惠州市2013届高三第三次调研考试文科数学试题与答案

惠州市 2013 届高三第三次调研考试 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答 的答案无效。 参考公式: 锥体的体积公式: V ?

1 Sh 3

( S 是锥体的底面积, h 是锥体的高)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求.) 1.是虚数单位,若 z (i ? 1) ? i ,则 z 等于( )

A.1

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2


1? 2.已知集合 A ? ??1 , , B ? x ax ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则实数 a 所有可能取值的集合为(
A. ??1? B. ?1?

?

?

1? C. ??1,
)条件 C.充分且必要

0 1? D. ??1, ,

3.若 a ?R ,则“ a ? 3 ”是“ a 2 ? 9 ”的( A.充分且不必要 B.必要且不充分 )
3

D.既不充分又不必要

4.下列函数是偶函数的是( A. y ? sinx

B. y ? x

C. y ? e

x

D. y ? ln )

x2 ? 1

? 6 5.已知向量 p ? ? 2 , 3? , q ? ? x , ? ,且 p / / q ,则 p ? q 的值为(
A. 5 B. 13 C. 5

D. 13 等于 ( )

6.设{ an } 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a a ? 80 , a1 ?a2 ?1 若 且 23 则 1 1 a 3 A.120 7.已知双曲线 B. 105 C. 90 D.75

x2 y2 10 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 4 10 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 , 2 a b 3
1

则该双曲线的方程为( A. x ?
2

) C.

y2 ?1 9

B. x 2 ? y 2 ? 15

x2 ? y2 ? 1 9

D.

x2 y 2 ? ?1 9 9


8.已知 m, n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题中正确的有( ? ?

n 则 A. 若m‖? ,‖? , m‖ n ; m 则 C. 若m‖ ? , ‖ ? , ?‖ ? ;
9.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ( ,

? 则 B. 若? ? ? , ? ? , ?‖ ? ;
n 则 D. 若m ? ? , ? ? , m‖ n .
2 ) ,则 log 4 f (2) 的值为( 2
D.-2 ) y P d l A x

1 2

A.

1 4

B.-

1 4

C.2

10.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向旋 转一周,点 P 所转过的弧 AP 的长为,弦 AP 的长度为 d ,则函数 d ? f (l ) 的图像大致是( )

O

d

d

d

d

2
O

2
?
A.

2
?
B.

2
?
C.

2?

l O

2?

l

O

2?

l

O

?
D.

2?

l

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 11. sin(? ?

开始

输 入

?
4

)?

2 , 则 sin 2? = 4

n


k ?0
=3

?2 x ? 3 y ? 6 ? 12.已知 ? x ? y ? 0 则 z ? 3x ? y 的最大值为_____. ?y ? 0 ?
13.阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为_____. (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只计第 14 题的分。 ) 14. (坐标系与参数方程)直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos 相交的弦长 ?

n ? 3n ? 1
k=k+1 否

n ? 150?
是 输 出 k ,n 结 束

2





15.(几何证明选讲选做题)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D .过点 C 作 BD 的平行线与圆 交于点 E ,与 AB 相交于点 F , AF ? 3 , FB ? 1 , EF ? 段 CD 的长为 .

3 ,则线 2

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过 程和演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对 学生进行视力调查。 (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽取的 2 所学校均为小学的概 率.

17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ? (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ) . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? 的图像关于直线 x ? 对称,求 ? 的值. 4? 6

?

18.(本小题满分 14 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点. (1)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (2)求证: CF ? B1E ; (3)求三棱锥 VC ? B1FE 的体积.

3

19. (本小题满分 14 分) 已知向量 p ? (an , 2 ), q ? (2
n

? ?

?

n ?1

? ? ? , ?an ?1 ), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1.

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log 2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 S n .

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 如图, 椭圆 M : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 2 a b
的面积为 8 . (1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, 与矩形 ABCD 有两个不同的交点

S , T ,求

| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |
y D O A B C x

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax(a ? R)
3

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的极小值; (2)若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,求 a 的取值范围; (3)设 g ( x) ?| f ( x) |, x ?[ ?1,1] ,求 g ( x) 的最大值 F (a) 的解析式.

4

参考答案
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1. 【解析】 z ? 1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 C

i i(1- i) 1? i 2 , z ? 选C ? ? 2 i ? 1 (i ? 1)(1 ? i) 2

2.【解析】 a ? 0 时, B ? x 1 ? 0 ? ? ? A , a ? 0 时, B ? ? x x ? ? ? ? A , ? 故选 a ? 0 或 a ? 1 或-1,选 D. 3. 【解析】 a ? 3 ? a ? 9, a ? 9 ? a ? ?3, 故为充分非必要条件,选 A。
2 2

?

?

? ?

1? a?

