2015-2016学年高二数学(人教A版必修四)同步课时作业第1章《三角函数》1.2.1(二)

1.2.1 任意角的三角函数(二)
课时目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函数 线表示一个角的正弦、余弦和正切.
1.三角函数的定义域 正弦函数 y=sinx 的定义域是______;余弦函数 y=cosx 的定义域是______;正切函数 y=tanx 的定义域是_____________________________________________________________. 2.三角函数线 如图,设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,与角 α 的终边交于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM, 垂足为 M,过 A 作单位圆的切线交 OP 的延长线(或反向延长线)于 T 点.单位圆中的有向线段 ______、______、________分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线.记作:sinα=______, cosα=______,tanα=______.
一、选择题 1.如图在单位圆中角 α 的正弦线、正切线完全正确的是( )
A.正弦线 PM,正切线 A′T′ B.正弦线 MP,正切线 A′T′ C.正弦线 MP,正切线 AT D.正弦线 PM,正切线 AT 2.角 α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么 α 的值为( ) A.π4B.34πC.74πD.34π或74π 3.若 α 是第一象限角,则 sinα+cosα 的值与 1 的大小关系是( ) A.sinα+cosα>1B.sinα+cosα=1 C.sinα+cosα<1D.不能确定 4.利用正弦线比较 sin1,sin1.2,sin1.5 的大小关系是( ) A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sin 1>sin 1.5>sin 1.2

C.sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D.sin 1.2>sin 1>sin 1.5

5.若 0<α<2π,且 sin α< 23,cos α>12,则角 α 的取值范围是( )

A.??-π3,π3??

B.??0,π3??

C.??53π,2π??

D.??0,π3??∪??53π,2π??

6.如果π4<α<π2,那么下列不等式成立的是( )

A.cos α<sin α<tan α C.sin α<cos α<tan α

B.tan α<sin α<cos α D.cos α<tan α<sin α

二、填空题

7.在[0,2π]上满足 sinx≥12的 x 的取值范围为________.

8.集合 A=[0,2π],B={α|sinα<cosα},则 A∩B=________________.

9.不等式

tanα+

3 3 >0

的解集是______________.

10.求函数 f(x)=lg(3-4sin2x)的定义域为________.

三、解答题 11.在单位圆中画出适合下列条件的角 α 终边的范围,并由此写出角 α 的集合. (1)sin α≥ 23; (2)cos α≤-12.

12.设 θ 是第二象限角,试比较 sinθ2,cosθ2,tanθ2的大小. 能力提升
13.求函数 f(x)= 1-2cosx+ln??sinx- 22??的定义域.

14.如何利用三角函数线证明下面的不等式?
当 α∈??0,π2??时,求证:sinα<α<tanα.
1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值,三角函数线 的长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负,具体地说,正弦线、正切线 的方向同纵坐标轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横坐标轴一致,向右为正, 向左为负,三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了,使得问题更形象直观,为从几何 途径解决问题提供了方便. 2.三角函数的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角 α 的三角函数线的画法 即先找到 P、M、T 点,再画出 MP、OM、AT. 注意三角函数线是有向线段,要分清始点和终点,字母的书写顺序不能颠倒.
1.2.1 任意角的三角函数(二) 答案
知识梳理 1.R R {x|x∈R 且 x≠kπ+π2,k∈Z} 2.MP OM AT MP OM AT 作业设计 1.C 2.D [角 α 终边落在第二、四象限角平分线上.] 3.A [设 α 终边与单位圆交于点 P, sinα=MP,cosα=OM, 则|OM|+|MP|>|OP|=1,即 sinα+cosα>1.]
4.C [∵1,1.2,1.5 均在??0,π2??内,正弦线在??0,π2??内随 α 的增大而逐渐增大,
∴sin1.5>sin1.2>sin1.]

5.D [在同一单位圆中,利用三角函数线可得 D 正确.] 6.A [
如图所示,在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT,很容易地观察出 OM<MP<AT,即 cosα<sinα<tanα.]
7.??π6,56π?? 8.??0,π4??∪??54π,2π??
9.???α|kπ-π6<α<kπ+π2,k∈Z??? 解析 不等式的解集如图所示(阴影部分),

∴???α|kπ-π6<α<kπ+2π,k∈Z???.
10.??kπ-π3,kπ+π3??,k∈Z

解析 如图所示.

∵3-4sin2x>0,∴sin2x<34,∴-

3 2 <sinx<

3 2.

∴x∈??2kπ-π3,2kπ+π3??∪??2kπ+23π,2kπ+43π?? (k∈Z).即 x∈??kπ-π3,kπ+π3?? (k∈Z).
11.解 (1)

图1 作直线 y= 23交单位圆于 A、B,连结 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图 1 阴影部分),即 为角 α 的终边的范围. 故满足条件的角 α 的集合为

{α|2kπ+π3≤α≤2kπ+23π,k∈Z}. (2)
图2 作直线 x=-12交单位圆于 C、D,连结 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图 2 阴影部分), 即为角 α 的终边的范围.故满足条件的角 α 的集合为 {α|2kπ+23π≤α≤2kπ+43π,k∈Z}. 12.解 ∵θ 是第二象限角,∴2kπ+π2<θ<2kπ+π (k∈Z),故 kπ+π4<θ2<kπ+π2 (k∈Z).

作出θ2所在范围如图所示. 当 2kπ+π4<θ2<2kπ+π2 (k∈Z)时,cosθ2<sinθ2<tanθ2. 当 2kπ+54π<θ2<2kπ+32π (k∈Z)时,sinθ2<cosθ2<tanθ2.
13.解 由题意,自变量 x 应满足不等式组

?? 1-2cosx≥0,

? ??sinx-

2 2 >0.

?sinx> 22, ? 即
?cosx≤12.

则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,

∴???x|2kπ+π3≤x<2kπ+43π,k∈Z???. 14.证明

如图所示,在直角坐标系中作出单位圆,α 的终边与单位圆交于 P,α 的正弦线、正切线为有

向线段 MP,AT,则 MP=sinα,AT=tanα. 因为 S△AOP=12OA·MP=12sinα, S 扇形 AOP=12αOA2=12α,S△AOT=12OA·AT=12tanα,

又 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,

所以12sin

11 α<2α<2tan

α,即

sin

α<α<tan

α.


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