河南省许昌市五校高二数学上学期第一次联考试题 文

许昌市五校联考高二第一次考试

文科数学试卷

考试时间:120 分钟

分值:150 分

一、选择题:(每题 5 分,计 60 分)

1.

已知集合 M

? ???s s ? ??

sin x sin x

?

cos x cos x

?

tan tan

x x

?? ? ??

,那么集合

M

的子集个数为(



A. 2 个 B. 4 个

C. 8 个

D.16 个

2.



a

?

(1)2 5

,

b

?

1
25

,

c

?

log

2

1 5

,则(



A. c ? a ? b

B. c ? b ? a

C. a ? c ? b

D. a ? b ? c

3. 如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长

为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,(单位:cm),则 此几何体的侧面积是( )

主视 图

左视图

A. 2 3 cm2 C. 8 cm 2

B. 4 3 cm2 D. 14 cm2

俯视图

??x2 ? ax ? 5, (x ? 1)

4.

已知函数

f

(

x)

?

? ? ??

a x

(x

?

1)

是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( )

A. ?3 ≤ a <0

B. a ≤ ?2

C. ?3 ≤ a ≤ ?2

D. a <0

5. 函数 f (x) ? 2 x ? log a (x ? 1) ? 3 恒过定点为(



A. (0,3)

B. (0,4)

6.下列命题中错误的是( )

C. (?1, 7 ) 2

D. (?1,4)

A.如果? ? ? ,那么? 内一定存在直线平行于平面 ?

B.如果? ? ? ,那么? 内所有直线都垂直于平面 ?

C.如果平面? 不垂直平面 ? ,那么? 内一定不存在直 线垂直于平面 ?

D.如果? ? ? , ? ? ? ,? ? ? ? l ,那么 l ? ? 7. 阅读如下程序框图,如果输出 i ? 4 ,那么空白的判断框中应填入的条件是( )

1

A. s ? 8

B. s ? 9

C. s ? 10

D. s ? 11

8. 一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方

体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )

4π A. 81

81-4π B. 81

1 C. 27

7 D. 16

9.在一个港口,相邻两 次高潮发生的时间相距12h ,低潮时水深为 9m ,高潮时水深为

15m .每天潮涨潮落时,该港口水的深度 y ( m )关于时间 t ( h )的函数图象可以

近似地看成函数 y ? ?sin ??t ?? ? ? k 的图象,其中 0 ? t ? 24 ,且 t ? 3 时涨潮到一

次高潮,则该函数的解析式可以是( )

A. y ? 3sin ? t ?12 6

B. y ? ?3sin ? t ?12 6

C. y ? 3sin ? t ?12 12

D. y ? 3cos ? t ?12 12

10.已知 cos? ? 3 ,则 cos? 的值为(



1? sin?

sin ? ?1

A. 3 3

B. ? 3 3

C. 3

D. ? 3

11.已知正四面体 ABCD 的表面积为 S,其四个面的中心分别为 E、F、G、H,设四面体 EFGH

的表面积为 T,则 等于(

)

A.

B.

C.

D.

12.已知 AB 是圆 C : (x ?1)2 ? y2 ? 1的直径,点 P 为直线 x ? y ?1 ? 0 上任意一点,则 uuur uuur PA? PB 的最小值是( )

A. 2 ?1

B. 2

二、填空题:(每题 5 分,计 20 分)

C. 0

D. 1

13.化简 sin(x ? 60?) ? 2sin(x ? 60?) ? 3 cos(120 ? ? x) 的结果是

.

14.已知两条直线 l1 : ?a ?1? x ? 2y ?1 ? 0 , l2 : x ? ay ? 3 ? 0 平行,则 a 等于_________.

2

15.已知函 数 f (x) ? Asin(?x ? ?) (x ? R) ,且 A ? 0,? ? 0,?? ? ? ? 0 .若 f (x) 的部分图象如下,

且与 y 轴交点 M (0,? 2 ) ,则? ? ? ?
2

16.对函数 f (x) ? 2sin(1 x ? ? ) ?1 (x ? R) ,有下列说法: 26

① f (x) 的周期为 4? ,值域为[?3,1] ;

② f (x) 的图象关于直线 x ? 2? 对称; 3

③ f (x) 的图象关于点 (? ? , 0) 对称; 3

④ f (x) 在 (?? , 2? ) 上单调递增; 3

⑤将 f (x) 的图象向左平移 ? 个单位,即得到函数 y ? 2cos 1 x ?1 的图象.

