福建省福州格致中学鼓山分校2015-2016学年高一数学上学期期中试题


2016 届福建省福州格致中学校内高一第一学期期中考试 数学试卷
注意事项: 1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写,字体 工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1. 对于函数 f(x),若? a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,

则称 f(x)为“可构造三角形函数”,已知函数 f(x)= 则实数 t 的取值范围是( ) A.[0,+∞) B.[0,1] C.[1,2] D.

是“可构造三角形函数”,

2. 双曲线

与抛物线 y =2px(p>0)相交于 A,B 两点,

2

公共弦 AB 恰好过它们的公共焦点 F,则双曲线 C 的离心率为( ) A. B. C. D. )

? ? 3. 如果向量 a ? (k ,1) 与 b ? (4, k ) 共线且方向相反,则 k =(
A. ?2 B. ?2 C.2 D.0

4. 利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则使关于 x 的一元二次方程 x -x+a=0 无实 根的概率为( A. ) B.

2

1 2

1 4

C.

3 4

D. )

2 3

5. 若输出 k 的值为 6,则判断框内可填入的条件是(

1 3 A.s> B.s> 2 5

7 C.s> 10

4 D.s> 5

6. 已知 tan(? ? ? ) ? ?2 ,则

1 ?( cos 2? ? cos 2 ?



1

A.- 2 7. 若 sin 2? ? A. ?

B.-

2 5

C.-

5 2

D. 3 )

1 ? ? ,且 ? ? ( , ) ,则 cos ? ? sin ? 的值是( 4 4 2
B.

3 2

3 4

C.

3 2

y

D. ?

3 4

8. 已知 sin ? A. ?

?? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? 的值等于( ?3 ? 3 ?3 ?
B. ?

5 9

7 9

C.

5 9

D.

7 9
O

A

B
x

9. 函数 y ? sin ? x (? ? 0) 的部分图象如图所示,点 A 、 B 是 最高点,点 C 是最低点.若△ ABC 是直角三角形,则 ? 的 值为( A. ) B.

C

?
4

?
2

C.

?
3

D. ?

10. 使函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) 为奇函数,且在 [0, 一个值是( A. ) B.

?
4

] 上是减函数的 ? 的

?
3

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

11. 如图 AB 是半圆 O 的直径, C , D 是弧 AB 的三等分点, M , N 是线段

AB 的三等分点,若 OA ? 6 ,则 MC ? ND ?

???? ? ????



A. 18

B.8

C. 32

D. 35

12. 已 知 A, B, C 为 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 是 △ ABC 的 垂 心 , 动 点 P 满 足

? ? ?? 1 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? P 一定为△ABC 的( O P? ( O A ? OB ?2 O) C ,则点 4
A. AB 边中线的中点 C. 重心



B. AB 边的中线的四等分点(非中点) D. AB 边中线的三等分点(非重心)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)
2 2 2 2 13. 一个样本方差是 s = 1 ?? x1 ? 3? ? ? x2 ? 3? ? ? ? ? xn ? 3? ? , 则这组数据的总和等

20

?

?

于______

2

1 ? = 3 ,则 sin ? 的值为________. 6? ? ? ? ? ? ? ? | a | ? 1 | b | ? 2 ? a , b ?? 60? , 则 a 15. 已 知 , , 在 2a ? b 方 向 上 的 正 射 影 的 数 量
14. 若 ? 为锐角,且 sin ? ? ? 是 .

? ?

??

16. 设 x,y 具有线性相关关系的两个变量,它们的六组数据如下表: x y 10 22 11 25 13 n 12 26 8 m 6 12

学生甲和乙分别从中选出 4 组数据计算回归直线方程分别为 y=2x+1 和 y ? 生甲和乙所计算的 x 的平均值分别为 x 甲=9, x 乙=

11 1 x ? ,且学 5 5

23 ,则 n-m= 2

三、解答题(共 6 题,17 题 10 分,18~22 每题 12 分,总计 70 分) 17. 某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取 20 辆纯电 动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里 程) ,被调查汽车的续驶里程全部介于 50 公里和 300 公里之间,将统计结果分成 5 组:

[50,100),[100,150),[150, 200),[200, 250),[250,300]
,绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中 x 的 值 ; (2)求续驶里程在 [200,300] 的 车 辆 数 ; (3) 若从续驶里程在第二组与第五组的车辆中随机抽取 2 辆车, 求两车的续驶里程差大 于 50 公里概率.

18. 已知关于 x 的方程 2x -( 3 +1)x+2m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ , 且 θ ∈(0, 2π ).
2

(1)求

cos? 的值; ? 1 ? tan? 2 sin(? ? ) 4 ?

sin 2?

(2)求 m 的值;

3

(3)求方程的两根及此时 θ 的值.

19. 设 a ? ? ?1,1? , b ? ? 4,3? , c ? ? 5, ?2 ? (1)若 (a ? tb) ? c ,求实数 t 的值; (2)试用 a, b 表示 c ; (3)若 a ? OA, b ? OB ,求 ?OAB 的面积;

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

??? ??

??? ?

20. 已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? sin 2 x ? cos 2 x

(1)求 f ( x) 的对称轴方程; (2)用“五点法”画出函数 f ( x) 在 x ? ? 0, ? ? 的简图; (3)若 x ? ?? 求 g ( x) 的值域。

? ? ?? 2 , ? ,设函数 g ( x) ? ? f ( x)? ? f ( x) , ? 12 2 ?