1 1 ? ?1, ? ? 1 , a a

4. 【解析】 y ? sinx , y ? x 为奇函数, y ? e 为非奇非偶函数, y ? ln
3 x

x 2 ? 1 为偶函数,选 D

? 6) 3) 5.【解析】 2 ? 6 ? 3 x ? 0 ? x ? ?4 ? p ? q ? (2 , 3) ? (?4 , ? (?2 , ? 13 .
故选 B. 6.【解析】

a1 ? a2 ? a3 ? 15 ? a2 ? 5 , a1a2 a3 ? 80 ? a1a3 ? ? 5 ? d ?? 5 ? d ? ? 25 ? d 2 ? 16 , ? d ? 3 ? a1 ? 2 , a11 ? a12 ? a13 ? 3a1 ? 33d ? 6 ? 99 ? 105 .故选 B.

0 7.【解析】抛线线 y ? 4 10 x 的焦点 ( 10 , ),? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 10 . e ?
2

10 10 . ? a 3

? a ? 3, b ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1 .选 C 9

8.【解析】 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故 A 不正确;“墙角”三面互相垂直,说明 B 错 n n 误;? ? ? ? l ,只需 m / / l ,便有 m / /? , m / / ? ,故 C 错误; m ? ? , n ? ? 则同垂直于一个平面 的两条直线平行,D 正确 。

1 2 1 ? 2 1 1 1 9.【解析】由设 f ( x) ? x ,图象过点 ( , ) 得 ( ) ? ? ( )2 ? ? ? , 2 2 2 2 2 2
?

log 4 f (2) ? log 4 2 2 ? log 4 4 4 ?

1

1

1 .故选 A. 4

d

2
5

O ? 2

?
C.

2?

l

10. 【解析】点 P 是单位圆上的动点,点 P 所转过的角度设为 ? ,则 ? =,当 ? ?

?
2

,弦 AP 的长度

d ? 2 ? 1 ,由选项的图可知,选 C。
二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.)
11. ?

3 4

12. 9

13. 3

14.

3

15.

4 3

11. 【解析】 sin(? ?

?
4

)?

2 2 2 1 sin ? ? cos ? ? ,? sin ? ? cos ? ? , 2 2 4 2

1 3 (sin ? ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? ,故 sin 2? ? ? 4 4
12. 【解析】做出可行域可知 z ? 3x ? y 过点 (3, 0) 时,Z 最大值为 9 。 13.【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3. k k k k (二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题;两道题都做的,只记第一题的分。 ) 14.【解析】直线 2 ? cos? ? 1 与圆 ? ? 2 cos? 的普通方程为 2 x ? 1和( x ? 1) ? y ? 1 ,圆心到直线的
2 2

距离为 1 ?

1 1 1 ? ,所以弦长为 2 1 ? ( ) 2 ? 3 2 2 2

15. 【 解析 】 由相 交 弦定理 , AF ? FB ? EF ? FC 故 FC ? 2 , 又

CF / / BD , 故

AF CF 8 , 故 BD ? , 由 切 割 线 定 理 , ? AB BD 3 4 BD2 ? CD ? AD ? CD ? 4CD ? 4CD2 ,故 CD ? 。 3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) (1)解:从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. …………3 分 (2)解:在抽取到得 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1 , A2 , A3 , 2 所中学分别记为 A4 , A5 , 大学记为 A6 ,则抽取 2 所学校的所有可能结果为

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , A4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? ,
? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? .共 15 种。…………8 分
从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 A)的所有可能结果为

6

? A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A2 , A3 ? 共 3 种,所以 P( A) ?
17(本小题满分 12 分)

3 1 ? 15 5

…………12 分

(1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,……………………………………2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .……………………………………4分 (2)解:∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,……………………………7分 4? 4 ? ?

又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? 令 2x ? 将x?

?
2

( k ?Z ) ,……………………………9分

?
4

? ? ? k? ?

?
2



?

6

代入,得 ? ? k? ?

?
12

( k ?Z ) .

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

11? .……………………………………12 分 12

18. (本小题满分 14 分) (1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1 D , DB 的中点,则 ∵EF 为中位线…………2 分

? EF / / D1B
而 D1 B ? 面 ABC1 D1 , EF ? 面 ABC1 D1

? EF / / 面 ABC1 D1 …………4 分
(2)等腰直角三角形 BCD 中,F 为 BD 中点 ?CF ? BD ①…………5 分

?正方体 ABCD ? A1B1C1D1

? DD1 ? 面ABCD , CF ? 面ABCD ? DD1 ? CF ②…………7 分
综合①②,且 DD1 ? BD ? D, DD1 , BD ? 面BDD1 B1

? CF ? 面BDD1 B1 ,而 B1 E ? 面BDD1 B1 , ? CF ? B1 E …………………………………………………9 分
(3)由(2)可知? CF ? 平面BDD1 B1

7

? CF ? 平面EFB1 即 CF 为高 , CF ? BF ? 2 …………10 分
? EF ? 1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2) 2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 ∴ S ?B EF ? 即 ?EFB1 ? 90?

