【配套K12】高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系教案苏教版必修4

L12 教育教学文件 1.2.2 同角三角函数关系 整体设计 教学分析 与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定 义,按照一切从定义出发的原则进行,通过对基本关系的推导,培养学生重视对基本概念学 习的良好习惯,并通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵. 同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来, 在使用时一要注意“同角”,如 sin 4π +cos 4π =1 等,二要注意这些关系式都是对于使 π 它们有意义的那些角而言的,如 tanα 中的 α 是使得 tanα 有意义的值,即 α ≠kπ + , 2 k∈Z. 通过联系,让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质(正用、逆用、变形用),对公 式不仅能牢固掌握,还能灵活运用,不仅掌握公式的标准形式,而且还应掌握它们的等价形 式:sin α =1-cos α ,1=sin α +cos α ,cosα =± 1-sin α ,sinα =tanα cosα , sinα cosα = .熟练掌握这些等价形式,在应用上可更为方便,但在变形中要注意定义域从 tanα 左到右的变化,如 sinα =tanα cosα ,这时定义域由 α ∈R 变为 α ≠kπ + π tanα cosα =sinα ,这时定义域由 α ≠kπ + ,k∈Z,变为 α ∈R. 2 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这 是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终 边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题 时产生遗漏的主要原因: 一是没有确定好或不去确定终边的位置; 二是利用平方关系开方时, 漏掉了负的平方根. 三维目标 1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本 关系式进行三角函数的化简与证明. 2.掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明. 3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的 能力,树立转化与化归的思想方法. L12 教育教学文件 π ,k∈Z,而 2 2 2 2 2 2 2 2 L12 教育教学文件 重点难点 教学重点:课本的两个公式的推导及应用. 教学难点:课本的两个公式的推导及应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的 结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算 下列各式的值: sin60° sin135° 2 2 2 2 (1)sin 90°+cos 90°;(2)sin 30°+cos 30°;(3) ;(4) . cos60° cos135° 思路 2.既然角 α 的正弦、余弦、正切都是角 α 的函数,自然想到它们之间会有什么 内在的联系呢?由此引导学生探究同角三角函数的关系式. 推进新课 新知探究 如图 1,以正弦线 MP、余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构成直角三角形,而且 OP=1.由 勾股定理有 OM +MP =1. 2 2 图1 因此 x +y =1,即 sin α +cos α =1.(等式 1) 显然,当 α 的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立. π sinα 根据三角函数的定义,当 α ≠kπ + ,k∈Z 时,有 =tanα .(等式 2) 2 cosα 这就是说,同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于 1,商等于角 α 的正切. 对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出 其他的三角函数的值. 2 2 2 2 L12 教育教学文件 L12 教育教学文件 对以上关系式教师可先让学生用自己的语言叙述出来, 然后点拨学生思考这两个公式的 用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范 围.可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对 没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”. 应用示例 思路 1 4 例 1 已知 sinα = ,并且 α 是第二象限的角,求 cosα ,tanα 的值. 5 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题, 明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是 sin α +cos α =1,故 cosα 的值最容易求得,在求 cosα 时需要进行开平方运算,因此应 根据角 α 所在的象限确定 cosα 的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题. 4 2 9 2 2 2 2 解:因为 sin α +cos α =1,所以 cos α =1-sin α =1-( ) = . 5 25 又因为 α 是第二象限角, 所以 cosα <0. 于是 cosα =- 9 3 =- , 25 5 2 2 sinα 4 5 4 从而 tanα = = ×(- )=- . cosα 5 3 3 点评:本题是直接应用关系式求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让 4 学生体会关系式的用法.应使学生清楚 tanα =- 中的负号来自 α 是第二象限角,这也是 3 根据商数关系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定. 例 2 见课本本节例 2. 变式训练 8 已知 cosα =- ,求 sinα ,tanα 的值. 17 解:因为 cosα <0,且 cosα ≠-1,所以 α 是第二或第三象限角.如果 α 是第二象限角, 那么 sinα = 1-cos α = 2 8 1- - 17 2 15 = , 17 sinα 15 17 15 tanα = = ×(- )=- , cosα 17 8 8 15 1

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