(新人教A版)2018-2019学年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数课件选修2-2_图文

1.3

导数在研究函数中的应用
函数的单调性与导数

1.3.1

1. 理解导数与函数的单调性的关系. 2. 掌握利用导数 判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.

1.函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a,b)内的函数 y=f(x) f′(x)的正负 f′(x)>0 f′(x)<0 f(x)的单调性

增 单调递______
减 单调递______

2. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上 导数的绝对值 函数值变化 越大 越小 函数的图象

快 ______
慢 ______

陡峭 ” 比较“______
(向上或向下)

平缓 ” 比较“______

1. 从导数的几何意义理解单调性与导数符号的关系 (1)如果 f′(x)>0,即切线的斜率为正,则切线的倾斜角为锐角, 曲线呈上升趋势,即函数单调递增. (2)如果 f′(x)<0,即切线的斜率为负,则切线的倾斜角为钝角, 曲线呈下降趋势,即函数单调递减. (3)如果 f′(x)=0 恒成立, 则切线的斜率为 0, 切线的倾斜角为 0, 图象没有上升或下降的趋势,该函数为常数函数.

2.导数与函数图象的关系 图象

f′(x) 变化 规律 函数 值变 化规律

f′(x)>0 且越来 越大 函数值增 加得越来 越快

f′(x)>0 且越来 越小 函数值增 加得越来 越慢

f′(x)<0 且越来 越小 函数值减 小得越来 越快

f′(x)<0 且越来 越大 函数值减 小得越来 越慢

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0,则函数 f(x)在定义域上 单调递增.( ) )

(2)若函数 f(x)在某区间内单调递增,则一定有 f′(x)>0.(

(3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝 对值越大.( )

答案:(1)×

(2)× (3)√

若在区间(a, b)内, f′(x)>0, 且 f(a)≥0, 则在(a, b)内有( A.f(x)>0 答案:A B.f(x)<0 C.f(x)=0 D.不能确定

)

函数 f(x)=2x2-x 的单调递增区间是(
?1 ? A.?4,+∞? ? ? ? 1 ? C.?-4,+∞? ? ? ? 1? B.?-∞,4? ? ? ? 1? D.?-∞,-5? ? ?

)

答案:A

3 函数 f(x)=cos x+ x 的单调递增区间是________. 2 3 解析:因为 f′(x)=-sin x+ >0,所以 f(x)在 R 上为增函数. 2 答案:(-∞,+∞)

探究点 1 导数与函数图象的关系 (1)已知 f′(x)是函数 y=f(x)的导函数,若 y=f′(x)的图象 如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( )

(2)函数

? 3 ? y=f(x)在定义域?-2,3?内可导,其图象如图所示,记 ? ?

y = f(x) 的 导 函 数 为 y = f′(x) , 则 不 等 式 f′(x)<0 的 解 集 为 ________.

【解析】

(1)由导函数的图象可知,当 x<0 时,f′(x)>0,即函

数 f(x)在(-∞,0)上为增函数;当 0<x<2 时,f′(x)<0,即函数 f(x)在(0,2)上为减函数;当 x>2 时,f′(x)>0,即函数 f(x)在(2, +∞)上为增函数.观察选项易知 D 正确. (2)函数
? 1 ? y=f(x)在区间?-3,1?和区间(2, 3)上单调递减, 所以在 ? ?

? 1 ? 区间?-3,1?和区间(2,3)上,y=f′(x)<0,所以 ? ? ? 1 ? 为?-3,1?∪(2,3). ? ?

f′(x)<0 的解集

【答案】

(1)D

? 1 ? (2)?-3,1?∪(2,3) ? ?

1.若本例(2)中的条件不变,试求不等式 f′(x)>0 的解集.
3 1 解:根据题目中的图象,函数 y=f(x)在区间(- ,- )和区间 2 3 (1,2)上为增函数,
? 3 1? 所以在区间?-2,-3?和区间(1,2)上,y=f′(x)>0, ? ?

所以 f′(x)>0

? 3 1? 的解集为?-2,-3?∪(1,2). ? ?

2.若本例(2)中的条件不变,试求不等式 xf′(x)>0 的解集.

解:由本例(2)及互动探究 1 以及已知条件可知, 当
? 1 ? x∈?-3,0?时,函数为减函数, ? ?

则 f′(x)<0; 当 x∈(1,2)时,函数为增函数, 则 f′(x)>0. 综上可知:xf′(x)>0
? 1 ? 的解集为?-3,0?∪(1,2). ? ?

