高中数学第一章统计案例1.1.3可线性化的回归分析知识导航北师大版选修1-2资料


1.3

可线性化的回归分析

自主整理 1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的_____________,从_____________中看 出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合. 2.对于非线性回归模型一般可转化为_____________,从而得到相应的回归方程. 高手笔记 1.几种常见模型 b (1)幂函数曲线 y=ax 其散点图在形如下列曲线附近.

设 μ =lny,v=lnx,c=lna,则转化为线性关系:μ =c+bv. bx (2)指数曲线 y=ae 其散点图在形如下列曲线附近

设 μ =lny,c=lna,则转化为线性关系:μ =c+bx. (3)倒指数函数 y= ae
b x

其散点图在如下曲线附近.

设 μ =lny,c=lna,v=

1 ,则转化为线性关系:μ =c+bv. x

(4)对数函数模型 y=a+blnx 其散点图在如下曲线附近.

1

设 v=lnx,则转化为线性关系:y=a+bv. 2.常见几种模型在使用时要注意散点图的形状符合哪一种类型曲线的形状,有时不太容易辨 别,可采用多种模型拟合,并转变为线性回归关系.利用线性相关系数来判断检验用哪一种拟 合效果较好,就用谁. 3.常见的几种函数模型的解析式在转变为线性相关关系时 ,要根据函数式的特点,灵活地换 元转变为线性函数关系. 名师解惑 实际问题中非线性相关的函数模型应怎样选取? 剖析:(1)要先作散点图;(2)选取所有符合的可能类型;(3)将非线性关系转变为线性关 系后,可再作线性相关的散点图来进一步辨别,也可通过计算线性相关系数作比较. 讲练互动 bx 【例 1】某地今年上半年患某种传染病人数 y 与月份 x 之间满足函数关系,模型为 y=ae ,确 定这个函数解析式. 月份 x 人数 y 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83

解析:函数模型为指数函数,可转化为线性相关关系,从而求出. 解:设 μ =lny,c=lna,则 μ =c+bx, 由已知 x μ =lny
6 6

1 3.95

2 4.11
6 2 6

3 4.22
2

4 4.304

5 4.356 7

6 4.418 8

? xi =21, ? ? i =25.359 5, ? xi =91, ? ? i =107.334,
i ?1 6 i ?1 i ?1 i ?1

?x ?
i ?1 i
6

i

=90.341 3, x =3.5, ? =4.226 58,

?x?
∴b=

?x
i ?1

i ?1 6

i

i

? 6x?
=

2

i

? 6( x ) 2

90.3413 ? 6 ? 3.5 ? 4.22658 1.58412 = ≈0.09, 17 .5 91 ? 6 ? 3.5 2

c= ? -b x =4.226 58-0.09×3.5=3.911 58,∴μ =3.911 58+0.09x.∴y=e

3.911 58

·e

0.09x

.

绿色通道 若函数模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程. 变式训练 1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是 1 万件、 1.2 万件、 1.3 万件、 1.37 万件,
2

为了估测以后每个月的产量可用函数 y=ae 来模拟该产品的月产量 y 与月份 x 的关系,求模 拟函数. 解:设 μ =lny,c=lna,则 μ =c+bx, 月份 x 产量 y x μ
4 4

bx

1 1 1 0
4 2

2 1.2 2 0.182 3
4 2

3 1.3 3 0.262 4
4

4 1.37 4 0.314 8

? xi =1xi=10, ? ? i =0.759 5, ? xi =30, ? ?i =0.201 2, ? x1?i =2.411, x =2.5 ,
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

? =0.189 9,

?x ?
b=
i ?1 4 i

4

4i

? 4x?
=

?x
i ?1

2 i

? 4( x ) 2

2.411 ? 4 ? 2.5 ? 0.1899 0.52125 = =0.102 45,c= ? -b x =0.189 2 30 ? 4 ? 2.5 5

9-0.102 45×2.5=-0.066, -0.066 0.102 45x ∴μ =-0.066+0.102 45x,y=e ·e . 【例 2】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表: 身 高 x/c m 体 重 y/k g

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

6.1 3

7.9 0

9.9 9

12.1 5

15.0 2

17.5 0

20.9 2

26.8 6

31.1 1

38.8 5

47.2 5

55.0 5

(1)画出散点图. (2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 y(kg)与身高 x(cm)的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. (3)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖,低于 0.8 倍为瘦,那么这个地区一 名身高为 175 cm,体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常? 解析:作出散点图,观察函数曲线得到函数模型,再转为线性函数解答. 解:(1)作散点图.

