[K12学习]2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数学案 新人教A版必修4

K12 学习教育资源 1.2.1 任意角的三角函数 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,会判断三角函数值的符号.(重点) 2.掌握诱导公式及其应用.(重点) 3.了解三角函数线的意义,会利用三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切.(难点) [基础·初探] 教材整理 1 任意角的三角函数 阅读教材 P11~P12 例 1 以上内容,完成下列问题. 1.单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.定义: 图 1?2?1 在平面直角坐标系中,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: (1)y 叫做 α 的正弦,记作 sin α ,即 sin α =y; (2)x 叫做 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α =x; (3)yx叫做 α 的正切,记作 tan α ,即 tan α =yx(x≠0). 对于确定的角 α ,上述三个值都是唯一确定的.所以,正弦、余弦、正切都是以角为自 变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 3.正弦函数 sin α 的定义域是 R;余弦函数 cos α 的定义域是 R;正切函数 tan α 的 定义域是?????x???x∈R,且x≠kπ +π2 ,k∈Z???. ?? 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由 sin α y =r,故角 α 终边上的点 P(x,y)满足 y 越大,sin α 的值越大.( ) K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 (2)终边相同的角,其三角函数值也相等.( ) (3) 三 角 函 数是 以 角 为 自变 量 , 以 单 位 圆上 点 的坐 标 或 坐 标 的 比值 为 函数 值 的 函 数.( ) 【解析】 (1)当 y 越大时,yr比值不变,故 sin α 不变. (2)由正弦定义知正确. (3)由三角函数定义知正确. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理 2 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 阅读教材 P13“探究”内容,完成下列问题. 图 1?2?2 口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 已知 α 是第三象限角,则 sin α ________0,cos α ________0,tan α ________0.(填 “>”或“<”) 【答案】 < < > 教材整理 3 诱导公式一 阅读教材 P14“例 4”以上内容,完成下列问题. cos???-116π ???等于________. 【解析】 cos???-116π ???=cos???-2π +π6 ???=cosπ6 = 23. 【答案】 3 2 教材整理 4 三角函数线 阅读教材 P15 倒数第四行至 P17“练习”以上部分,完成下列问题. K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线. (2)有向线段:规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. 2.三角函数线的定义:如图 1?2?3,①设任意角 α 的顶点在原点 O(O 亦为单位圆圆心), 始边与 x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点 P(x,y),②过点 P 作 x 轴的垂线,垂足 为 M;过点 A(1,0)作单位圆的切线,③设它与角 α 的终边(当 α 位于第一、四象限时)或其 反向延长线(当 α 位于第二、三象限时)相交于点 T(由于过切点的半径垂直于圆的切线,所 以 AT 平行于 y 轴). 图 1?2?3 于是 sin α =y=MP,cos α =x=OM,tan α =yx=MOPM=AOTA=AT. 我们规定与坐标轴同向时,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段 MP, OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线. 3.轴线角的三角函数线:当角 α 的终边与 x 轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点, 此时角 α 的正弦值和正切值都为 0;当角 α 的终边与 y 轴重合时,余弦线变成一个点,正 切线不存在,此时角 α 的正切值不存在. 如图 1?2?4,在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的是( ) 图 1?2?4 A.正弦线 PM,正切线 A′T′ B.正弦线 MP,正切线 A′T′ C.正弦线 MP,正切线 AT D.正弦线 PM,正切线 AT 【解析】 α 为第三象限角,故正弦线为 MP,正切线为 AT,C 正确. 【答案】 C K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 [小组合作型] 任意角三角函数的定义及应用 (1)若 sin α =35,cos α =-45,则在角 α 终边上的点有( ) A.(-4,3) B.(3,-4) C.(4,-3) D.(-3,4) (2)若 α =-π3 ,则 sin α =________,cos α =________,tan α =________. (3)已知角 α 的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),则 2sin α +cos α =________. 【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键. 【自主解答】 (1)由 sin α ,cos α 的定义知 x=-4,y=3,r=5 时,满 足题意,故选 A. (2)因为角-π3 的终边与单位圆交于 P???12,- 23???, 所以 sin α =- 23,cos α =12,tan α =- 3. (3)因为 r= -3a 2+ a 2=5|a|, ①若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限, y 4a 4 x -3a 3 sin α =r=5a=5,cos α =r= 5a =-5, 所以 2sin α +cos α =85-35=1. ②若 a<0,则 r=-5a,角 α 在第四象限, sin α =-4a5a=-45,cos α =- -35

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