1 3 2 …………12 分 EF ? B1 F ? 2 2

1 3 2 1 ? 2 ? 1 …………14 分 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S?B1EF ? CF = ? 3 2 3
19 解(1)? 向量 p 与 q 垂直

? ?

?

? 2n an ?1 ? 2n ?1 an ? 0, 即? 2n an?1 ? 2n?1 an

…………2 分

?

an ?1 ? 2 ??an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列…………4 分 an
…………5 分

? an ? 2n ?1 。

(2)? bn ? log 2 a2 ? 1 ,? bn ? n

? an ? bn ? n ? 2n?1 ,

…………8 分

? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? n ? 2n ?1 , ……①
? 2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? n ? 2n , ……②
………10 分

? 由①—②得,
? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2n ?
? Sn ? 1 ? (n ? 1)2n ? n ? 2n?1 ? 1 ? (n ? 1)2n
20. (本小题满分 14 分)
c 3 a 2 ? b2 3 (1) e ? ? ? ? a 2 a2 4

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 ……12 分 1? 2

………14 分 y C

①…………1 分 ②…………2 分 …………3 分 ………………………4 分 A

O

x

矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 由①②解得: a ? 2, b ? 1 , ∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

8

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (2) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , ? y ? x ? m,

8 4m 2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , …………………7 分 5 5
由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 .
4m 2 ? 4 4 2 ? 8 ? | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 ? 5 ? m2 . 5 5 ? 5 ?
2

……………………8 分

………………10 分 ……………11 分

当过 A 点时, m ? 1,当过 C 点时, m ? ?1 .

①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2, 2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,
| PQ | 4 5 ? m 2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , | ST | 5 (3 ? m) 2 5 t t

| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5

②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , 由此知,当 m ? 0 时,

| PQ | 5 2 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

| PQ | 2 ? 5 ? m2 , | ST | 5

| PQ | 2 取得最大值 5. | ST | 5

………………13 分 ………………14 分

| PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

21. (本小题满分 14 分) 解: (1)?当a ? 1时, f ( x) ? 3x ? 3, 令f ( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 …………1 分
' 2 '

当 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? 0,当x ? (??,?1] ? [1,??) 时, f ( x) ? 0 ,
' '

? f ( x)在(?1,1)上单调递减, 在(??,?1], [1,??)上单调递增
? f (x) 的极小值是 f (1) ? ?2
/ 2

…………2 分

…………………3 分

(2)法 1: f ( x ) ? 3 x ? 3a ,直线 x ? y ? m ? 0 即 y ? ? x ? m , 依题意,切线斜率 k ? f ( x) ? 3 x ? 3a ? ?1 ,即 3 x2 ? 3a ? 1 ? 0 无解……………4 分
/ 2

?? ? 0 ? 4 ? 3(?3a ? 1) ? 0

?a ?

1 3

………………6 分

9

法 2: f ( x ) ? 3 x ? 3a ? ?3a ,……………4 分
/ 2

要使直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f ( x) 的切线,当且仅当 ?1 ? ?3a 时成立,

?a ?

1 3

………………6 分
3

(3)因 g ( x) ?| f ( x) |?| x ? 3ax | 在[?1,1]上是偶函数, 故只要求在 [0,1] 上的最大值.
/

…………7 分

①当 a ? 0 时, f ( x) ? 0, f ( x)在[0,1]上单调递增且f (0) ? 0,? g ( x) ? f ( x)

F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a.
②当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? (ⅰ)当 a ? 1, 即a ? 1

…………………9 分

a )( x ? a ),

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x), ? f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,此时 F (a) ? ? f (1) ? 3a ? 1 …………………10 分
(ⅱ)当 0 ?

a ? 1,即0 ? a ? 1 时, f ( x)在[0, a ]上单调递减, 在 [ a ,1] 单调递增;

1° f (1) ? 1 ? 3a ? 0,即 ? a ? 1 时, 当

1 3

g ( x) ?| f ( x) |? ? f ( x),? f ( x)在[0, a ]上单调递增, 在[ a ,1]上单调递减, F ( a ) ? ? f ( a ) ? 2a a ;
2° f (1) ? 1 ? 3a ? 0, 即0 ? a ? 当

1 3

1 时, F (a) ? f (1) ? 1 ? 3a 4 1 1 (ⅱ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即 ? a ? 时, F (a) ? ? f ( a ) ? 2a a 4 3
(ⅰ)当 ? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a,即0 ? a ?

……13 分

综上

1 ? ?1 ? 3a, (a ? 4 ) ? 1 ? F ( x) ? ?2a a , ( ? a ? 1) 4 ? ?3a ? 1, (a ? 1) ? ?

………………14 分

10


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