(2)从散点图可看出函数模型为 y=ae 型,
3

bx

设 μ =lny,c=lna,则 μ =c+bx, x μ
12

60 1.81 3

70 2.06 7
12

80 2.30 1 6

90 2.49 7

100 2.70 9 4
12 2

110 2.86 2

120 3.04 1
12

130 3.29 0 6

140 3.43 7 5

150 3.65 9 7

160 3.85 5 4

170 4.00 8 2

? xi =1 380, ? ?i =35.542 4, ? xi =173 000, ? xi ?i =4 369.249,x=115,μ =2.961 9,
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

?x ?
b=
i ?1 i

12

i 2

? 12 ? x ? ?
=

?x
i ?1

12

i

? 12( x) 2

4369 .249 ? 12 ? 115 ? 2.9619 281 .873 = =0.019 7, 14300 173000 ? 12 ? 115 2

c=μ -bx=2.961 9-0.019 7×115=0.696 4, 0.696 4 0.019 7 ∴μ =0.696 4+0.019 7x,y=e ·e x. (3)当 x=175 时,μ =4.143 9, ∴y=e =e
μ 4.143 9

=63.048,

78 =1.237>1.2,此男子偏胖. 63.048

绿色通道 根据给出的数据,画出散点图,选择散点图所符合的函数模型,再转为线性关系解答. 变式训练 2.为了研究某种细菌随时间 x 变化时繁殖的个数 y,收集数据如下: 天数 x/天 繁殖个数 y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190

(1)作出 y 关于 x 的散点图; (2)写出 y 关于 x 的模拟函数. 解析:作出散点图,观察变化趋势,找出拟合函数关系,并求解. 解:(1)作散点图.

(2)由散点图知 x、y 之间满足函数关系为 y=ae , 设 μ =lny,c=lna,则 μ =c+bx. x μ
6 6

bx

1 1.791 8

2 2.484 9
6 2

3 3.218 9
6

4 3.891 8

5 4.553 9

6 5.247 0

? xi =21, ? ? i =21.188 3, ? xi =91, ? xi ?i =86.237, x =3.5, ? =3.531 4,
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

4

?x ?
b=
i ?1 6 i

6

i

? 6x? ? 6x
2

?x
i ?1

?

2 i

86.237 ? 6 ? 3.5 ? 3.5314 12 .0776 = =0.69, 17 .5 91 ? 6 ? 3.5 2

c= ? -b x =3.531 4-0.69×3.5=1.115 9,∴μ =1.115 9+0.69x.∴y=e

1.115 9

·e

0.69x

.

5


相关文档

高中数学第一章统计案例1.1回归分析1.1.3可线性化的回归分析知识导航素材北师大版选修1_2
高中数学第一章统计案例1.1.3可线性化的回归分析知识导航北师大版选修1_2
高中数学第一章统计案例1.1.3可线性化的回归分析知识导航北师大版选修1-2讲义
陕西省高中数学北师大版选修1-2第1章《统计案例》导学案:1.1.3可线性化的回归分析
高中数学第一章统计案例1.1回归分析感悟非线性回归问题素材北师大版选修1_2
高中数学第一章统计案例1.1回归分析1.1.2相关系数知识导航素材北师大版选修1_2
高中数学第一章统计案例1.1.3可线性化的回归分析知识导航北师大选修1-2创新
高中数学第一章统计案例1.1.3可线性化的回归分析同步测控北师大选修1-2创新
高中数学第一章统计案例1.1.3可线性化的回归分析同步测控北师大选修1-2讲解
高中数学第三章统计案例1.1回归分析知识导航北师大版选修2-3资料
电脑版