福建省师大附中2016-2017学年高二期中数学试卷(解析版).doc


2016-2017 学年福建省师大附中高二 (上) 期中数学试卷 (文 科) 参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.若 a>b>0,下列不等式成立的是( A.a2<b2 B.a2<ab ) C. <1 D. >

【考点】不等式的基本性质. 【分析】由题意,取 a=2,b=1,代入验证,即可得出结论. 【解答】解:由题意,取 a=2,b=1,
2 2 2 则 a >b ,a >ab, <1, < ,

故选 C.

2.在△ABC 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 a= ∠C 的大小为( A. 或 ) B. 或 C.

,c=

,∠A=60° ,则

D.

【考点】正弦定理. 【分析】利用正弦定理即可得出. 【解答】解:由正弦定理可得: = ,

化为:sinC= ∵c<a, ∴C 为锐角, ∴C= .



故选:D.

3.原点和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 两侧,则 a 的取值范围是(



A.0≤a≤2 【考点】简单线性规划.

B.0<a<2

C.a=0 或 a=2

D.a<0 或 a>2

【分析】 根据二元一次不等式表示平面区域,以及处在区域两侧的点的符号相反求解 a 的取 值范围. 【解答】解:∵原点和点(1,1)在直线 x+y﹣a=0 两侧, ∴(0+0﹣a) (1+1﹣a)<0, 即 a(a﹣2)<0, 解得 0<a<2, 故选:B.

4.在△ABC 中,已知 2bccosBcosC=c2sin2B+b2sin2C,则这个三角形一定是( A.等腰三角形 C.直角三角形 B.等腰直角三角形 D.等边三角形



【考点】三角形的形状判断.
2 2 2 2 【分析】由 c sin B+b sin C=2bccosBcosC,由正弦定理可得:

sin2Csin2B+sin2Bsin2C=2sinBsinCcosBcosC,化为:cos(B+C)=0,即可判断出真假;④
2 2 2 2 【解答】解:∵c sin B+b sin C=2bccosBcosC, 2 2 2 2 ∴由正弦定理可得:sin Csin B+sin Bsin C=2sinBsinCcosBcosC,化为:sinBsinC=cosBcosC,

∴cos(B+C)=0, ∵0<B+C<π, ∴B+C= ,

则△ABC 一定是直角三角形. 故选:C.

5.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2﹣Sk=24,则 k=( A.8 B.7 C .6 D.5



【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】先由等差数列前 n 项和公式求得 Sk+2,Sk,将 Sk+2﹣Sk=24 转化为关于 k 的方程求 解.

【解答】解:根据题意: Sk+2=(k+2)2,Sk=k2 ∴Sk+2﹣Sk=24 转化为:
2 2 (k+2) ﹣k =24

∴k=5 故选 D

6.下列命题正确的是( A.



B.对任意的实数 x,都有 x3≥x2﹣x+1 恒成立. C. 的最小值为 2

D.y=2x(2﹣x) , (x≥2)的最大值为 2 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】必须对选项一一加以判断:对 A 运用分析法考虑;对 B 应用作差法考虑;对 C 应 用基本不等式考虑;对 D 应用二次函数的最值求得. 【解答】解:因为 ? ?

?

?70<42,显然不成立,所以 A 错;

3 2 2 2 2 =(x3﹣1) = = 因为 x ﹣ (x ﹣x+1) ﹣ (x ﹣x) (x﹣1) (x +x+1) ﹣x (x﹣1) (x﹣1) (x +1) , 3 2 所以对任意的实数 x,x ﹣(x ﹣x+1)≥0 不恒成立,只有 x≥1,才恒成立,故 B 错;

因为



当且仅当 x=0 时 y 取最小值 2,所以 C 正确;
2 因为 y=2x(2﹣x)=﹣2(x﹣1) +2,当 x≥2 时,函数为减函数,x=2,y 取最大值 0,所

以 D 错. 故选:C

7.已知三角形△ABC 的三边长构成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 个三角形的周长为( )

,则这

A.15 【考点】余弦定理.

B.18

C.21

D.24

【分析】根据三角形 ABC 三边构成公差为 2 的等差数列,设出三边为 a,a+2,a+4,根据 最大角的正弦值求出余弦值,利用余弦定理求出 a 的值,即可确定出三角形的周长. 【解答】解:根据题意设△ABC 的三边长为 a,a+2,a+4,且 a+4 所对的角为最大角 α, ∵sinα= ,∴cosα= 或﹣ ,

当 cosα= 时,α=60°,不合题意,舍去;

当 cosα=﹣ 时,α=120°,由余弦定理得:cosα=cos120°= 解得:a=3 或 a=﹣2(不合题意,舍去) , 则这个三角形周长为 a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15. 故选:A.

