克) 与时间 t(小
a

t

时)之间的函数关系式; 分) (5 (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 么药物释放开始,试问至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?(5 分) [解]: y (毫克)

1

O 0.1

t (小时)

19. (14 分)设 a ? R, a ? 0 ,函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g ? a ? . (1)求函数 f ? x ? 的定义域; 分) (4 (2)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,把函数 f ? x ? 表示为 t 的函数 h ? t ? ,并写出定义域; 分) (5 (3)求 g ? a ? ,并求满足 g ? a ? ? g ? [解]:

?1? ? 的实数 a 的取值集合. (5 分) ?a?

3

20. (14 分)我们给出如下定义:对函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C ( C ? R ) ,对 任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C ,则称函数 f (x) 为“和谐 2

函数” ,其中常数 C 称为函数 f (x) 的 “和谐数”. (1)判断函数 f ( x) ? x ?1, x ???1,3? 是否为“和谐函数”? 答: 如果 f ? x ? 是 “和谐函数” ,写出它的一个“和谐数” : .(填“是”或“否”; 分) )(2 . (2 分)

(2)请先学习下面的证明方法: 证明:函数 g ? x ? ? lg x , x??10,100? 为“和谐函数” ,

3 是其“和谐数” ; 2 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 3 lg x1 ? lg x2 3 ? , ? ,即 证明过程如下:对任意 x1 ?[10,100] ,令 2 2 2 2 1000 1000 得 x2 ? . ∵ x1 ?[10,100] ,∴ x2 ? ? [10,100] . x1 x1
即对任意 x1 ?[10,100] ,存在唯一的 x2 ? ∴ 函数 g ? x ? 为“和谐函数” ,

g ? x ? ? g ? x2 ? 3 1000 ? . ? [10,100] ,使得 2 2 x1

3 是其“和谐数”. 2 x 参照上述证明过程证明:函数 h ? x ? ? 2 , x ? ?1,3? 为“和谐函数”. (5 分)
[证明]:

(3)写出一个不是“和谐函数”的函数,并作出证明. (5 分) [解]:

4

高三数学综合练习(3) 参考答案
一、填空题(每题 3 分,共 36 分) 1. 1 5. 9. 2. ?3, 4? 3. ?20 7. ?2 11. ?1, ?? ? 4. 84 8. [?1,1] 12.①③④

? ?2, 2?
2 7

6.三 10. ? 0, 2? ? ? 2, ???

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13. (B) 14. (A)

15. (D)

16. (D)

三、解答题 17.已知命题 p :方程 a 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0 在 ?? 1,1? 上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足
2 不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题 p 和 q 都是假命题,求实数 a 的取值范围.(10 分) 2 2 [解]:对于命题 p :显然 a ? 0 ,由 a x ? ax ? 2 ? 0 得 (ax ? 2)(ax ? 1) ? 0 ,

2 1 2 1 或x ? . ∵ x ? ? ?1,1? ,∴ | |? 1或 | |? 1 ,得 | a |? 1 .(4 分) ? a a a a 2 2 对于命题 q :只有一个实数 x 满足不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,即抛物线 y ? x ? 2ax ? 2a
∴ x?? 与 x 轴只有一个交点. ∴ ? ? 4a ? 8a ? 0 ,得 a ? 0或2 .(4 分) ∵ 命题 p 和 q 都是假命题,
2

∴ ?

??1 ? a ? 1 ? ?1 ? a ? 1且a ? 0 . ∴实数 a 的取值范围是 ? ?1,0? ? ? 0,1? .(2 分) ?a ? 0且a ? 2

18. (10 分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间 t (小时)成正比;药物释放完毕后,

?1? y 与 t 的函数关系式为 y ? 16 ? ? ? ( a 为常数) ,如图所示。 ? 16 ? (1) 求常数 a , 并从药物释放开始, 写出每立方米空气中的含药量 y (毫克) 与时间 t(小
a

t

时)之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那 么药物释放开始,试问至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?

1 ? 1 ? 药物释放过程中,y ? 10t (0 ? t ? ) , ,1 ? , 10 ? 10 ? 1 ? 10t (0 ? t ? ) 1 1 t? 1 1 ? 10 药物释放完毕后,y ? ( ) 10 (t ? ),? a ? ,y ? ? 1 t ? 1 (5 分) 10 1 16 10 10 ?( ) (t ? ) ? 16 10
[解]: (1) 解: 依题意, 两函数都经过点 ?
5

y (毫克)
(2)当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下
1 1 t ?10 ? t ? 0.6 时,学生方可进教室,由 0.25 ? ( ) 16

1

答:需要经过 0.6 小时,学生方可进教室。 (5 分)

O 0.1

t (小时)

19. (14 分)设 a ? R, a ? 0 ,函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g ? a ? . (1)求函数 f ? x ? 的定义域; 分) (4 (2)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,把函数 f ? x ? 表示为 t 的函数 h ? t ? ,并写出定义域; 分) (5 (3)求 g ? a ? ,并求满足 g ? a ? ? g ?

?1? ? 的实数 a 的取值集合.(5 分) ?a?

