直线与圆、圆与圆的位置关系教案

直线与圆 1、 设直线方程的一些常用技巧: (1)知直线纵截距 b ,常设其方程为 y ? kx ? b ; (2)知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x ? my ? x0 (它不适用于斜率为 0 的直线); (3)知直线过点 ( x0 , y0 ) ,当斜率 k 存在时,常设其方程为 y ? k ( x ? x0 ) ? y0 ,当斜率

k 不存在时,则其方程为 x ? x0 ;
(4)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 平行的直线可表示为 Ax ? By ? C1 ? 0 ; (5)与直线 l : Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay ? C1 ? 0 . 提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解。 2、点到直线的距离及两平行直线间的距离: (1)点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2



(2)两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0, l2 : Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离为 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2



?? 0 ? 相交 ? (1)代数法: ?????? ? ? ? 0 ? 相切 . ?? 0 ? 相离 ?

? ?b ? 4ac
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(2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系: d<r 相交,d=r 相切,d>r 相离. 3 计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算. (2)代数方法 运用韦达定理及弦长公式 AB= 1+k2|xA-xB|= (1+k2)[(xA+xB)2-4xAxB].

说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 要点诠释:如何求弦长? 提示:(1)代数法:弦长公式 AB= 1+k2|x1-x2|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2= r2-d2. Δ 1+k2· . |a|

(2)几何法:设弦心距为 d,圆半径为 r,则弦长 l=2

其中,弦长公式对直线与椭圆、双曲 线、抛物线的相交弦也适用.代数法是直线与圆锥曲 线相交求弦长的通法;几何法是充分利用了圆的几何性质,计算量小,简洁明了,但仅对圆的弦 长适用. 3、 求过点 P (x0,y0)的圆 x2+y2=r2 的切线方程

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(1)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则以 P 为切点的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2. (2)若 P(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 外,则过 P 的切线方程可设为 y-y0=k(x-x0),利用待定系数 法求解. 说明:k 为切线斜率,同时应考虑斜率不存在的情况.

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圆与圆的位置关系 (1 )圆与圆的位置关系可分为五种:相离、外切、相交、内切、内含. (2)判断圆与圆的位置关系常用方法: ①几何法:设两圆圆心分别为 O1、O2,半径为 r1、r2(r1≠r2),则 O1O2>r1+r2?相离;O1O2

=r1+r2?外切;|r1-r2|<O1O2<r1+r2?相交;O1O2=|r1-r2|?内切;O1O2<|r1-r2|?内含. ②代数法:方程组?

?x2+y2+D1x+E1y+F1=0, ?x +y +D2x+E2y+F2=0,
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有两组不同的实数解?两圆相交; 有两组相同的实数解?两圆外切或内切; 无实数解?两圆相离或内含.

三、例题精析
【例题 1】 已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ? R). (1)求证:不论 m 为何值,直线 l 恒过定点; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (3)求直线 l 被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.

【例题 2】
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在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x-y+1=0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6. (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 相切于第一象限,且与坐标轴交于点 D,E,当 DE 长最小时,求直线 l 的方程.

【例题 3】 已知圆 C1: x2+y2-2mx+4y+m2-5=0, 圆 C2: x2+y2+2x-2my+m2-3=0, m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 外切;(2)圆 C1 与圆 C2 内含?

【例题 4】在平面直角坐标系 xOy 中,设二次函数 f(x)=x2+2x+b(b<1)的图象与两坐标轴有三 个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1)求圆 C 的方程; (2)设定点 A 是圆 C 经过的某定点(其坐标与 b 无关),问是否存在常数 k,使直线 y=kx+k 与圆 C 交于点 M,N,且 AM=AN?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

练习 1.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为__________. 2.直线 3x+y-2 3=0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为__________.
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3.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度等于__________. 4.已知圆的半径为 10,圆心在直线 y=2x 上,圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2,则圆的标 准方程为__________.

作业 1 ? 2 2 1.过点 P? ?2,1?的直线 l 与圆 C:(x-1) +y =4 交于 A,B 两点,当∠ACB 最小时,直线 l 的方 程为____________. 2.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=2 的位置关系一定是__________. 3 .与直线 x +y -2 =0 和圆 x2+y 2-12x-12y+70 =0 都相切的半径最小的圆的标准方程为 __________. 4 .直线 l:y=k(x-2) +2 与圆 C:x2+y2-2x-2y= 0 相切,则直线 l 的一个方向向量等于 __________. 5.直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若 MN≥2 3,则 k 的取值范围是 __________.

6.若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的方程是__________.

7.直线 2ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数),且△AOB 是直角三角 形(O 是坐标原点),则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为__________.

8. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴正半轴分别相交 于 A,B 两点,△AOB 的内切圆为圆 M. 3 3 (1)如果圆 M 的半径为 1,l 与圆 M 切于点 C? ,1+ ?,求直线 l 的方程; 2? ?2 (2)如果圆 M 的半径为 1,证明:当△AOB 的面积、周长最小时,此时△AOB 为同一个三角形.

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