=﹣ ,

8.二次方程 x2+(a2+1)x+a﹣2=0,有一个根比 1 大,另一个根比﹣1 小,则 a 的取值范围 是( ) B.﹣2<a<0 C.﹣1<a<0 D.0<a<2

A.﹣3<a<1

【考点】根的存在性及根的个数判断.
2 2 【分析】由题意令 f(x)=x +(a +1)x+a﹣2,然后根据条件 f(1)<0 且 f(﹣1)<0,

从而解出 a 值.
2 2 【解答】解:令 f(x)=x +(a +1)x+a﹣2,则 f(1)<0 且 f(﹣1)<0

即 ∴﹣1<a<0. 故选 C.



9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织, 日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1 匹=40 尺,一丈=10 尺) ,问日益几何?” 其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二

天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织 5 尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少 尺布?”若一个月按 30 天算,则每天增加量为( )

A. 尺

B.



C.



D.



【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】利用等差数列的求和公式即可得出. 【解答】解:由题意可得:每天织布的量组成了等差数列{an}, a1=5(尺) ,S30=9×40+30=390(尺) ,设公差为 d(尺) , 则 30×5+ 故选:C. =390,解得 d= .

10.若不等式组

表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是(



A.0<a≤1 或 a≥ 【考点】简单线性规划.

B.0<a≤1

C.0≤a<1 或 a>

D.0<a<1

【分析】本题考查的是简单线性规划问题.线性规划要注意数形结合,要综合运用多方面的 知识.特别要注意区域的边界.因此在解答此题时应先根据先行约束条件画出可行域,然后 根据可行域的特点及条件:表示的平面区域是一个三角形及其内部,找出不等关系即可. 【解答】解:由题意可知:画可行域如图:

不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部, 且当直线 x+y=a 过直线 y=x 与直线 2x+y=2 的交点时,a= . 所以 a 的取值范围是:0<a≤1 或 a≥ , 故选:A.

11.数列{an}的通项公式 an=ncos A.1005 【考点】数列的求和. 【分析】先求出 co 结论. B.1006

+1,前 n 项和为 Sn,则 S2014=( C.1007



D.1008

s 的规律,进而得到 ncos

的规律,即可求出数列的规律即可求出

【解答】解:当 n=1,2,3,4,…, cos =0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…,ncos =0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…;

∴数列{an}的每四项和为:2+4=6, 而 2014÷4=503×4…2, ∴S2014=503×6+0﹣2014+2=1006, 故选:B

12.已知单调递增数列{an}满足 an=3n﹣λ?2n(其中 λ 为常数,n∈N+) ,则实数 λ 的取值范围 是( )

A.λ≤3

B.λ<3

C.λ≥3

D.λ>3

【考点】等比数列的通项公式. 【分析】单调递增数列{an}满足 an=3 ﹣λ?2 (其中 λ 为常数,n∈N ) ,可得:an<an+1,化 为:λ<2× ,利用数列的单调性即可得出.
n n + n n +

【解答】解:∵单调递增数列{an}满足 an=3 ﹣λ?2 (其中 λ 为常数,n∈N ) , ∴an<an+1,
n n n+1 n+1 ∴3 ﹣λ?2 <3 ﹣λ?2 , n 化为:λ<2×( ) ,

n 由于数列{2×( ) }单调递增,

n ∴2×( ) ≥

=3.

∴λ<3. 故选:B.

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 13.已知关于 x 的不等式 ax2﹣(a+1)x+b<0 的解集是{x|1<x<5},则 a+b= 【考点】一元二次不等式的解法. 【分析】根据一元二次不等式与对应方程之间的关系,得出方程的两个根为 2 和 3,再利用 根与系数的关系求出 a、b 的值即可. 【解答】解:∵关于 x 的不等式 ax ﹣(a+1)x+b<0 的解集是{x|1<x<5}, ∴关于 x 的方程 ax ﹣(a+1)x+b=0 的两个根为 1 和 5, ∴ =1+5, =1×5;
2 2



解得 a= ,b=1; ∴a+b=1+ = . 故答案为:

14.设 x,y∈R+,且

=2,则 x+y 的最小值为 8 .

