[配套K12]2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 第1课时 任意角的三角函数学案 苏教版必修4

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第 1 课时 任意角的三角函数
学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为 自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内 的符号.
知识点一 任意角的三角函数 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点 P,作 PM⊥x 轴于 M,设 P(x,y),|OP|=r.

思考 1 角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么?

思考 2 对确定的锐角 α ,sin α ,cos α ,tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变?

思考 3 在思考 1 中,当取|OP|=1 时,sin α ,cos α ,tan α 的值怎样表示?

梳理 任意角的三角函数的定义

前提 如图,设 α 是一个任意角,P(x,y)是它的终边上任意一点

定义

正弦 余弦 正切 三角

比值________叫做 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α =________ 比值________叫做 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α =________ 比值________(x≠0)叫做 α 的正切,记作 tan α ,即 tan α =________ 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以角的终边上点的坐标的比值为

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教育配套资料 K12 函数 函数值的函数,将它们统称为三角函数
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗?
梳理 三角函数值的符号,如图所示.

口诀:“一______,二________,三________,四______”.
类型一 三角函数定义的应用 命题角度1 已知角α 终边上一点坐标求三角函数值 例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0),且 cos θ = 1100x,求 sin θ ,tan θ .

反思与感悟 (1)已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法:

①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三

角函数值.

②在 α

的终边上任选一点

P(x,y),设

P

到原点的距离为

r(r>0),则

sin

α

y =r,cos

α



xr.当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时,用该方法更方便.

(2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨

论.

跟踪训练 1 已知角 α 的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),求 2sin α +cos α 的值.

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命题角度2 已知角α 终边所在直线求三角函数值 例 2 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α +cos3 α 的值.

反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分

两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a,b),则对应角的三角函数值分别

b

a

b

为 sin α = a2+b2,cos α = a2+b2,tan α =a.

跟踪训练 2 已知角 α 的终边在直线 y= 3x 上,求 sin α ,cos α ,tan α 的值.

类型二 三角函数值符号的判断 例 3 (1)若 α 是第二象限角,则点 P(sin α ,cos α )在第________象限. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°;②cos(-43°);③tan74π .

反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定,解题的关键是准确确定角的 终边所在的象限,同时牢记各三角函数值在各象限的符号,记忆口诀:一全正,二正弦,三 正切,四余弦. 跟踪训练 3 (1)已知点 P(tan α ,cos α )在第三象限,则 α 是第________象限角.
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(2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(-210°);②sin 3·cos 4·tan 5.

1.已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =________.

2.已知角 α 的终边上有一点 P( 55,-2 5 5),则 sin α +cos α =________.

3.若点 P(3,y)是角 α

终边上的一点,且满足 y<0,cos

α

3 =5,则 tan

α =________.

4.当 α

为第二象限角时,|ssiinn

α α

|-|ccooss

α α

|的值是________.

5.已知角 α 的终边经过点 P(x,-2)(x≠0),且 cos α =x3,求 sin α 和 tan α .

1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数. 2.角 α 的三角函数值的符号只与角 α 所在象限有关,角 α 所在象限确定,则三角函数值 的符号一定确定,规律是“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 3.终边相同的三角函数值一定相等,但两个角的某一个函数值相等,不一定有角的终边相同, 更不一定有两角相等.
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答案精析

问题导学

知识点一

y

x

y

思考 1 sin α =r,cos α =r,tan α =x.

思考 2 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点 P(x,y)在终边上的位置无关,只与角

α 的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.

思考 3

sin

α

=y,cos

α

=x,tan

α

y =x.

梳理

y r

y r

x r

x r

y x

y x

知识点二

思考 由三角函数定义,可以判断三角函数值的符号.

梳理 全正 正弦 正切 余弦

题型探究

例 1 解 由题意知 r=|OP|= x2+9,

由三角函数定义得 xx
cos θ =r= x2+9 .

又∵cos θ = 1100x,∴

x =
x2+9

1100x.

∵x≠0,∴x=±1. 当 x=1 时,P(1,3),

3 3 10 此时 sin θ = 12+32= 10 ,

3 tan θ =1=3.

当 x=-1 时,P(-1,3),

此时 sin θ =

3

3 10

- 2+32= 10 ,

tan θ =-31=-3.

跟踪训练 1 解 ±1

例 2 解 由题意知,cos α ≠0.

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设角 α 的终边上任一点为 P(k,-3k)(k≠0),则 x=k,y=-3k, r= k2+ -3k 2= 10|k|.

(1)当 k>0 时,r= 10k,α 是第四象限角,

y -3k 3 10

sin α =r=

=- 10k

10



1 cos

α

r =x=

1k0k=

10,

∴10sin

α

3 +cos α

=10×???-3 1010???+3

10=-3

10+3

10=0.

(2)当 k<0 时,r=- 10k,α 是第二象限角,

y -3k 3 10

sin α =r=-

= 10k

10



1 cos

α

=rx=-

k10k=-

10,

∴10sin α +cos3 α =10×3 1010+3×(- 10)=3 10-3 10=0. 综上所述,10sin α +cos3 α =0.

31 跟踪训练 2 - 2 -2 3

例 3 (1)四 (2)①- ②+ ③- 跟踪训练 3 (1)二 (2)①- ②+ 当堂训练

4

5

4

1.-5 2.- 5 3.-3 4.2

5.解 因为 r=|OP|= x2+ - 2,

x

x

x

所以由 cos α =3,得 x2+ - 2=3,解得 x=± 5.

当 x= 5时,sin α =-23,tan α =-2 5 5;

当 x=- 5时,sin α =-23,tan α =2 5 5.

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