山东省济南市2012-2013学年高一数学上学期期末考试试题新人教B版


2013 年 1 月高一期末模块考试 数 学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,满分 120 分.考试 限定用时 120 分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.答卷前,考生务必将自己的 姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题卡规定的位置. 第Ⅰ卷(选择题 共 48 分) 注意事项: 1. 第Ⅰ卷共 12 题,每小题 4 分,共 48 分. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选择其他答案标号.只能涂在答题卡上, 答在试卷上无效. 3. 考试中允许使用计算器. 一、选择题:(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 设集合 U ? {1,2,3,4,5} , A ? {1,2,3},则 CuA= A. {4} 2.设 f ? x ? ? ? A. 1 B. {2,4, 5} C. {4,5} D. {1,3,4} [

? x2 , x ? 0
x ?2 , x ? 0

,则 f ? ? f ? ?1? ? ?= B. 2 C. 4 D. 8

3. 已知 A(1,1) , B(2,4) ,则直线 AB 的斜率为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2

C. y ?

1 x

D. y ? x

3

5. 若直线 mx+y-1=0 与直线 x-2y+3=0 平行,则 m 的值为 A.

1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

0.3 6. 设 a ? 3 , b ? log? 3, c ? log 0.3 2 则 a, b, c 的大小关系是

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. b ? a ? c

D. c ? a ? b

7. 设 m、n 是两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 m∥n,m∥α ,则 n∥α B.若 α ⊥β ,m∥α ,则 m⊥β
-1-

C.若 α ⊥β ,m⊥β ,则 m∥α 8. 当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a

D.若 m⊥n,m⊥α , n⊥β ,则 α ⊥β
?x

与 y ? log a x 的图象是

O A.



O B.



O 1 C.

O 1 D.

9. 如图是一个正三棱柱体的三视图,该柱体的体积等于
1

A. 3 10. 函数 f(x)=e 1 2
x

B. 2 3

C.2

D.

3 3

3

1 的零点所在的区间是 x

第9题

A.(0, )
2 2

B. ( ,1)
2 2

1 2

C. (1, )

3 2

D. ( ,2)

3 2

11. 两圆 x ? y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系是 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? 12. 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,若 f (2a ? 1) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 ? ? x ? 4 x, x ? 0
A. (??, ?1) ? (? , ??) C. (?1, ? )

1 3

B. (??, ?3) ? (?1, ??) D. (?3, ?1)

1 3

2013 年 1 月高一期末模块考试 数 学

第Ⅱ卷(非选择题 共 72 分)

-2-

注意事项: 1.第Ⅱ卷分填空题和解答题两种题型. 2. 第Ⅱ卷所有题目的答案, 考生须用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡上规定的区域内, 在试卷纸上答题无效.

二、填空题(共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ,它的定义域为 . . . 14. 已知球的某截面的面积为 16 ? ,球心到该截面的距离为 3,则球的表面积为 15. 圆心为 (11) , 且与直线 x ? y ? 4 相切的圆的方程是 16. 下列四个判断:①若 f ( x) ? x ? 2ax 在 [1, ??) 上是增函数,则 a ? 1; ②函数
2

y ? ln( x 2 ? 1) 的值域是 R ;③函数 y ? 2|x| 的最小值是 1;④在同一坐标系中函数 y ? 2 x 与 y ? 2? x 的图象关于 y 轴对称;其中正确命题的序号是
.

三、解答题(共 6 个小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 8 分) 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 2 x ? 4 ? (1)求 A? B ; (2)若 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.

x ? 2} , C ? {x | x ? a ? 1} .

18.(本小题满分 8 分) 已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 1 ? 0 和点 A (1,2),设过 A 点与 l1 垂直的直线为 l 2 . (1)求直线 l 2 的方程; (2)求直线 l 2 与两坐标轴围成的三角形的面积.

19. (本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABCD 是正方形,O 是正方形的 中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (1) PA∥平面 BDE . (2)平面 PAC ? 平面 BDE .

(第 19 题)

-3-

20. (本小题满分 10 分) 某企业拟投资 A 、B 两个项目, 预计投资 A 项目 m 万元可获得利润 P ? ? 万元;投资 B 项目 n 万元可获得利润 Q ? ?

1 2 ? m ? 20 ? ? 105 80

79 59 2 ? 40 ? n ? ? ? 40 ? n ? 万元.若该企业用 40 80 2

万元来投资这两个项目,则分别投资多少万元能获得最大利润?最大利润是多少?

21. (本小题满分 10 分) 已知直线 l 经过点 P(5, 5) ,且和圆 C : x ? y ? 25 相交,截得的弦长为 4 5,求直线 l 的
2 2

方程.

22. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x
?2 m2 ? m ? 3

(m ? ?) 为偶函数,且在 (0, ??) 上为增函数.

(1)求 m 的值,并确定 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? log a [ f ( x) ? ax](a ? 0 且 a ? 1) ,是否存在实数 a, 使 g ( x) 在区间 [2, 3] 上 的最大值为 2,若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

高一数学试题参考答案(2013.1) 一、选择题 1.C 2.B 3.C 二、填空题 13. 4.D 14. 100 ? 5.B 6.B
2

7.D

8. D
2

9.A

10.B

11.B

12.A

? x | x ? 1?

15. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 8

16. ③④

三、解答题 17. 解:(1)由题意知,
-4-

B ? {x | x ? 2}
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2分
所 以

A?

?


|

分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4B

2

(2) 因为 B ? C ? C 以

B?C
a?3
, 知

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6分
所 以

a ?1 ? 2
由 直 线





? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?8分
18. 解 : (1)

l1



3x ? 4 y ? 1 ? 0

kl1 ? ?

3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1分 4
又因为 l1 ? l 2 ,所以 kl1 ? kl2 ? ?1 解 得

kl2 ?

4 3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3分
所 以

l2









y-2 ?

4 (x - 1) 3







4x ? 3 y ? 2 ? 0

? ? ? ? ? ? ? ? ?4分
(2)由 l 2 的方程 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 解得,当 x ? 0 时, y ?

2 3 1 2
? ?

当 y?0 时, x??

? ? ? ? ? ? ?6分
所 以 S? ?

1 1 2 1 1 ? ? ? ,即该直线与两坐标轴围成的面积为 . 2 2 3 6 6

? ? ? ?8分
19. 证明 ( 1 ) 连 接 O 、 E 两 点 .
-5-

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1分
因为 所 O 是 AC 的中点,E 是 PC 的中点, 以 OE ∥ AP ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3分
又因为 所 OE ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE, 以 PA ∥ 平 面 BDE

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5分
(2) 因为 所 PO ? 底面 ABCD,BD ? 平面 BDE, 以 PO

?

BD



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6分
又因为四边形 ABCD 是正方形,AC 与 BD 是对角线 所以 AC ? BD, 且 AC ? PO=O 分 所以 分 因为 所 BD ? 平面 BDE, 以 平 面 PAC BD ? 平面 PAC,

????????????7

????????????8

?





BDE.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分

20. 解:设投资 x 万元于 A 项目,则投资(40-x)万元于 B 项目, 分 总 利 润

??????2

w??

1 79 59 ( x ? 20) 2 ? 105 ? (? x 2 ? x) 80 80 2

? ? ? ? ?5分

? ? x 2 ? 30 x ? 100
? ?( x ? 15)2 ? 325
? ? ? ? ?8分
当 x=15 时,Wmax=325(万元).
-6-

所以投资 A 项目 15 万元,B 项目 25 万元时可获得最大利润,最大利润为 325 万元.

????? ? 10 分
21. 解: 当 l 的斜率不存在时, 方程为 x =5, 与圆 C 相切, 不满足题目要求, 分 设 直 线 l 的 斜 率 为 k , 则 l 的 方 程 ? ? ?2分 如图所示,设 OH 是圆心到直线 l 的距离,

???1

y ? kx ? 5k ? 5 ? 0 .

OA 是圆的半径,则 AH 是弦长 AB 的一半,
在 Rt ?AHO 中, OA =5. 1 2 1 2

AH
? ? ?4分
所 以



AB



×4

5



2

5

.

OH ? OA ? AH ? 5
5(k ? 1) k 2 ?1 ? 5,


2

2



? ? ?6分
又知 解

OH ?


k

1 2
直 线 方



k



2

.

? ? ?8分
所 以 满 足 条 件 的 程 为

x ? 2 y ? 5 ? 0或2 x ? y ? 5 ? 0

? ? ? 10 分
22. (1)由条件幂函数 f ( x) ? x 得到 解
?2 m2 ? m ? 3

(m ? ?) ,在 (0, ??) 上为增函数,

?2m2 ? m ? 3 ? 0


3 ?1 ? m ? , 2
m? Z,


? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2分
又因为 所

m?0



1.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3分
又因为是偶函数 当 m ? 0 时, f ( x) ? x , 不满足 f ( x) 为奇函数;
3

当 m ? 1时, f ( x) ? x , 满足 f ( x) 为偶函数;
2

-7-





f(

?

2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5分
(2) g ( x) ? log a ( x ? ax), 令 h( x) ? x ? ax ,
2

2

由 h( x) ? 0 得: x ? (??, 0) ? (a, ??)

? g ( x) 在 [2,3] 上有定义,? 0 ? a ? 2 且 a ? 1,
? h( x) ? x 2 ? ax


[2,3]











.

? ? ? ? ? ? ?7分
当 1 ? a ? 2 时, g ( x)max ? g (3) ? log a (9 ? 3a) ? 2,

a 2 ? 3a ? 9 ? 0 ? a ?
因 为

?3 ? 3 5 2

1? a ?

2 所

,



a?

?3 ? 2

3

5

? ? ? ? ? ? ?8分
当 0 ? a ? 1时, g ( x)max ? g (2) ? log a (4 ? 2a) ? 2,

? a 2 ? 2a ? 4 ? 0 ? a ? ?1 ? 5

? 0 ? a ? 1,?此种情况不存在,

? ? ? ? ? ? ?9分
综上,存在实数 a ?

?3 ? 3 5 ,使 g ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值为 2. 2

? ? ? ? ?
? ? 10 分

-8-


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