【考点】基本不等式. 【分析】将 x、y∈R 且 式即可. 【解答】解:∵ ? ∴x+y= (x+y) ( + =2,∴ = ) + + =1,x、y∈R+, =5+ + ≥5+2 =8 (当且仅当 = ,
+

+

=1,代入 x+y=(x+y)?(

+

) ,展开后应用基本不等

x=2,y=6 时取“=”) . 故答案为:8.

15.数列{an}中,Sn 是数列{an}的前 n 项和,a1=1,3an+1=Sn(n≥1) ,则 an=



【考点】数列递推式. 【分析】这是一道典型的含有 an+1,Sn 的递推公式来求通项公式的题目,利用公式 ,本题是先求出 Sn,再由 Sn 求出 an,要注意对 n=1 和 n≥2 进行 讨论. 【解答】解:由已知,a1=1,3an+1=Sn ∴3(Sn+1﹣Sn)=Sn, 所以 ,即{Sn}是首项为 1,公比为 的等比数列,
n﹣1

所以 Sn=1×( )

=( )n﹣1,

又由公式



得到 an=



故答案为:



16.如图,第 1 个图是正三角形,将此正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向外作正 三角形,并擦去中间一段,得第 2 个图,如此继续下去,得第 3 个图,…,用 an 示第 n 图
n 的边数,则数列{an}前 n 项的和 Sn 等于 4 ﹣1



【考点】数列的应用. 【分析】根据图形,可得 可求数列的和. 【解答】解:由题意知:a1=3,a2=12,a3=48 ∴每一条边经一次变化后总变成四条边,即 由等比数列的定义知:an=3×4 ∴Sn=
n 故答案为:4 ﹣1 n﹣1

=4(n≥2) ,利用等比数列的定义,可得数列的通项,从而

=4(n≥2) ,

=4n﹣1

三、解答题(共 6 小题,满分 74 分) 17.在△ABC 中,cosB=﹣ (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)若△ABC 的面积 S 【考点】正弦定理. ,求 BC 的长. ,sinC=

【分析】 (Ⅰ) 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinB 的值, 结合范围 B∈ (

π) , ,

可求 C 为锐角,求得 cosC,利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式即可得解 sinA 的值. (Ⅱ)利用三角形面积公式,及正弦定理,可求 AB 的值,进而利用正弦定理即可解得 BC 的值. 【解答】 (本题满分为 12 分) 解: (Ⅰ)由 cosB=﹣ 由 cosB=﹣ ∴C∈(0, ,B∈(0,π) ,得 sinB= ,π) , = ,

<0,得 B∈( ) ,

所以,由 sinC= ,得 cosC= , 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= (Ⅱ)∵S 由(Ⅰ)可得 sinA= 又∵AC= ∴ AB2=65,AB= = = ,可得: ,可得:AB×AC=65,… AB,… , … . = ,

∴BC=

18. (Ⅰ)若函数 f(x)=

定义域为 R,求 k 的取值范围;

(Ⅱ)解关于 x 的不等式(x﹣a) (x+a﹣1)>0. 【考点】一元二次不等式的解法;函数的定义域及其求法. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得 x ﹣kx﹣k≥0 恒成立,根据判别式即可求出. (Ⅱ)对 a 分类讨论,求出其解集即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)= ∴△=k﹣4(﹣k)≤0,∴﹣4≤k≤0, (II)解:不等式(x﹣a) (x+a﹣1)>0 对应方程的实数根为 a 和 1﹣a;…
2 定义域为 R,∴x ﹣kx﹣k≥0 恒成立 2

①当 1﹣a=a,即 a= 时,不等式化为(x﹣ )2>0) ,∴x≠ , ∴不等式的解集为{x|x≠ };… ②当 1﹣a>a,即 a< 时,解得 x>1﹣a 或 x<a, ∴不等式的解集为{x|x>1﹣a 或 x<a};… ③当 1﹣a<a,即 a> 时,解得 x>a 或 x<1﹣a, ∴不等式的解集为{x|x>a 或 x<1﹣a}.… 综上,当 a= 时,不等式的解集为{x|x≠ }; 当 a< 时,不等式的解集为{x|x>1﹣a 或 x<a}; 当 a> 时,不等式的解集为{x|x>a 或 x<1﹣a}.…12 分

19.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若边长 c=2,求△ABC 的周长的最大值. 【考点】解三角形. 【分析】 (1)由题意可得 absinC= ?2abcosC,可求 tanC,进而可求 C ,

(2)由 c=2,要求△ABC 的周长的最大值,只要求 a+b 的最大值,由(1)知,C=

利用余弦定理可得 大值 另法:由正弦定理得到

,结合

可求 a+b 的范围,可求周长的最

=



,结合正弦函数的性 质可求 【解答】解: (1)由题意可知,

absinC=

?2abcosC,所以 tanC= .



