最全 解析几何第四版习题答案第四章(完整版)


第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 §4.1 柱面 1、已知柱面的准线为: ?( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 25 ? ?x ? y ? z ? 2 ? 0 且(1)母线平行于 x 轴; (2)母线平行于直线 x ? y , z ? c ,试求这些柱面的方程。 解: (1)从方程 ?( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 25 ? ?x ? y ? z ? 2 ? 0 中消去 x ,得到: ( z ? y ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 25 2 2 即: y ? z ? yz ? 6 y ? 5 z ? 3 ?0 2 此即为要求的柱面方程。 (2)取准线上一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ,过 M 0 且平行于直线 ? ?x ? y 的直线方程为: ?z ? c ? x ? x0 ? t ? ? y ? y0 ? t ?z ? z 0 ? 而 M 0 在准线上,所以 ? ? x0 ? x ? t ? ? y0 ? y ? t ?z ? z ? 0 ?( x ? t ? 1) 2 ? ( y ? t ? 3) 2 ? ( z ? 2) 2 ? 25 ? ? x ? y ? z ? 2t ? 2 ? 0 上式中消去 t 后得到: x 2 ? y 2 ? 3z 2 ? 2xy ? 8x ? 8 y ? 8z ? 26 ? 0 此即为要求的柱面方程。 2 而 M 0 在准线上,所以: ? x ? t ? y 2 ? ( z ? 2t ) 2 ? ? x ? t ? 2( z ? 2t ) 消去 t ,得到: 4 x 2 ? 25y 2 ? z 2 ? 4 xz ? 20x ? 10z ? 0 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线 x ? y ? z, x ? 1 ? y ? z ? 1, 与x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 2 的圆柱面方程。 解:过 又过准线上一点 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,且方向为 ? 1, 1, 1?的直线方程为: ? x ? x1 ? t ? ? y ? y1 ? t ?z ? z ? t 1 ? 将此式代入准线方程,并消去 t 得到: ? ? x1 ? x ? t ? ? y1 ? y ? t ?z ? z ? t ? 1 5( x 2 ? y 2 ? z 2 ? xy ? yz ? zx) ? 2x ? 11y ? 13z ? 0 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为 ? (u) ? ?x(u), y(u), z(u)?,母线的方向平行于矢量 S ? ?X , Y , Z ? , 试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为: x ? Y (u) ? vS 与 ? x ? x(u ) ? Xv ? ? y ? y (u ) ? Yv ? z ? z (u ) ? Zv ? 式中的 u , v 为参数。 证明:对柱面上任一点 M ( x, y, z ) ,过 M 的母线与准线交于点 M ?( x(u), y(u), z (u)) ,则, M ?M ? v S 即 1、求顶点在原点,准线为 x 2 ? 2 z ? 1 ? 0, y ? z ? 1 ? 0 的锥面方程。 解:设为锥面上任一点 M ( x, y, z ) ,过 M 与 O 的直线为: X Y Z ? ? x y z 设其与准线交于 ( X 0 ,

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