高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)

均值不等式归纳总结 1. (1)若 a, b ? R ，则 a 2 ? b 2 ? 2ab (2)若 a, b ? R ，则 ab ? a 时取“=”） 2. (1)若 a, b ? R * ，则 a ? b ?
2 ab
2

? b2 2

（当且仅当 a ? b

(2)若 a, b ? R * ，则 a ? b ? 2 ab

（当且仅当 a ? b

时取“=” ）
a ?b? (3)若 a, b ? R * ，则 ab ? ? ? ? ? 2 ?
2

(当且仅当 a ? b 时取“=” ）

3.若 x ? 0 ，则 x ? ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=” ）

1 x 1 若 x ? 0 ，则 x ? ? ?2 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ） x

若 x ? 0 ，则 x ? 1
x

? 2即x ?

1 1 ? 2或x ? ? -2 x x

(当且仅当 a ? b 时取“=” ）

4.若 ab ? 0 ，则 a ? b ? 2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ）
b a b a

若 ab ? 0 ，则 a ? b ? 2即 a ? b ? 2或 a ? b ? -2
b a

(当且仅当 a ? b 时取“=” ）

5.若 a, b ? R ，则 ( a ? b ) 2 ? a
2

2

? b2 2

（当且仅当 a ? b 时取“=” ）

『ps.(1)当两个正数的积为定植时， 可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积 最大” ． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实 际问题方面有广泛的应用』

应用一：求最值
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例 1：求下列函数的值域 （1）y＝3x
2＋

1

2x 2 1 ≥2 1 x

1 （2）y＝x＋

x

解：(1)y＝3x 2＋

2x 2

3x 2·

1 2x 2 1 x

＝

6

∴值域为[

6 ，+∞）

(2)当 x＞0 时，y＝x＋

≥2

x·

＝2； 1 x

1 当 x＜0 时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2 x x ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1

x·

=－2

解题技巧 技巧一：凑项 例 已知 x ? 5 ，求函数 y ? 4 x ? 2 ?
4
1 的最大值。 4x ? 5

解：因 4x ? 5 ? 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4 x ? 2)? 对 4x ? 2 要进行拆、凑项，

1 不是常数，所以 4x ? 5

5 1 1 ? ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ，? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ，即 x ? 1 时，上式等号成立，故当 x ? 1 时， ymax ? 1。 5 ? 4x

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例 1. 当 时，求 y ? x(8 ? 2x) 的最大值。
-2-

解析：由

知，

，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定

值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2x ? (8 ? 2x) ? 8 为定值， 故只需将 y ? x(8 ? 2x) 凑上一个系数即可。

当

，即 x＝2 时取等号

当 x＝2 时， y ? x(8 ? 2x) 的最大值为 8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而 可利用均值不等式求最大值。 变式：设 0 ? x ? ，求函数 y ? 4 x(3 ? 2 x) 的最大值。
2x ? 3 ? 2x ? 解：∵ 0 ? x ? ∴ 3 ? 2x ? 0 ∴ y ? 4 x(3 ? 2 x) ? 2 ? 2 x(3 ? 2 x) ? 2? ? ? ? 2 ?

3 2

3 2

2

?

9 2

3 3? 当且仅当 2 x ? 3 ? 2 x, 即 x ? ? ? ? 0, ? 时等号成立。 4 ? 2?

技巧三： 分离
x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的 项，再将其分离。

当

,即

时, y ? 2 （x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 （当且仅当 x＝1 时取“＝”号）。 x ?1

技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=x＋1，化简原式在分 离求最值。
(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ） +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t 4 当 ,即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 （当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）。 t y?

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将 式子分开再利用不等式求最值。即化为 y ? mg ( x) ? 或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
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A ? B( A ? 0, B ? 0) ，g(x)恒正 g ( x)

技巧五： 在应用最值定理求最值时， 若遇等号取不到的情况， 结合函数 f ( x) ? x ? 的单调性。 例：求函数 y ?
x2 ? 5 x2 ? 4

a x

的值域。
x2 ? 5 x ?4
2

解：令 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ，则 y ?
1 t 1 t

? x2 ? 4 ?

1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

1

因 t ? 0, t ? ? 1 ，但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ，故等号不成立，考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增，所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数，故
y? 5 。 2
5 ?2 ?

1 t

? 所以，所求函数的值域为 ? ? , ?? ? 。

练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
1 x 2 ? 3x ? 1 ,x ?3 , ( x ? 0) （2） y ? 2 x ? （1） y ? x x ?3

(3) y ? 2sin x ?
3

1 , x ? (0, ? ) sin x

2 2．已知 0 ? x ? 1，求函数 y ? x(1 ? x) 的最大值.；3．0 ? x ? ，求函数 y ? x(2 ? 3x)

的最大值. 条件求最值 1.若实数满足 a ? b ? 2 ，则 3a ? 3b 的最小值是 .

分析： “和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a ? 3b 定值，因此考虑利用均 值定理求最小值， 解： 3a 和3b 都是正数， 3a ? 3b ≥ 2 3 a ? 3b ? 2 3 a ?b ? 6 当 3 a ? 3b 时等号成立，由 a ? b ? 2 及 3 a ? 3b 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时， 3a ? 3b 的 最小值是 6． 变式：若 log 4 x ? log 4 y ? 2 ，求 ? 的最小值.并求 x,y 的值
1 x 1 y

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技巧六：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。 。 2：已知 x ? 0, y ? 0 ，且 ? ? 1 ，求 x ? y 的最小值。
1 9 错 ．解 ． ： ? x ? 0, y ? 0 ， 且 x ? y ? 1 ， ?
?1 9? 9 x ? y ? ? ? ?? x ? y? ? 2 2 xy ? 12 xy ?x y?

