福建省三明市第一中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学(文)试题(特保班)


三明一中 2015-2016 学年(上)第二次月考 高二数学(文特保班)试卷 (总分 150 分,时间:120 分钟) 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1.下列命题中不是全称命题的是 ( )

A.任何一个实数乘以 0 都等于 0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 )

2.焦点在 x 轴,且焦点到准线的距离为 4 的抛物线方程为 ( A. y 2 ? 4 x B. y 2 ? 8x C. y 2 ? ?4x

D. y 2 ? ?8x

3.下列结论正确的是( ) A. (5 x )' ? 5 x B. (5 x )' ? 5 x ln 5 C. (log a x)' ?

ln a x

D. (log a x )' ?

a x

4.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1, (b ? 0) 实轴的一端点为 A,虚轴的一端点为 B,且 | AB |? 5 ,则 16 b 2
) B.

该双曲线的方程为( A.

x2 y2 ? ?1 16 15

x2 y2 ? ?1 16 12

C.

x2 y2 ? ?1 16 9

D.

x2 y2 ? ?1 16 3

5.已知函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调递减区间为( ) A. (0, )
2

1 2

B. (0,??)

C. ( ,?? )

1 2

D. (?? , )

1 2

6.抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点 M ( x0 ,8) 到焦点的距离是 10,则 x0 ? ( ) A.1 或 8 B.1 或 9 C.2 或 8 D .2 或 9

7. 已知函数 f ( x) 的导函数 f ' ( x) 图象如右图所示, 那么函数 f ( x) 的图象最有可能的是 ( )

8.设 a, b 是两非零向量,则“ a ? b ? 0 ”是“ a, b 夹角为锐角”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则 a 的取值范围是( A. ? 1 ? a ? 2 D. a ? ?1或a ? 2 B. ? 3 ? a ? 6 C. a ? ?3或a ? 6



10.如果方程 A.a ? ?6 11.以椭圆

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则实数 a 的取值范围是( ) a2 a ? 6
B.? 2 ? a ? 3 C.a ? ?2或a ? 3 D.a ? ?6且a ? ?2且a ? 3

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点 F1 , F2 为直径的圆若和椭圆有交点,则椭圆 a2 b2

离心率的取值范围是( ) A. [

2 ,1) 2

B. (

2 ,1) 2

C. [

3 ,1) 2

D. (

3 ,1) 2

12. 函数 f ( x) 的定义域为 R, f (?1) ? 2 , 对任意 x ? R, f ' ( x) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为( A. (?1,1) ) B. (?1,??) C. (??,?1) D. (??,??)

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“若 a ? A ,则 b ? B ”的否命题是 .

14.双曲线

x2 y2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的焦点到其准线的距离是 a 2 b2 x2 y2 ? ? 1 的焦距为 6,则 k 的值是 20 k




15.已知椭圆

16







f1 ( x) ? s x ? c ix

o n,


s

记 则

f 2 ( x) ? f1 ' ( x), f 3 ( x) ? f 2 ' ( x),?, f n ( x) ? f n?1 ' ( x), (n ? N * , n ? 2)
f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ? ? f 2 ( ) ? 2 2 2

?

?

?

0

1.

5

三、解答题: (第 17 题 10 分,第 18~22 题每题 12 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤)

x2 y2 ? ?1 ( , k ? R) 表示双曲线,命题 q:函数 y ? log2 (kx2 ? kx ? 1) 17.命题 p:方程 k ?3 k ?3
的定义域为 R,若命题 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 k 的取值范围. 18.已知 a 为实数,函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ,若 f '(1) ? 3 . (1)求 a 的值及曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求 f ( x) 在区间上的最大值. 19.已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 A(1,?2) . (1)求抛物线 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直 线 OA 与 l 的距离为

5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5
3 2

20.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c (a, b, c ? R) . (1)若函数 f ( x) 在 x ? 1 或 x ? 3 处取得极值,试求 a,b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x ? [?2,5] 时, f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

21.已知椭圆的一个顶点为 A(0,?1) ,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程;

6 . 3

(2)设椭圆与直线 y ? kx ? m(k ? 0) 相交于不同的两点 M、N,当|AM|=|AN|时,求 m 的取值 范围.
2 22. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图象上点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 3 ? 0 .

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)函数 g ( x) ? f ( x) ? m ? ln 4 ,若方程 g ( x) ? 0 在 [ , 2] 上恰有两解,求实数 m 的取值范 围.