?1 ? x 2 ? 0 ??1 ? x ? 1 ? ? ? ?1 ? x ? 1 . [解]: (1)由题意得 ?1 ? x ? 0 ? ? x ? ?1 ?1 ? x ? 0 ?x ? 1 ? ?
∴ 函数 f ? x ? 的定义域为 ??1,1? .(4 分) (2)由 t ? 1 ? x ? 1 ? x 平方得 t 2 ? 2 ? 2 1 ? x2 .由 x?? ?1,1? 得, t ?[2, 4] ,所以 t
2

的取值范围是 ? 2, 2 ? .

?

?

又 1? x ?
2

1 2 ?1 ? t ? 1 ,∴ h ? t ? ? a ? t 2 ? 1? ? t . (3 分) 2 ?2 ?

1 2 at ? t ? a ,定义域为 ? 2, 2? .(2 分) ? ? 2 1 2 (3)由题意知 g ? a ? 即为函数 h(t ) ? at ? t ? a, t ? ? 2, 2 ? 的最大值. ? ? 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 h(t ) ? at ? t ? a 的对称轴, a 2 ? a ? 0 ,所以函数 y ? h ? t ? , t ?[ 2, 2] 的图象是开口向上的抛物线的一段,
即 h ?t ? ?

1 ? 0 知 y ? h ? t ? 在 ? 2, 2? 上单调递增,∴ g ? a ? ? h ? 2? ? a ? 2 .(3 分) ? ? a 1 1 ?1? ?1? 1 ? 0 , g ? ? ? ? 2 ,由 g ? a ? ? g ? ? 得, a ? 2 ? ? 2 , a ? ?1 . 当 a ? 0 时, a a ?a? ?a? a ?1? ∴ a ?1 ∴ 满足 g ? a ? ? g ? ? 的所有实数 a 的取值集合是: ?1? .(2 分) ?a?
由t ? ?
6

20. (14 分)我们给出如下定义:对函数 y ? f ( x), x ? D ,若存在常数 C ( C ? R ) ,对 任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? C ,则称函数 f (x) 为“和谐 2
. 是(填“是”

函数” ,称常数 C 为函数 f (x) 的 “和谐数”. (1)判断函数 f ( x) ? x ?1, x ???1,3? 是否为“和谐函数”?答: 或“否” )是(2 分) 如果是,写出它的一个“和谐数” : (2)请先学习下面的证明方法: . 2 (2 分)

3 是其“和谐数” ; 2 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 3 lg x1 ? lg x2 3 ? , ? ,即 证明过程如下:对任意 x1 ?[10,100] ,令 2 2 2 2 1000 1000 得 x2 ? .∵ x1 ?[10,100] ,∴ x2 ? ? [10,100] .即对任意 x1 ?[10,100],存 x1 x1
证明:函数 g ? x ? ? lg x , x ??10,100? 为“和谐函数” , 在唯一的 x2 ? 数” ,

g ? x ? ? g ? x2 ? 3 1000 ? . ∴ g ? x ? ? lg x 为“和谐函 ? [10,100] ,使得 2 2 x1

参照上述证明过程证明:函数 h ? x ? ? 2 , x ? ?1,3? 为“和谐函数”(5 分) ;
x

3 是其“和谐数”. 2

[证明]:由定义可知:函数 h ? x ? ? 2 , x ? ?1,3? 的“和谐数”为 5.
x

对 任 意 x1 ? ?1, 3 , 令 ?

x2 ? log 2 ?10 ? 2 x1 ? .


h ? x1 ? ? h ? x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 5 , 得 2 x2 ? 10 ? 2 x1 , ?5 ,即 2 2

x1 ? ?1,3? , ∴

1 0 x12? ? ?

2 , 8x2 ? log 2 ?10 ? 2 x1 ? ? ?1,3? . 即 对 任 意 ?,

x1 ? ?1, 3 ,存在唯一的 ?

h ? x1 ? ? h ? x2 ? ?5 . 2 x ∴ h ? x ? ? 2 , x ? ?1,3? 为“和谐函数” 5 是其“和谐数”.(5 分) ,
x2 ? log 2 ?10 ? 2 x1 ? ? ?1,3? ,使得
2

(3)写出一个不是“和谐函数”的函数,并作出证明.(5 分) [解]:函数 u ? x ? ? x , x ? R 不是“和谐函数” , 证明如下:对任意的常数 C , ⅰ)若 C ? 0 ,则对于 x1 ? 1 ,显然不存在 x2 ? R ,使得 所以 C ?C ? 0? 不是函数 u ? x ? ? x , x ? R 的和谐数;
2

x12 ? x2 2 1 ? x2 2 ? ? C 成立, 2 2

ⅱ) 若 C ? 0 ,则对于 x1 ? 4C ,由

x12 ? x2 2 4C ? x2 2 ? ? C 得, x22 ? ?2C ? 0 , 2 2
7

x12 ? x2 2 ? C 成立. 2 所以 C ?C ? 0? 也不是函数 u ? x ? ? x2 , x ? R 的和谐数.
即不存在 x2 ? R ,使 综上所述,函数 u ? x ? ? x2 , x ? R 不是“和谐函数”. (5 分) 写出其它的非和谐函数,如: y ? sin x, ? x ? R ? 、 y ? 2, ? x ? R ? 、 y ? 2x , x ? ?1,3? 等, 可参照给分.

8


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