因为 0<C<π,所以 C= (2)由(1)知,C=


2 2 ∴a +b ﹣4=ab

∴(a+b) ﹣4=3ab ∵ ∴ ∴a+b≤4, ∴△ABC 的周长最大值为 6 另法:由正弦定理得到 = 当且仅当 a=b 时取等号

2

所以, 所以,当 时,a+b 最大值为 4,所以△ABC 的周长的最大值为 6.

其他方法请分步酌情给分

20.已知数列{an}满足 2a (Ⅰ)求数列{ }的前 n 项和 Tn;

,它的前 n 项和为 Sn,且 a5=5,S7=28.

(Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=1,b 【考点】数列递推式.

(q>0) ,求数列{bn}的通项公式.

【分析】 (Ⅰ)由 2an+1=an+an+2(n∈N ) ,知{an}是等差数列,利用条件求出数列的通项与前 n 项和,再利用裂项法求和,即可得到结论;

*

(Ⅱ) 由

, 得

, 当 n≥2 时, 可得 bn=



验证当 n=1 时,b1=1 满足上式,即可得到结论.

+ 【解答】解: (Ⅰ)由 2an+1=an+an+2(n∈N )知{an}是等差数列,且 a5=5,S7=28,

得 ∴an=n, ∵ ∴ ∴

,即



, . = ,得 , ;

(Ⅱ)由 b1=1,

2 n 1 ∴当 n≥2 时,bn=b1+(b2﹣b1)+…+(bn﹣bn﹣1)=1+q+q +…+q ﹣ =



当 n=1 时,b1=1 满足上式,故 bn=



21.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲 材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg, 用 3 个工时,生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业 现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为多少元. ,并求出此时生产 A,B 产品各少件. 【考点】简单线性规划的应用. 【分析】设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,利润总和为 z,得出约束条件表示的可行域,根 据可行域得出目标函数取得最大值时的最优解. 【解答】解:设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,利润总和为 z,



,目标函数 z=2100x+900y,

做出可行域如图所示:

将 z=2100x+900y 变形,得 由图象可知,当直线 解方程组

, 经过点 M 时,z 取得最大值.

,得 M 的坐标为(60,100) .

所以当 x=60,y=100 时,zmax=2100×60+900×100=216000. 故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216000 元.

n * 22.设数列{an}前 n 项和为 Sn,已知 a1=a(a≠4) ,an+1=2Sn+4 (n∈N )

(Ⅰ)设 bn=Sn﹣4 ,求证:数列{bn}是等比数列; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)若 an+1≥an(n∈N ) ,求实数 a 取值范围. 【考点】数列递推式;等比关系的确定.
n 【分析】 (Ⅰ)依题意得:Sn+1﹣Sn=an+1=2Sn+4 ,化简利用等比数列的定义,可证数列{bn} *

n

是等比数列; (Ⅱ)确定 Sn,再写一式,两式相减,即可求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)若 an+1≥an(n∈N )成立,作差,构建函数,利用函数的单调性,即可求实数 a 取值 范围. 【解答】 (Ⅰ)证明:依题意得:Sn+1﹣Sn=an+1=2Sn+4 ,即 Sn+1=3Sn+4 , 由此得 =3( )即 bn+1=3bn,… … , ,
n n *

∴数列{bn}是公比为 3 的等比数列. (Ⅱ)解:∵ ∴

n﹣1 n﹣2 ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3×4 +2(a﹣4)?3 ,…

n=1 时,a1=1 ∴ …

n n﹣1 (Ⅲ)解:∵an+1=3×4 +2(a﹣4)?3 , n﹣2 ∴an+1﹣an=4?3 [

]≥0 ,则 f(n)≥0,…

设 f(n)=

∵当 n≥2 时,f(n)是递增数列,∴f(n)的最小值为 f(2)=a+5… ∴当 n≥2 时 an+1﹣an≥0 恒成立,等价于 a+5≥0,即 a≥﹣5… 又 a2≥a1 等价于 2a1+4≥a1,即 a≥﹣4.… 综上,所求的 a 的取值范围是[﹣4,4)∪(4,+∞) .…


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