1 e

三明一中 2015-2016 学年(上)高二数学(文特)第二次月考试卷 参考答案 一、选择题:5×12=60 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 A 8 B 9 C 10 D 11 A 12 B

二、填空题:4×5=20 13、 若a ? A, 则b ? B 14、 b 15、11 或 29 16、 -1

三、解答题: (第 17 题 10 分,第 18~22 题每题 12 分,共 70 分) 17.解:p:由 (k ? 3)(k ? 3) ? 0 得 ? 3 ? k ? 3

q:令 t ? kx ? kx ? 1,由 t ? 0 对 x ? R 恒成立
2

(1)当 k ? 0 时, 1 ? 0 ,∴ k ? 0 符合题意 (2)当 k ? 0 时, ? ∴q: 0 ? k ? 4 又∵ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题 ∴?

?k ? 0 ?k ? 0 ,解得 ? ?0 ? k ? 4 ?? ? 0

?? 3 ? k ? 3 ?k ? ?3或k ? 3 或? ?k ? 0或k ? 4 ?0 ? k ? 4
??10 分 ∴ f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ??1 分

∴ ? 3 ? k ? 0 或3 ? k ? 4 . 18.解:∵ f ( x) ? x 3 ? ax2 (1)∵ f '(1) ? 3 ∴ f '(1) ? 3 ?12 ? 2a ? 3 ∴a ? 0 ∴ f ( x) ? x ∴ f (1) ? 1
3

??2 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分 ??6 分 , 即

∴切点为 (1,1) ,切线的斜率 k ? f '(1) ? 3

∴ 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (1,1) 处 的 切 线 方 程 是 y ? 1 ? 3( x ? 1)

3x ? y ? 2 ? 0

??7 分 ??8 分

综上述: a ? 0 ,切线方程为 3x ? y ? 2 ? 0 (2)∵由(1)知 f ( x) ? x 3 ∴易知函数 f ( x) 在区间上为增函数 ??10 分 ∴函数在区间上的最大值 f ( x) max ? f (2) ? 8

??12 分

19、解: (1)∵抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 过点 A(1,?2) ∴ (?2) 2 ? 2 p ? 1 即 p ? 2 ∴抛物线 C 的方程为 C : y 2 ? 4 x ??2 分 ??3 分 ??4 分

(2)假设存在平行于直线 OA(O 为坐标原点)的直线 l,满足题意 ∵O 为坐标原点且点 A(1,?2) ∴直线 OA 的方程为 y ? ?2 x 又∵ OA // l ∴设直线 l 的方程为: y ? ?2 x ? m , (m ? 0)

??5 分

??6 分

联立 ?

? y ? ?2 x ? m ? y ? 4x
2

消 y 得 4x 2 ? 4(m ? 1) x ? m 2 ? 0

??8 分

∵直线 l 与抛物线 C 有公共点
2 2 ∴ ? ? [?4(m ? 1)] ? 4 ? 4m ? 0 解得: m ? ?

1 2

??9 分

又∵直线 OA 与 l 的距离为

5 5
??10 分



|m| 5

?

5 ,解得: m ? ?1 5
1 2

又∵ m ? ? ∴m ?1

??11 分

∴存在平行于直线 OA 的直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 ,满足题意 ??12 分 20、解: (1)∵函数 f ( x) 在 x ? 1 或 x ? 3 处取得极值

∴ f ' (1) ? 0 , f ' (3) ? 0 又∵ f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ∴?

??1 分

? f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? f ' (3) ? 27 ? 6a ? b ? 0
??3 分

??2 分

∴ a ? 6, b ? 9

经检验,当 a ? 6, b ? 9 时,函数 f ( x) 在 x ? 1 或 x ? 3 处取得极值 ∴ a ? 6, b ? 9 ??5 分

??4 分

(2)由(1)知 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? c (c ? R) 又∵当 x ? [?2,5] 时, f ( x) ? c 2 恒成立 ∴ x ? 6 x ? 9 x ? c ? c 对任意 x ? [?2,5] 恒成立
3 2 2

∴ c ? c ? x ? 6 x ? 9 x 对任意 x ? [?2,5] 恒成立
2 3 2

??6 分

∴ c 2 ? c ? ( x 3 ? 6 x 2 ? 9 x) max , x ? [?2,5] 设 g ( x) ? x ? 6 x ? 9 x
3 2

∴ g ' ( x) ? 3x ? 12x ? 9 ? 3( x ? 1)(x ? 3)
2

令 g ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1或3 当 x 变化时, g ( x), g ' ( x) 的变化情况如下表

??7 分 (表格??9 分) 3 0 极小值 0 (3,5) + 增 20 5

x

-2

(-2,1) +

1 0 极大值 4

(1,3) 减

g ' ( x)
g ( x)
-50



∴由上表可得函数 g ( x) 在区间 [?2,5] 上的最大值为 g (5) ? 20 ∴ c ? c ? 20 ,即 c ? c ? 20 ? 0
2 2

??10 分

∴ c ? ?4或c ? 5 ∴c 的取值范围是 (??,?4) ? (5,??)