3

2

其中正确的是_______.(填上所有正确说法的序号).

三、解答题:(共 6 题,计 70 分)

17.(本题满分 10 分)

v

v

已知平面向量 a ? ?1, x?,b ? ?2x ? 3, ?x?? x ? R?.

v v vv (1)若 a / /b ,求 a ? b ;

vv (2)若 a 与 b 夹角为锐角,求 x 的取值范围.

18.(本题满分 12 分)

(1)已知 cos ????

?

? 6

? ??

?

1 3

,且

? 6

?

?

?

? 2

,求 cos?



(2)已知?,? 都是锐角,且 cos? ? 5 , cos ? ? 10 求? ? ?

5

10

19.(本小题满分 12 分)

某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段

?40,50? , ?50,60? …,[80, 90) , ?90,100 ?,然后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,

回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及 60 分以上为及 格)和平均分;

3

(3)把从[80, 90) 分数段选取的最高分的两人组成 B

组,[90, 100]分数段的学生组成 C 组,现从 B,C 两组中选两人参加科普 知识竞
赛,求这两个学生都来自 C 组的概率. 20.(本小题满分 12 分)
如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF沿 AF 折起,得到如

BC ? 2

图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中

2.

(1) 证明: DE //平面 BCF ;

(2) 证明: CF ? 平面 ABF ;

(3)

AD ?


2 3 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积VF ?DEG .

A

A

D B

G
F 图4

E C

G
D F

E C

B

图5

21.(本题满分 12 分)
已知圆 C : x2 ? ? y ?1?2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ?1? m ? 0 ,且直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点.
(1)若 AB ? 17 ,求直线 l 的倾斜角.
(2)若点 P?1,1? 满足 2AP ? PB ,求此时直线 l 的方程.
22.(本小题满分 12 分)
4

已知函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)(A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的部分图象如下图所示. 2

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)当

x0

?(0, ? ) , 2

f

(x0 )

?

3 ,若 g(x) ?1? 2cos 2x , 求 g(x0 ) 的值;

(3)若

h?

x?

?1?

2cos 2x

?

a,

且方程

f

(x)

?

h(x)

?

0



???0,?2

? ??

上有解,求实数

a

的取值

范围.

5

一.选择题 1—5 BACCB
二. 填空题

6---10 BBCAB

数学答案(文科) 11---12 DD

13. 0 14. 2 或 ?1
三.解答题

15. ? 5? 16

16. ①②④

17. 解:(1) 2 或 2 5 ;(2) ??1,0? U?0,3?

18.(本题满分 12 分)

解:(1)? ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? ? ? 2? ,

6

26

63

? cos??? ? ? ?? ? 1 ,? sin??? ? ? ?? ? 2 2 ,

? 6? 3

? 6? 3

?cos? ? cos??? ? ? ? ? ?? ? 6 6?

? cos??? ? ? ??cos? ? sin??? ? ? ?? sin ? ? 3 ? 2 2 ;

? 6? 6 ? 6? 6

6

(2)? ?,? 是锐角,且 cos? ?

5 , cos? ? 5

10 , 10

?sin? ? 2 5 , sin ? ? 3 10 ,

5

10

?cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin? sin ?

? 5 ? 10 ? 2 5 ? 3 10 ? ? 2 ,

5 10 5 10

2

? ?,? 是锐角, 0 ? ? ? ? ? ? ,?? ? ? ? 3? .
4
19.(本题满分 12 分)

6

(3) [90, 100]分数段的学生人数为: 0.005?10 ? 60 ? 3 人,即 C 组只有 3 人;把从 B 组抽取的 2

人记为 b1 、 b2 ; C 组的 3 人记为 c1 、 c2 、 c3 ,则从 B、C 两组的 5 人中抽选 2 人去参加竞赛的基

本事件有:(b1,b2),(b1,c1), (b1,c2), (b1,c3), (b2,c1), (b2,c2), (b2,c3),( c1,c2), ( c1,c3), ( c2,c3)共 10 种.设选中的 2 人都来 C 组的事件为 x ,则 x 包含的基本事件有( c1,c2), ( c1, c3) , ( c2,c3)共 3 种.

