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【专题】解三角形
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知识过关
一、 解三角形 1、 正弦定理 2、 余弦定理 3、 三角形面积公式

S?ABD ?
4、 和角公式

sin( A ? B) ? cos( A ? B)= tan( A ? B)=
5、 倍角公式

sin( A ? B ) ? cos( A ? B ) ? tan( A ? B ) ?

sin 2 A ?
6、 降幂公式

cos2 A=
cos2 A =

tan 2 A=

sin 2 A ?
7、 诱导公式

sin(? ? A) ? cos(? ? A)= tan(? ? A)=
8、 同角三角函数的基本关系

sin(? ? A) ? cos(? ? A) ? tan(? ? A) ?

sin( ? A) ? 2 cos( ? A)= 2 tan( ? A)= 2

?

?

?

sin 2 A? cos2A =

sinA = cosA

9、 技巧点拨: (1) 解三角形时,什么时候选择正弦定理,什么时候选择余弦定理? (2) 在 ?ABC 中,求角 A 的值时,如果既能求 sinA 又能求 cosA,应选择 sinA 还是 cosA?为什么? (请做题型过关 1)
1

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(3) 解三角形时,如果得到了一个同时含有 sinA 和 cosA 的等式,一般应如何处理? (请做题型过关 2)

(4) 解三角形时,如果已知 B、C 的三角函数,怎样求 A 的大小? (请做题型过关 1、3) (5) 解三角形时,如果出现了边长的等式,并且每一项中边长的次数都相同,可以怎样处理? (请做题型过关 4) (6) 解三角形时,如果出现了边长的分式,并且分子分母的每一项中边长的次数都相同,可以怎样 处理? (请做题型过关 5 ) (7) 解三角形时,如果出现了正弦(sin)的等式,并且每一项中正弦(sin)的次数都相同,可以怎 样处理? (请做题型过关 7) (8) 解三角形时,如果出现了正弦(sin)的分式,并且分子分母的每一项中正弦(sin)的次数都相 同,可以怎样处理? (请做题型过关 6 )

10、

特殊角的三角函数值

0?
Sin Cos Tan

30 ?

45?

60?

90 ?

120?

135?

150?

180?

题型过关
5 10 ,sinB = 5 10

1、 (2009·四川)在 ?ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 sinA = (1)求 A+B 的值 (2)若 a-b= 2-1 ,求 a、b、c 的值

2

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2、在 ?ABC 中,已知 tanA=

1 ,求 sinA、cosA 的值 4 5 4 , cosC= 13 5

3、 (2008·全国)在 ?ABC 中, cosB=(1)求 sinA 的值 (2)设 S?ABC =

33 ,则 BC=? 2

4、设锐角 ?ABC 中, a ? 2b sin A (1)求 B 的大小 (2)若 a ? 3 3, c ? 5 ,求 b

5、在锐角 ?ABC 中, (1)若 B=2A,求 (2)若 B=2A,BC=1,则

b 的取值范围 a

AC 的值等于多少?AC 的取值范围是多少? cos A

6、 ?ABC 中, sinA:sinB:sinC = 3:5: 7 ,则哪个角最大?求出它的度数

2 2 7、 (2009·全国) ?ABC 中, a ? c ? 2b,且 sin A cos C ? 3cos A sin C ,求 b

强化提高
1.(2008·全国) ?ABC 中, a cos B ? 3, bsin A=4 (1)求边长 a (2)若 S?ABC ? 10 ,求 ?ABC 的周长

3

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2.(2009·湖北)在锐角 ?ABC 中, 3a ? 2c sin A (1)求∠B (2)若 c= 7 ,且 S?ABC ?

3 3 ,求 a ? b ?? 2

3.(宁夏 17) (本小题满分 12 分) 如图, △ACD 是等边三角形, △ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ? 90 , BD 交 AC 于 E , AB ? 2 .
?

(Ⅰ)求 cos∠CBE 的值; (Ⅱ)求 AE .

D C E A B

4.(江苏 17) (14 分) 某地有三家工厂,分别位于矩形 ABCD 的顶点 A、B 及 CD 的中点 P 处,已知 AB=20km,BC=10km,为了处理三 家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A、B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设 排污管道 AO、BO、OP,设排污管道的总长为 ykm。 (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; ②设 OP=x(km),将 y 表示成 x 的函数关系式; (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短。 D P O C

A 5. (辽宁 17) (本小题满分 12 分) 在 △ABC 中,内角 A B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? , (Ⅰ )若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ )若 sin B ? 2sin A ,求 △ABC 的面积.

B

? . 3

4

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