高三-最新教案-数学-第3讲 函数的奇偶性和周期性


第三讲函数的奇偶性与周期性
【知识梳理】 1.函数的奇偶性的概念及图像特征 奇函数 偶函数 函数 f(x)的定义域关于 对于定义域内的 对称 一个 x

定义域
x 定义 f(x)与 f(-x)的 f(-x)=

f(-x)=

关系
图像特征 2.奇(偶)函数的性质 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 (填“相同”、“相反”). (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是 ,两个奇函数的积函数是 . . . . ,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 关于 对称 关于 对称

②两个偶函数的和函数、积函数是 ③一个奇函数,一个偶函数的积函数是

(3)若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)= 3.周期性

(1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)= ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)

(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的最小正周期. 【考点自测】 1.对奇偶函数的认识及应用 (1)函数 y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.( )

(2)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(

) )

1 (3)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)=-2.( x 2.对函数周期性的理解

(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x+a)=-f(x),则 f(x)是周期为 2a(a>0)的周期函数.(

)

【例题讲解】 考点一 函数奇偶性的判断及应用 【例 1】 (1)判断下列函数的奇偶性: (1)y=x; (2)y=x
2

x∈(-1,1]

2 ? ?x ? x (3)y= ? 2 ? ?x ? x

x? 0 x? 0

(4)y=log2

1? x 1? x

(5)f(x)= x ? 1 ? 1 ? x

(6)f(x)=

lg(1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2

变式 1:已知函数(1)f(x)=|x+1|+|x-1|;(2)y=3x +3x;(3)f(x)= x2-1+ 1-x2;
2

(4)y=x sinx 其中是偶函数的有

3

规律方法 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件: (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域; (2)判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等 量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 考点二:函数奇偶性的应用

【例 2】f(x)=

ex a ? 是 R 上的偶函数,求 a 的值;若为奇函数呢? a ex

变式 2:设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3

).

【例 3】f(x)为偶函数,当 ? 2 ? x ? 0 时,f(x)=1-x2+x,当 0 ? x ? 2 时,求 f(x)的解析式

变式 3: 已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-x-1,求 f(x)的解析式

考点三 函数的单调性与奇偶性 【例 4】 .已知 y ? f ( x) 是偶函数,y ? g ( x) 是奇函数, 它们的定义域均为[?3, 3], 且它们在 x ? [0, 3]

上的图像如图所示,则不等式

f ( x) ? 0 的解集是_________. g ( x)

y
y=g(x)

0

1

2

3 y=f(x)

x

变式 4(1):已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,求满足 f(2x-1)<f(

1 )的 x 的取值范围 3

1? 1 (2) :已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在区间[0,+∞)上为增函数,且 f? ?3?=0,则不等式 f(log
8

x)>0 的解集为( 1 ? A.? ?2,2?

). 1 0, ?∪(2,+∞) C.? ? 2? 1 ? D.? ?2,1?∪(2,+∞)

B.(2,+∞)

变式 5:函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1,x2∈D,有 f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) (1) 求 f(1)和 f(-1)的值 (2) 判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论 (3) 若 f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3 且 f(x)在(0,+∞)上为增函数,求 x 的取值范围

规律方法 对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调 性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若 f(x)为偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|).

考点四 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用 【例 5】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25) 变式 6 B .f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) ).

(1): f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 f(x+2)= -

1 ,当 2≤x≤3 时, f (x) =x, 则f (105.5) f ( x)

= (2)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线 x=2 对称;③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(4)=f(0).其中判断正确的序号是________.

(3)函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为 ( ). B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)

A.(1,3)

1? (4)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0 恒成立,设 a=f? ?-2?,b= f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( A.b<a<c B.c<b<a ).

C.b<c<a D.a<b<c

(5) 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当 x∈[0,1]时, 1?1-x f(x)=? ?2? ,则:①2 是函数 f(x)的周期;②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; 1?x-3 ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0;④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ?2? .其中所有正确命题的序号是 ________.

规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上 的问题转化为已知区间上的问题. 课堂小结 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:(1)定义域关于原点对称是函数 f(x)为奇 函数或偶函数的必要非充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函 f?-x? 数进行化简,或应用定义的等价形式:f(-x)=± f(x)?f(-x)± f(x)=0? =± 1(f(x)≠0). f?x? 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,反之也成立.利用这一性质可简化一 些函数图象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

【课堂练习】 1.已知函数 f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则 m 的值是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如果奇函数 f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是( A.增函数且最小值是-5 B.增函数且最大值是-5 C.减函数且最大值是-5 D.减函数且最小值是-5 1 3.函数 y=x- 的图象 ( ) x

)

A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 4.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x) =log2(x+1),则 f(-2 012)+f(2 011)的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 ?x+1??x+a? 5.设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x

【课后作业】 一、选择题 1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值为( 1 1 1 1 A.- B. C. D.- 3 3 2 2

)

2.已知定义域为{x|x≠0}的函数 f(x)为偶函数,且 f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若 f(-3)=0, f?x? 则 <0 的解集为 ( ) x B.(-∞,-3)∪(0,3) D.(-3,0)∪(3,+∞) 1 3.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=- ,当 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5) f?x? 等于( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 x 4.设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)等于( ) A.3 B.1 C.-1 D.-3 5.设函数 f(x)满足:①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则 f(-1)与 f(2)大小关系是 ( ) A.f(-1)>f(2) B.f(-1)<f(2) C.f(-1)=f(2) D.无法确定 二、填空题 x-1,x>0, ? ? 6.若函数 f(x)=?a, x=0, ? ?x+b,x<0 是奇函数,则 a+b=________. A.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)

7.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若 f(x)满足 f(x+3)=f(x),且 f(1)>1,f(2)= 值范围是________.

2m-3 ,则 m 的取 m+1

8.已知函数 f(x)是 R 上的偶函数,g(x)是 R 上的奇函数,且 g(x)=f(x-1),若 f(2)=2,则 f(2 010) 的值为________. 三、解答题 9.已知 f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且 f(x)在[0,3]上是 x 的一次式,在[3,6]上是 x 的二次式,且 当 3≤x≤6 时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求 f(x)的表达式.

10.设函数 f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3) (1)证明 f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域.

a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数 a 的取值范围.


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