1 x

9 y

故

? x ? y ?min ? 12 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在 x ? y ? 2 xy 等号成立条件是 x ? y ，在
1 9 9 等号成立条件是 1 ? ?2 x x y xy

?

9 即 y ? 9 x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因 y

此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而 且是检验转换是否有误的一种方法。
1 9? 正解：? x ? 0, y ? 0, 1 ? 9 ? 1 ，? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ??
x y

?x

y?

y 9x ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y

当且仅当 ?

y x

1 9 9x 时， 上式等号成立， 又 ? ? 1， 可得 x ? 4, y ? 12 时， ? x ? y ?min ? 16 。 x y y
?

变式： （1）若 x, y ? R 且 2 x ? y ? 1 ，求 1 ? 1 的最小值
x y

(2)已知 a, b, x, y ? R ? 且 a ? b ? 1 ，求 x ? y 的最小值
x y

技巧七 已知 x，y 为正实数，且 x
2＋

y2
2

＝1，求 x

1＋y 2 的最大值.

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分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab≤ 1 2

a 2＋b 2
2

。

同时还应化简 1＋y 2 2· 2 下面将 x，

1＋y

2

中 y 前面的系数为
2

，

x

1＋y 2 ＝ x

＝ 1 2

2 x·

1 2

＋

y2
2

＋

y2
2

分别看成两个因式： 1 2 1 2 ＋ y2 ＋ 2 2 y2 2 1 ＋ 2 2

x ·

1 2
2

＋

y2
2

x 2＋( ≤

)2 ＝

x 2＋

＝

3 4

即

x 1＋y

＝

2 ·x

y2
2

≤

3 4

2

技巧八： 已知 a，b 为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数 y＝ 1 的最小值.

ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化 为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可 行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又 有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不 等式的途径进行。

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30－2b 法一：a＝ ， b ＋1 由 a＞0 得，0＜b＜15

30－2b －2 b 2＋30b ab＝ · b＝ b＋1 b＋1

－2t 2＋34t－31 16 16 令 t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋

t

t

t

≥2

t·

16

t

＝8 1 18

∴ ab≤18

∴ y≥

当且仅当 t＝4，即 b＝3，a＝6 时，等号成立。 2 ab 2 ∴ 30 － ab ≥

法二：由已知得： 30 － ab ＝ a ＋ 2b ∵ a ＋ 2b ≥ 2 2 2 ab 令 u＝ ab ∴

则 u2＋2 2 u－30≤0， －5 2 ≤u≤3 1 18

ab ≤3 2 ，ab≤18，∴y≥

点评： ①本题考查不等式

a?b （a, b ? R ?） 的应用、 不等式的解法及运算能力； ? ab 2

（a, b ? R ?） ②如何由已知不等式 ab ? a ? 2b ? 30 出发求得 ab 的范围，关键是寻找到

a ? b与ab 之间的关系，由此想到不等式

a?b （a, b ? R ?） ，这样将已知条件转 ? ab 2

换为含 ab 的不等式，进而解得 ab 的范围. 变式：1.已知 a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求 a＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x＋2y＝10，求函数 W＝ 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，
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3x ＋

2y 的最值.

a＋b
2

≤

a 2＋b 2
2

，本题

很简单 3x ＋ 2 5 2y ≤ 2 （ 3x ）2＋（ 2y ）2 ＝ 2 3x＋2y ＝

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函 数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W ＞ 0 ， W2 ＝ 3x ＋ 2y ＋ 2 ( 3x )2·( 3x · 2y ＝ 10 ＋ 2 3x · 2y ≤ 10 ＋

2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤ 20 ＝2 5 变式: 求函数 y ?
1 5 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ( ? x ? ) 的最大值。 2 2

解析：注意到 2 x ? 1与 5 ? 2 x 的和为定值。
y 2 ? ( 2 x ? 1 ? 5 ? 2 x ) 2 ? 4 ? 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x) ? 4 ? (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) ? 8

又 y ? 0 ，所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 x ? 1= 5 ? 2 x ，即 x ? 时取等号。
3 2

故 ymax ? 2 2 。

评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了 条件。 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时 还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。 应用二：利用均值不等式证明不等式 1．已知 a, b, c 为两两不相等的实数，求证： a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 1）正数 a，b，c 满足 a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
?? ?? ? 例 6：已知 a、b、c ? R ? ，且 a ? b ? c ? 1。求证： ? ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ? 1 1 1

分析： 不等式右边数字 8， 使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个 “2”连乘，又 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2
a a a bc a

，可由此变形入手。
bc a

解： ? a 、 b 、 c ? R ? ， a ? b ? c ? 1 。 ? 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c ? 2
a a a
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。同理 1 ? 1 ? 2 ac ，
b b

1 2 ab ?1 ? c c

。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1? ? ? 1? ? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知 x ? 0, y ? 0 且 ? ? 1 ，求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 解：令 x ? y ? k , x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ，?
?1 ? 10 3 。? k ? 16 ， m ? ? ??,16? ? 2? k k
1 x 9 y x ? y 9x ? 9 y 10 y 9 x ? ? 1. ? ? ? ?1 kx ky k kx ky 1 x 9 y

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例 ： 若 a ? b ? 1, P ? lg a ? lg b , Q ? (lg a ? lg b), R ? lg( 是 . 分析：∵ a ? b ? 1 ∴ lg a ? 0, lg b ? 0
Q? 1 （ lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q 2 2 1 2 a?b ) ， 则 P, Q, R 的 大 小 关 系 2

∴R>Q>P。

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