[K12学习]2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)导学案 新人教A版必修4

K12 学习教育资源 1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为 自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内 的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角 α 的顶点与原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点 P,作 PM⊥x 轴于 M,设 P(x,y),|OP|=r. 思考 1 角 α 的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案 sin α =yr,cos α =xr,tan α =yx. 思考 2 对确定的锐角 α ,sin α ,cos α ,tan α 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变 而改变? 答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点 P(x,y)在终边上的位置无关,只与角 α 的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 思考 3 在思考 1 中,当取|OP|=1 时,sin α ,cos α ,tan α 的值怎样表示? 答案 sin α =y,cos α =x,tan α =yx. 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 在平面直角坐标系中,设 α 是一个任意角, 它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么: ①y 叫做 α 的正弦,记作 sin α , 即 sin α =y; ②x 叫做 α 的余弦,记作 cos α ,即 cos α =x; y ③x叫做 α 的正切,记作 tan α ,即 tan y α =x (x≠0). 对于确定的角 α ,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数. 知识点二 正弦、余弦、正切函数的定义域 思考 对于任意角 α ,sin α ,cos α ,tan α 都有意义吗? 答案 由三角函数的定义可知,对于任意角 α ,sin α ,cos α 都有意义,而当角 α 的终 边在 y 轴上时,任取一点 P,其横坐标 x 都为 0,此时yx无意义,故 tan α 无意义. 梳理 三角函数的定义域 函数名 定义域 正弦函数 R 余弦函数 R 正切函数 ??x|x∈R,且x≠kπ ? +π2 ,k∈Z?? ? 知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义,你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗? 答案 由三角函数定义可知,在平面直角坐标系中,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆 K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 交于点 P(x,y),则 sin α =y,cos α =x,tan α y =x.当 α 为第一象限角时,y>0, x>0, 故 sin α >0,cos α >0,tan α >0,同理可得当 α 在其他象限时三角函数值的符号,如图 所示. 梳理 记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”. 知识点四 诱导公式一 思考 当角 α 分别为 30°,390°,-330°时,它们的终边有什么特点?它们的三角函数 值呢? 答案 它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数值相等. 梳理 诱导公式一 sin?α + k·2π ? = sin α, cos?α + k·2π ? = cos α, tan?α + k·2π ? = tan α, 其中 k∈Z. 类型一 三角函数定义的应用 命题角度 1 已知角 α 终边上一点坐标求三角函数值 例 1 已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0),且 cos θ = 1100x,求 sin θ ,tan θ . 解 由题意知 r=|OP|= x2+9, xx 由三角函数定义得 cos θ =r= x2+9 . 又∵cos θ = 1100x,∴ x x2+9= 1100x. ∵x≠0,∴x=±1. 当 x=1 时,P(1,3), K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 3 3 10 3 此时 sin θ = 12+32= 10 ,tan θ =1=3. 当 x=-1 时,P(-1,3), 3 3 10 3 此时 sin θ = ?-1?2+32= 10 ,tan θ =-1=-3. 反思与感悟 (1)已知角 α 终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三 角函数值. ②在 α 的终边上任选一点 P(x,y),设 P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α y =r,cos α = xr.当已知 α 的终边上一点求 α 的三角函数值时,用该方法更方便. (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨 论. 跟踪训练 1 已知角 α 的终边过点 P(-3a,4a)(a≠0),求 2sin α +cos α 的值. 解 r= ?-3a?2+?4a?2=5|a|. ①若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限, y 4a 4 x -3a 3 sin α =r=5a=5,cos α =r= 5a =-5, ∴2sin α +cos α =85-35=1. ②若 a<0,则 r=-5a,角 α 在第四象限, sin α =-4a5a=-45,cos α =- -35aa=35, ∴2sin α +cos α =-85+35=-1. 综上所述,2sin α +cos α =±1. 命题角度 2 已知角 α 终边所在直线求三角函数值 例 2 已知角 α 的终边在直线 y

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