研究函数图象与导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数图象与导函数图象之间的关系时,注意抓住各自 的关键要素.对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递 增、在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数 值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零,并分析这些区 间与原函数的单调区间是否一致.
[注意] 利用导函数单调性可以判断原函数图象的凹凸性:若

f′(x)>0 且单调递增, 则原函数 f(x)的图象上升且下凸; 若 f′(x)>0 且单调递减,则原函数 f(x)的图象上升且上凸;当 f′(x)<0 时判 定方法类同.

1.设函数 f(x)在定义域内可导, f(x)的图象如图所 示,则导函数 f′(x)的图象可能为( )

解析:选 D.由图象可知,y=f(x)在(-∞,0)上是增函数,因此 在 x<0 时,有 f′(x)>0(即全部在 x 轴上方),故排除 A,C.从原 函数图象上可以看出,在区间 (0 , x 1 ) 上原函数是增函数, f′(x)>0;在区间(x1,x2)上原函数是减函数,f′(x)<0;在区间(x2, +∞)上原函数是增函数,f′(x)>0,故排除 B.

2.已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y =f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )

解析:选 B.法一:由函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象自左 到右先增后减,可知函数 y=f(x)图象的切线的斜率自左到右先 增大后减小. 法二:由于 f′(x)>0 恒成立,则根据导数符号和函数单调性的关 系可知: f(x)单调递增, 即图象从左至右上升, 四个图象都满足. 由于当 x>0 时, f′(x)>0 且越来越小, 则函数值增加得越来越慢, 图象呈现上凸;当 x<0 时,f′(x)>0 且越来越大,则函数值增加 得越来越快,图象呈现下凸,可以判断 B 正确.

探究点 2

利用导数求函数的单调区间

求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-3x+1; b (2)f(x)=x+x(b>0). 【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R,f′(x)=3x2-3,
令 f′(x)>0,则 3x2-3>0. 即 3(x+1)(x-1)>0, 解得 x>1 或 x<-1. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞), 令 f′(x)<0,则 3(x+1)(x-1)<0, 解得-1<x<1. 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-1,1).

(2)函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
? b? b ? ? x + f′(x)= x?′=1-x2, ?

1 令 f′(x)>0,则 2(x+ b)(x- b)>0, x 所以 x> b或 x<- b. 所以函数的单调递增区间为(-∞,- b)和( b,+∞). 1 令 f′(x)<0,则 2(x+ b)(x- b)<0, x 所以- b<x< b且 x≠0. 所以函数的单调递减区间为(- b,0)和(0, b).

求函数 y=f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数 y=f(x)的定义域. (2)求导数 y′=f′(x). (3)解不等式 f′(x)>0,函数在解集所表示定义域内为增函数. (4)解不等式 f′(x)<0,函数在解集所表示定义域内为减函数.

[ 注意 ]

解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化

简,也可转化为二次不等式求解.

求函数 f(x)=3x2-2ln x 的单调区间.

3x2-1 2 解:函数的定义域为(0,+∞),f′(x)=6x-x=2· x . 3x2-1 3 令 f′(x)>0,即 2· x >0,解得 x> ; 3 3x2-1 令 f′(x)<0,即 2· <0, x 3 解得 0<x< . 3 所以
? ?0, ? ? f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ? ? ? 3 ,+∞? , 单 调 递 减 区 间 为 3 ?

3? ?. 3?

探究点 3

已知函数的单调性求参数

已知函数 f(x)=x3-ax-1.若 f(x)在 R 上为增函数,求 实数 a 的取值范围.

【解】

f′(x)=3x2-a.

因为 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以 f′(x)=3x2-a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立. 因为 3x2≥0,所以只需 a≤0 即可. 又因为 a=0 时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1 在 R 上是增函数, 所以 a≤0,综上实数 a 的取值范围为(-∞,0].

1.若函数 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数,试求 a 的取值范围.

解: 由 f′(x)=3x2-a≤0 在(-1, 1)上恒成立, 得 a≥3x2 在(-1, 1)上恒成立.因为-1<x<1,所以 3x2<3, 所以 a≥3.即当 a 的取值范围为[3,+∞)时,f(x)在(-1,1)上 为减函数.

2.若函数 f(x)不变,若 f(x)的单调递减区间为(-1,1),求 a 的值.
? 解:由本例可知,f(x)的单调递减区间为?- ?

3a 3a ? ?, , 3 3 ?

3a 所以 =1,即 a=3. 3

已知函数 f(x)在(a,b)内的单调性,求参数的取值范围的步骤: 第一步:求导数 y=f′(x); 第二步:转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)对 x∈(a,b)恒成立问题; 第三步:由不等式恒成立求参数的取值范围; 第四步:验证等号是否成立.

1.若函数 f(x)=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函 数,则实数 m 的取值范围是________.