??11 分 ??12 分

21、解: (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,故设椭圆的方程为: 分 又椭圆的一个顶点为 A(0,?1) ,离心率为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ??1 a2 b2

6 3
??2 分

∴ b ? 1, e ?
2 2

c 6 6 即 b ? 1, c ? ? a a 3 3
2

又a ? b ?c ∴a ? 3
2

∴ a ? 1?
2

2 2 a 3

??3 分 ??4 分

∴椭圆的方程为:

x2 ? y2 ? 1 3

??5 分

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 (2)联立 ? 3 消 y 得 (1 ? 3k ) x ? 6kmx? 3m ? 3 ? 0 ? y ? kx ? m ?
∵直线与椭圆相交于不同的两点
2 2 2 ∴ ? ? (6km) ? 4(1 ? 3k )(3m ? 3) ? 0 得: 3k ? m ? 1 ? 0
2 2

??6 分

?? ①

??7 分

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ∴ x1 ? x 2 ? ?

6km 3m 2 ? 3 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2m 1 ? 3k 2
??8 分 ??9 分

∴ y1 ? y 2 ? kx 1 ? m ? kx 2 ? m ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2m ? 取 MN 的中点 P,则点 P ( ?

3km m , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

又|AM|=|AN|,则 AP ? MN ∴由直线 MN 的斜率 k ? 0 知直线 AP 的斜率必存在

m ?1 2 ∴ k AP ? k ? 1 ? 3k ? k ? ?1 ,化简得 3k 2 ? 2m ? 1 3km ? 1 ? 3k 2
代入①式得 2m ? 1 ? m ? 1 ? 0
2

??10 分

∴ m ? 2m ? 0
2

∴0 ? m ? 2 ∴m 的取值范围是(0,2) .

??11 分 ??12 分

22、解: (1)∵函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 图象上点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 3 ? 0 ∴?

?2 ? 1 ? f (1) ? 3 ? 0 ? f (1) ? ?1 即? ? f ' (1) ? a ? 2b ? 2 ?k 切线 ? f ' (1) ? 2
?? b ? ?1 ?a ? 2b ? 2

∴?

∴ a ? 4, b ? 1 ∴函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 4 ln x ? x 2 ∵函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) ∴由(1)有 f ' ( x ) ? ??3 分

4 ? 2x x 4 令 f ' ( x) ? 0, 即 ? 2 x ? 0 ,解得: 0 ? x ? 2 x 4 令 f ' ( x) ? 0, 即 ? 2 x ? 0 ,解得: x ? 2 x
∴函数 f ( x) 的单调增区间是 (0, 2 ) ;单调减区间是 ( 2 ,??)
2

??6 分

(2)由(1)知 g ( x) ? f ( x) ? m ? ln 4 ? 4 ln x ? x ? m ? ln 4 ( x ? 0) ∴ g ' ( x) ?

4 2( x ? 2 )(x ? 2 ) ? 2x ? ? x x

令 g ' ( x) ? 0 ,得 x ?

2或 - 2 (舍去)

∴当 x 变化时, g ( x), g ' ( x) 的变化情况如下表

x

(0, 2 )
+ 增

2
0 极大值 m ? 2

( 2 ,??)


g ' ( x)
g ( x)

∴函数 g ( x) 的大致图象如图所示 ∴要使方程 g ( x) ? 0 在 [ , 2] 上恰有两解,只需函数 g ( x) 的图象在区

1 e

间 [ , 2] 上有两个交点即可

1 e

?m ? 2 ? 0 ?m ? 2 ? 1 ? 1 ? ? ∴ ? g ( ) ? 0 即 ?m ? 4 ? 2 ln 2 ? 2 e ? e ? ? ? ? g ( 2) ? 0 ?m ? 4 ? 2 ln 2
∴ 2 ? m ? 4 ? 2 ln 2 ∴实数 m 的取值范围是 (2,4 ? 2 ln 2] . ??12 分


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