21. 如图,在平面 直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 ? 、 ? ,它们的终边分 别与单位圆相交于 A 、 B 两点.已知 A 、 B 的横坐标分别为 x1 , x2 . (Ⅰ)若 x1 ?

3 10 7 2 , x2 ? ,求 2? ? ? 的值; 10 10

4

(Ⅱ)若 x1 ?

3 ,若角 ? ? 终边与单位圆交于 C 点,且 5

OA ? OC ? 0 ,求 sin(? ? ? ) .

? 3x 3x ? x x ? a ? (cos ,sin ), b ? (cos , ? sin ), x ? [0, ] 2 2 2 2 2 22. 已知向量
(1)求函数 f(x ) ? (2)设

a ? b ? 2 | a ? b |的值域;
,若 关于 x 的方程 g(x ) ? 2 ? 0 有两个不同的实数解,

? ? ? ? g ? x ? ? a ?b ? t a ? b

求实数 t 的取值范围.

5

1【答案】D 2【答案】B 3【答案】B. 4【答案】C 5【答案】C. 6【答案 】C 7【答案】A 8【答案】B 9【答案】B 13【答案】60 14【答案】 10【答案】B 15【答案】 11【答案】C 12【答案】A

3?2 2 6

3 16【答案】13 17【答案】 (1) 2

10 x ? 0.003 ; (2) 5 ; (3) . 21
【解析】 试 题 解 析 :( 1 ) 由 直 方 图 中 所 有 小 矩 形 的 面 积 和 为 1 可 得 :

0 . 0? 0 2 ?5 0
∴ 3分

? 0 . 0 ?0 5
.

5?0 x

? 0 . 0 ? 0 8? 5 0 ?

5?0

0 . 0 0 2

5 0

1

x ? 0.003

(2)由题意可知,续驶里程在 [200,300] 的车辆数为: 20 ? (0.003 ? 50 ? 0.002 ? 50) ? 5 6分 18 【 答 案 】 (1)

3 ? ? 3+1 (2) ( 3 ) θ = 或 【 解 析 】 (1) 由 韦 达 定 理 可 知 6 3 4 2

? 3+1 sin?+cos?= ①, ? ? 2 ? ? sin? ? cos?= m ②, ? ? 2


sin 2? cos? sin 2? cos 2? 3+1 + + = =sinθ +cosθ = . sin?-cos? 1-tan? sin?-cos? cos?-sin? 2

(2)由①两边平 方得 1+2sinθ cosθ =

3 3+2 ,将②代入得 m= . 4 2

(3)当 m=

1 3 3 3 2 时,原方程 变为 2x -(1+ 3 )x+ =0,解得 x1= ,x2= , 2 2 2 2

? 3 ? sin?= 1 sin?= ? ? ? ? 2 ? 2 或? ∴? ∵θ ∈(0,2π ),∴θ = 或 ? 6 3 ?cos?= 1 ?cos?= 3 ? ? ? 2 ? 2
19 答: (1)

1 23 3 7 a ? b; ; (2) c ? ? (3) 2 7 7 2

6

20(1) f ( x) ? 2分 令 2x ?

1 3 3 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 6

?

6 2 ? k? x? ? ,k ? Z 4 分 3 2

?

?

? k? , k ? Z , 得 x ?

?
3

?

k? ,k ? Z , ? 所 求 函 数 对 称 轴 方 程 为 2

(2)列表

2x ?

? 6

0

x
y
6分

? 12
0

? 2 ? 3
1

?
7? 12
0

3? 2 5? 6
-1

2?
13? 12
0

π 12

π 3

7π 12

5π 6

13π 12

8分 (3)? x ? ??

? ? 3 ? ? ? ? 5? ? ? ? ?? ,1? , ? ,则 2 x ? ? ?? , ? ,? sin(2 x ? ) ? ?? 6 6 ? 3 6? ? 12 2 ? ? 2 ?

设 t ? sin(2 x ? 当t ? ?

?

? 1 1 3 ? ) ? ?? ,1? ,则函数 y ? g ( x) ? t 2 ? t ? (t ? ) 2 ? 2 4 6 ? 2 ?

1 1 时, y min ? ? ;当 t ? 1 时, y max ? 2 , 2 4

即所求函数 g ( x) 的值域为 ??

? 1 ? , 2? ? 4 ?

12 分

21 答: (1)

? ; (2)1; 4

7

22【答案 】 (Ⅰ) 【解析】

? ? ? ? a ?b ? cos 2 x, a ? b ? 2 cos x

3 t ? [ ? ,? 2 ) 2 (Ⅱ) f ( x) ? [?7,?1](Ⅲ)

a ? b ? cos
试题分析: (Ⅰ)

3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x 2 2 2 2

2分

| a ? b |2 ? 1 ? 2 cos2x ? 1 ? 2(1 ? cos2x) ? 4 cos2 x
| a ? b |? 2 cos x, x ? [0, ] 2
(Ⅱ)[-3,-1] (Ⅲ)由 g ( x) ? 2 ? 0 得:

?

4分

2 cos2 x ? 2t cos x ? 1 ? 0



cos x ? u ??0,1?

?? ? 4t 2 ? 8 ? 0 ? 2t ? ?0 ? ? ? 1 4 ? ?F (0) ? 0 ? F (u) ? 2u 2 ? 2tu ? 1 ∴ ? ?F (1) ? 0

10 分

3 t ? [ ? ,? 2 ) 2 ∴

12 分

8


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