【高中】2018-2019学年度最新北师大版数学选修4-1教学案:第一章1第二课时平行线分线段成比例定理

第二课时 平行线分线段成比例定理 [对应学生用书 P5] [自主学习] 1.平行线分线段成比例定理及推论 定理内容 符号语言 AB DE 如图,若 a∥b∥c,则BC= EF 平行线分线段 成比例定理 三条平行线截两条直线,截得的对 应线段成比例 平行于三角形一边的直线截其他两 推论 边(或两边的延长线), 截得的对应线 段成比例 如图,若 a∥b∥c,则 AD AE DE = = AB AC BC 2.三角形内角平分线定理 定理内容 符号语言 如图,AD 为∠A 的平分线, 三角形的内角平分线分对边 三角形内角平分线定理 所得的两条线段与这个角的 两边对应成比例 则 AB BD = AC DC [合作探究] 1.平行线分线段成比例定理的条件是什么? 提示: 定理的条件应给出一组平行线, 至少三条, 可以推广到多条但要注意对应成比例. 2.线段的比与比例线段有何异同? 提示:线段的比是两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序 性,a∶b 与 b∶a 通常是不相等的.比例线段也有顺序性,如线段 a,b,c,d 成比例,与线 段 a,c,b,d 成比例不同. 3.三角形内角平分线定理中能否写成 AB· DC=BD· AC? 提示:可以.但要注意其对应成比例不变. [对应学生用书 P5] 利用定理证明比例式 [例 1] 如图,AD 为△ABC 的中线,在 AB 上取点 E,AC 上取点 F, EP AC 使 AE=AF,求证:FP=AB. [思路点拨] 本题主要考查利用平行线分线段成比例定理证明比例式.解答此题时,可 考虑过 C 作 CM∥EF,补一个平行四边形求解. [精解详析] 如图,过 C 作 CM∥EF,交 AB 于点 M,交 AD 于点 N. ∵AE=AF,∴AM=AC. ∵AD 为△ABC 的中线, ∴BD=CD. 延长 AD 到 G,使得 DG=AD,则四边形 ABGC 为平行四边形. ∴AB=GC. EP FP AP EP MN ∵CM∥EF,∴MN=CN=AN,∴FP= CN . 又 AB∥GC,AM=AC,GC=AB, MN AM AC EP AC ∴ CN = GC =AB.∴FP=AB. 1.利用平行线分线段成比例定理证明比例式时,当不能直接证明要证的比例成立时, 常把线段的比转化为另两条线段的比. 2.当题中没有平行线条件而必须转移比例时,常添加辅助平行线,从而达到转移比例 的目的. AE 1.AD 为△ABC 的中线,过 C 作任一直线交线段 AB 及中线 AD 于 F,E.求证:ED= 2AF FB . AF DK 证明:作 FK∥AD 交 BC 于点 K,则有FB= BK. FK BK ED CD 又AD=BD, FK=CK, CD=BD,两式相乘, ED BK AD CK 得AD=CK,即ED=BK, AE+DE CD+DK BD+DK BK+2DK ∴ ED = BK = BK = BK , AE 2DK DK AF AE 2AF ∴ = ,又 = ,∴ = . ED BK BK FB ED FB 利用定理证明乘积式 [例 2] 如图所示,已知直线 FD 和△ABC 的 BC 边交于 D,与 AC 边交于 E,与 BA 的延长线交于 F,且 BD=DC,求证:AE· FB=EC· FA. AE FA AE FA [思路点拨] 本题只需证EC=FB即可.由于EC与FB没有直接关系,因此必须寻找过 渡比将它们联系起来.因此考虑添加平行线构造过渡比. [精解详析] 过 A 作 AG∥BC,交 DF 于 G 点,如图所示. FA AG ∵AG∥BD,∴ = . FB BD FA AG 又∵BD=DC,∴FB=DC. AG AE ∵AG∥BD,∴DC=EC. AE FA ∴EC=FB,即 AE· FB=EC· FA. 证明乘积式时先转化为比例式,再利用平行线分线段成比例定理证明,必要时添加辅 助平行线. 2.如图已知,点 E 是?ABCD 边 CD 延长线上的一点,连接 BE 交 AC 于点 O,交 AD 于点 F.求证:OB2=OE· OF. 证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥CD,AD∥BC. OB OA 由 AB∥CE,得 = . OE OC OA OF 由 AF∥BC,得OC=OB. OF OB 所以 = (等量代换). OB OE 即 OB2=OE· OF. 定理的应用 [例 3] 如图所示,∠A=∠E, [ 思路点拨 ] AB 1 = ,BD=8,求 BC 的长. BE 2 本题主要考查利用平行线分线段成比例定理求线段 长.解此题时,由于 BC 和 BD 是对应线段,因此只需得出 AC∥DE 即可. [精解详析] ∵∠A=∠E,∴AC∥DE, BC AB BC 1 ∴BD=BE,∴ = ,∴BC=4. 8 2 在列比例式求线段的长时,应尽可能将需求的线段写成比例式的一项,以减少比例变 形,减少错误. 3.如图,EF⊥FD,AB⊥FD,CD⊥FD,EF=1.5,AB=2.5,FB =2,BD=6,求 CD 的长. 解:由 EF⊥FD,AB⊥FD,CD⊥FD,得 EF∥AB∥CD. 过 E 作 EH⊥CD 于 H,交 AB 于 G, 则 EH∥FD,则 EF=GB=HD,EG=FB,GH=BD, AG=AB-EF=2.5-1.5=1, AG EG FB 1 = = = , CH EH FD 4 所以 CH=4,所以 CD=CH+HD=4+1.5=5.5. 本课主要考查平行线分线段成比例定理,难度较低,属中低档题. [考题印证] 如图,设 D 是△ABC 的边 AB 上的一点,D 点沿着平行于 BC 的 方向移动到 AC 边上的 E 点,再由 E 点沿着平行于 AB 的方向移动到 BC 边上的 F 点; 再由 F 点沿着平行于 CA 的方向移动到 AB 边上的 G 点……这样每沿着

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