解析:因为 f′(x)=3x2+2x+m,且 f(x)是 R 上的单调函数,所 以只能在 R 上是递增的,所以 f′(x)=3x2+2x+m≥0 恒成立, 1 所以 Δ=4-12m≤0,所以 m≥ . 3

1 答案:[ ,+∞) 3

2.设函数 f(x)=x2+ax-ln x,a∈R,若 f(x)在区间(0,1]上是 减函数,求实数 a 的取值范围. 1 解:f′(x)=2x+a-x.

因为 f(x)在区间(0,1]上是减函数, 所以 f′(x)≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立, 1 即 2x+a-x≤0 对任意 x∈(0,1]恒成立, 1 所以 a≤x-2x 对任意 x∈(0,1]恒成立. 1 令 g(x)=x-2x,所以 a≤g(x)min, 易知 g(x)在(0,1]上单调递减, 所以 g(x)min=g(1)=-1,所以 a≤-1.

规范解答

含参数函数的单调区间的求解

(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ln x-ax2+(2-a)x,讨 论 f(x)的单调递增区间.
【解】 f(x)的定义域为(0,+∞). (2 分)

易忽视定义域

1 f′(x)=x-2ax+(2-a)= (2x+1)(ax-1) - . x 若a≤0 ,则 f′(x)>0, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (7 分) (4 分)

分类讨论是本题难点

? 1? 1 若a>0 ,则由 f′(x)=0 得 x= ,且当 x∈?0, ?时,f′(x)>0; a? a ?

1 当 x> 时,f′(x)<0, a 所以
? 1? f(x)在?0,a?上单调递增.(10 ? ?

分)

综上所述,当 a≤0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当 a>0
? 1? 时,f(x)的单调递增区间为?0,a?.(12 ? ?

分)

(1)讨论含有参数的函数的单调性,通常归结为求含参数不等式 的解集问题, 而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论, 但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标 准. (2)此题对含参数的函数的单调性进行了讨论.另外,已知函数 的单调性确定参数问题更是各类考试的重点,应注意掌握.

1.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( A.y=sin x C.y=x3-x B.y=xex D.y=ln x-x

)

解析:选 B.B 中,y′=(xex)′=ex+xex=ex(x+1)>0 在(0,+∞) 上恒成立, 所以 y=xex 在(0,+∞)上为增函数. 对于 A、C、D 都存在 x>0,使 y′<0 的情况.

2.函数 f(x)=xln x( A.在(0,5)上是增函数 B.在(0,5)上是减函数

)

? ?1 ? 1? C.在?0,e ?上是减函数,在?e ,5?上是增函数 ? ? ? ? ? ?1 ? 1? D.在?0,e ?上是增函数,在?e ,5?上是减函数 ? ? ? ?

1 解析:选 C.由 f(x)=xln x,可得 f′(x)=ln x+x· x=ln x+1.由
? 1? 1 1 f′(x)>0, 可得 x> ; 由 f′(x)<0, 可得 0<x< .所以函数 f(x)在?0,e ? e e ? ? ?1 ? 上是减函数,在?e ,5?上是增函数. ? ?

3.如图所示的是函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象,则在[- 2,5]上函数 f(x)的递增区间为________.

解析:因为在(-1,2)和(4,5]上 f′(x)>0, 所以 f(x)在[-2,5]上的单调递增区间为(-1,2)和(4,5].

答案:(-1,2)和(4,5]

1 3 4.已知函数 f(x)= x +ax2+bx,且 f′(-1)=-4, 3 f′(1)=0. (1)求 a 和 b; (2)试确定函数 f(x)的单调区间.

1 3 解:(1)因为 f(x)= x +ax2+bx, 3 所以 f′(x)=x2+2ax+b,
? ?f′(-1)=-4, ? ?1-2a+b=-4, 由? 得? ? ? ?f′(1)=0, ?1+2a+b=0.

解得 a=1,b=-3.

1 3 (2)由(1)得 f(x)= x +x2-3x. 3 f′(x)=x2+2x-3=(x-1)(x+3). 由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<-3; 由 f′(x)<0 得-3<x<1.所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,-3), (1,+∞),单调递减区间为(-3,1).

知识结构

深化拓展 导数背景下函数单调性的主要条件 (1)在某个区间内,f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间内单调递 增(减)的充分条件,而不是必要条件.例如,函数 f(x)=x3 在定 义域(-∞,+∞)上是增函数,但 f′(x)=3x2≥0. (2) 函数 f ( x ) 在 ( a , b ) 内单调递增 ( 减 ) 的充要条件是 f ′( x ) ≥ 0 (f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,且 f′(x)在(a,b)的任意区间内都不 恒等于 0.这就是说,在区间内的个别点处有 f′(x)=0 并不影响 函数 f(x)在该区间内的单调性.


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