因此 P(x) ? 3 . 故选中的 2 人都来自 C 组的概率为 3 ………………12 分

10

10

? AD ? AE 20. (1) DB EC ,在折叠后的三棱锥 A? BCF 中

也成立,?DE / /BC ,Q DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,?DE / / 平面 BCF ; ………………… 6 分

BF ? CF ? 1

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,

2 . Q 在三棱锥

BC ? A? BCF 中,

2 2 ,?BC2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

Q BF ?CF ? F ?CF ? 平面ABF ;(3) 由 (1) 可 知 GE / /CF , 结 合 (2) 可 得

GE ? 平面DFG .

7

?VF ?DEG

? VE?DFG

?

1? 3

1 2

? DG ?

FG ?GF

?

1 3

?

1 2

?

1 3

?

? ???

1? 3

3 2

? ??? ?

1 3

?

3 324

21、(本题满分 12 分)

(1)由圆 C : x2 ? ? y ?1?2 ? 5 ,得圆的半径 r ? 5 ,又 AB ? 17 ,

故 弦 心 距 d ? r2 ? ( AB )2 ? 3 . 再 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 d ? 0 ?1?1? m , ∴

2

2

m2 ?1

3 ? 0 ?1?1? m ,解得 m ? ? 3 .即直线 l 的斜率等于 ? 3 ,

2

m2 ?1

故直线 l 的倾斜角等于 ? 或 2? 33 uuur uuur
(2)设 A? x1,mx1 ? m ?1?, B? x2,mx2 ? m ?1? ,由题意 2AP ? PB 可得

2?1? x1,?mx1 ? m? ? ? x2 ?1,mx2 ? m? , ∴ 2 ? 2x1 ? x2 ? 1 , 即 2x1 ? x2 ? 3 . ① 再 把直 线方 程

y ?1 ? m? x ?1? 代入圆 C : x2 ? ? y ?1?2 ? 5 ,化简可得

? ? 1? m2 x2 ? 2m2x ? m2 ? 5 ? 0 ,

由根与系数关系可得

x1

?

x2

?

2m2 m2 ?1

.②,

由①②解得

x1

?

m2 +3 m2 ?1

,故点

A

的坐标为

? ? ?

m2 +3 1 ? 2m ? m2 ,
m2 ?1 m2 ?1

? ? ?

.

把点 A 的坐标代入圆 C 的方程可得 m2 ? 1 ,即 m ? ?1,

故直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 .

22.(1)由图知 A=2 , (解法只要合理,均可给分)

T = 5 ? ? ? = ? ,T=? = 2? ,?=2 ,

4 12 6 4

?

?

f

?x?

?

2 sin

?2x

??

? ,?

f

? ??

? 6

? ??

?

2,? 2

?

2 sin

? ??

2

?

? 6

+?

???,? =

? 6



?

f

?

x

?

?

2

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

;

(2)

f

? x0

?

?

2

sin

? ??

2x0

?

? 6

? ??

?

3, x0

?

? 或? 12 4

,

g

?

x0

?

=g

? ??

? 12

? ??

=1+2

cos

? 6

=1+

3或1+

2;

8

(3)

2

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

?

1

?

2

cos

2

x

?

a

?

0在

???0,?2

? ??

上有解,

等价于函数y=a和y=2

sin

? ??

2x+

? 6

? ??

?1

?

2 cos

2x的图象有交点

,

y=2sin

? ??

2

x+

? 6

? ??

?1

?

2

cos

2

x=2

? ??

sin

2x

cos

? 6

+

cos

2x

sin

? 6

? ??

?1

?

2

cos

2

x

=

3

sin

2x

?

cos

2x

?

1=2

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

?

1,

Q

x

?

???0,?2

? ??

,

2

x

?

? 6

?

????

? 5? 6,6

???,sin(2x

?

? 6

)

?

????

1 2

,1???,y

?

??2,1?

,

?a ???2,1? .

9


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