【高中数学】2018最新高中数学(人教B版)必修五学案:第一章 1.2 应用举例(二) Word版含答案

1. 2 [学习目标] 应用举例(二) 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题 .2.能够运用正、余 弦定理解决力学或几何方面的问题. [知识链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题,事实上学习物理离不开数学, 数学在物理学中的应用非常广泛,本节课我们来研究正、余弦定理在测量方面,及在物理中 的力学、平面几何方面的应用. 要点一 测量角度问题 例 1 如图在海岸 A 处发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)海里 的 B 处有一艘走私船. 在 A 处北偏西 75° 方向, 距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船,此时走 私船正以 10 海里/时的速度,从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜.问: 缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时 间. 解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截获(在 D 点)走私船,则 CD=10 3t 海里, BD=10t 海里. 在△ABC 中,由余弦定理, 得 BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A =( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2· cos 120° =6, ∴BC= 6(海里). BC AC 又∵ = , sin A sin∠ABC AC· sin A 2· sin 120° 2 ∴sin∠ABC= BC = = , 2 6 ∴∠ABC=45° ,∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90° +30° =120° . BD CD 在△BCD 中,由正弦定理,得 = , sin∠BCD sin∠CBD BD· sin∠CBD 10t· sin 120° 1 ∴sin∠BCD= = = . CD 2 10 3t ∴∠BCD=30° ,∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶, 又在△BCD 中,∠CBD=120° ,∠BCD=30° , ∴∠CDB=30° ,∴BD=BC,即 10t= 6. ∴t= 6 小时≈15 分钟. 10 ∴缉私船应沿北偏东 60° 的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要 15 分钟. 规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题,解决这类问题一定要搞清 方位角,再就是选择好不动点,然后根据条件,画出示意图,转化为三角形问题. 跟踪演练 1 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60° 的 B 处, 乙船以每小时 a 海里的速度向北行驶, 已知甲船的速度是每小时 3a 海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇? 解 如图所示.设经过 t 小时两船在 C 点相遇,则 在△ABC 中,BC=at 海里,AC= 3at 海里, BC AC B=90° +30° =120° ,由 = 得: sin∠CAB sin B 3 BCsin B at· sin 120° 2 1 sin∠CAB= AC = = = . 3at 3 2 ∵0° <∠CAB<90° ,∴∠CAB=30° . ∴∠DAC=60° -30° =30° . 所以甲船应沿着北偏东 30° 的方向前进,才能最快与乙船相遇. 要点二 正、余弦定理在几何中的应用 例 2 如图所示,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一 点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC,问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大? 解 设∠AOB=α,在△ABC 中,由余弦定理, 得 AB2=12+22-2×2cos α=5-4cos α,α∈(0,π), 于是,四边形 OACB 的面积为 1 3 S=S△AOB+S△ABC= OA· OB· sin α+ AB2 2 4 1 3 = ×2×1×sin α+ (5-4cos α) 2 4 =sin α- 3cos α+ 5 π 5 3=2sin(α- )+ 3. 4 3 4 π π 5 5 因为 0<α<π,所以当 α- = ,α= π,即∠AOB= π 时,四边形 OACB 面积最大. 3 2 6 6 规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画示意图,要懂得从 所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. 跟踪演练 2 如图所示,在△ABC 中,已知 BC=15,AB∶AC=7∶8,sin B = 4 3 ,求 BC 边上的高 AD 的长. 7 解 在△ABC 中,由已知设 AB=7x,AC=8x,x>0, 7x 8x 由正弦定理得 = . sin C sin B ∴sin C= 7xsin B 7 4 3 3 = × = . 8x 8 7 2 ∴C=60° (C=120° 舍去,否则由 8x>7x,知 B 也为钝角,不合要求). 由余弦定理得(7x)2=(8x)2+152-2×8x×15cos 60° , ∴x2-8x+15=0,解得 x=3 或 x=5. ∴AB=21 或 AB=35, 在△ABD 中,AD=ABsin B= ∴AD=12 3或 20 3. 4 3 AB, 7 1.已知两座灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 10° 答案 B 1 解析 如图,因△ABC 为等腰三角形,所以∠CBA= (180° -80° )=50° , 2 60° -50° =10° ,故选 B. 2. 台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 km 内的地区为危险区, 城市 B 在 A 的正东 40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( A.0.5 h B.1 h C.1.5 h 答案 B 解析 设 A 地东北方向上点 P 到 B 的距离为 30 km,AP=x. 在△ABP 中,PB2=AP2+AB2-2AP· ABcos A

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