陕西省宝鸡市九校2015届高三3月联合检测(数学文)


宝鸡市九校 2015 届高三 3 月联合检测 数学(文)试题
命题人:宝鸡石油中学 张新会 东风路中学 周粉粉 审题人:宝鸡石油中学 齐宗锁 东风路中学 周宗让
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第 22、23、24 题为三选 一,其它题为必考题.考生作答时,将答案写在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题 答案使用 0.5 毫米的黑色中性笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. ) 1.已知集合 A ? {0, 1, 2} , B ? {1 , m} .

B ? B ,则实数 m 的值是( ☆) A. 0 B. 0 或 2 C. 2 D. 0 或 1 或 2 2 .如图 , 在复平面内 , 复数 z1 , z2 对应的向量分别是 数 z1 z2 对应的点位于( ☆ )
若A A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

OA , OB , 则 复

3.若向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误 的是( ☆ ) .. A. a ? b B. 向量 a 与向量 c 的夹角为 90? C. b ∥ c D.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k2 ,使得 d ? k1b + k2 c

?x ? 0 ? 4.若关于 x, y 的不等式组 ? x ? 2 y ? 0 ,表示的平面区域是直角三角形区域,则正数 k 的值为 ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
( ☆ ) A.1 B.2 C.3 D.4

5.将 f ( x) ? cos x 向右平移

?

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 g ( ) ? ( ☆ ) 6 2
3 2
C.

A.

3 2

B. ?

1 2

D. ?

1 2

·1 ·

6.在△ABC 中,已知 ?A ? 30 , AB ? 3 , BC ? 1 ,则 AC 的长为( ☆ )
A. 2 B. 1 C. 2 或 1 D. 4 7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 o ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1), zox 平面为投影 (0,0,0), 画该四面体三视图中的主视图时, 以 面, 则得到主视图 可以为( ☆ ) A. B. D. 8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出 C.

7 ,则( ☆ ) 4 A. a ? 3 B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 6 9 .函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图像如图所
的值是 图像最有可能的是( ☆ )

示, 那么 f ( x ) 的

10 . 已 知 命 题 p : 存 在 a ? R , 曲 线 x ? ay ? 1 为 双 曲 线 ; 命 题 q :
2 2

{ x | 1 ? x ? 2} .给出下列结论中正确的有( ☆ )
①命题“ p 且 q ”是真命题; A.1 个
2

x ?1 ? 0 的解集是 x?2

②命题“ p 且( ? q )”是真命题; C.3 个 D.4 个

③命题“( ? p )或 q ”为真命题; ④命题“( ? p )或( ? q )”是真命题. B.2 个

x ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线上,且满足 3 | PF1 | ? | PF2 |? 2 5 ,则△ PF1 F2 的面积为( ☆ ) 1 A. 5 B. 3 C. D. 2 ? x ? [ x] , x ? 0 12. 设函数 f ( x ) ? ? , 其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1.2] ? ?2 , [1.2] ? 1 , ? f ( x ? 1), x ? 0 [1] ? 1 ,若直线 k y ? x ? 1 ( k ? o ) 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有两个不同的交点,则 k 的取值范围是
11.已知双曲线 ( ☆ ) A. [2, 3) B. [3, ? ) C. [2, 3] D. (2, 3]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

·2 ·

13.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 1 ,则 f (4) ? ?log 2 x, x ? 1





14.已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该 蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 ☆ .

π 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x 的最小值为 ☆ . 4 ( 16 .已知函数 f ( x) 是定义在 ??, 0) (0, ??) 上的奇函数,在 (0, ??) 上单调递减,且 f (2) ? 0 , 若 f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值范围为 ☆ .
15.函数 f ( x) ? 三、解答题: (本大题 5 小题,每题 12 分,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知 {an } 是一个单调递增的等差数列,且满足 a2 a4 ? 21 , a1 ? a5 ? 10 ,数列 {bn } 的前 n 项和为

2 S n ? 3(bn ? 1) (n ? N? ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;(Ⅱ)证明数列 {bn } 是等比数列.
18.已知某校 A, B, C , D 四个社团的学生人数分别为 10,5,20,15.现为了了解社团活动开展情况,用 分层抽样的方法从 A, B, C , D 四个社团的学生当中随机抽取 10 名学生参加问卷调查. (Ⅰ)从 A, B, C , D 四个社团中各抽取多少人? (Ⅱ)在社团 A, D 所抽取的学生总数中,任取 2 个,求 A, D 社团中各有 1 名学生的概率. 19.在梯形 ABCD 中, AD // BC , BC ? 2 AD , AD ? AB ? BD 翻折,使得平面 ABD ? 平面 BCD . (Ⅰ)求证: CD ? 平面 ABD ; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离.

2 , AB ? BC ,如图把 ?ABD 沿

A

D

A D

A D C B C

B

C B

20.设 M ( x, y ) 到定点 F ( 3, 0) 的距离和它到直线 x ? (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹方程; (Ⅱ) O 为坐标原点, 过 F 点且斜率为 求△ AOB 的面积.
x 2

4 3 3 距离的比是 . 3 2

2 的直线,与点 M 的轨迹交于点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 2

21.设函数 f ( x) ? e ? ax ? ex ? 2 ,其中 e 为自然对数的底数. (Ⅰ) a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)函数 h( x ) 是 f ( x) 的导函数,求函数 h( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值. 请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分.
·3 ·

22. (本题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲. 已知圆内接△ABC 中,D 为 BC 上一点, 形,点 E 为 BC 的延长线上一点,AE 为 B (Ⅰ)求∠BAE 的度数; 2 (Ⅱ)求证: CD =BD EC

A

且△ADC 为正三角 圆 O 的切线.
D C E

24. (本题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲.

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a 2 2 2 (Ⅱ)若实数 x, y, z 满足 x ? 4 y ? z ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3
(Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

·4 ·

命题人:宝鸡石油中学 张新会 东风路中学 周粉粉 审题人:宝鸡石油中学 齐宗锁 东风路中学 周宗让
一、选择题(每题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B 14. 1 ?

D

D

B

C

C

A

A

A

B

C

D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 0

?
6

15. ? 2

16. [?1, 1)

[3, ? ? )

三、解答题:本大题 5 小题,每题 12 分,共 70 分. 由 2a3 ? a1 ? a5 ? 10 ,又可得 a3 ? 5 . 由 a2 a4 ? 21 ,得 (5 ? d )(5 ? d ) ? 21 ,可得 d ? 2 . 所以 a1 ? a3 ? 2d ? 1 .可得 an ? 2n ? 1 (n ? N*) (Ⅱ)证明:由已知 2 S n ? 3(bn ? 1) ,得 S n ?

17. (Ⅰ) 解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题知 d ? 0 .

????????6 分

3 (bn ? 1) 2 3 3 3 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? (bn ? 1) ? (bn ?1 ? 1) ? (bn ? bn ?1 ) , 2 2 2 bn 所以 bn ? 3bn ?1 , ? 3 (n ? 2) bn ?1 又 2b1 ? 2 S1 ? 3(b1 ? 1) ,解得 b1 ? 3
所以数列 bn 是首项为 3,公比为 3 的等比数列. ????????12 分 18.解: (Ⅰ) 从 A, B, C , D 四个社团中分别抽取

? ?

10 10 ?10 ? 2 , ?5 ? 1, 10 ? 5 ? 20 ? 15 10 ? 5 ? 20 ? 15 10 10 ? 20 ? 4 , ?15 ? 3 10 ? 5 ? 20 ? 15 10 ? 5 ? 20 ? 15 故从 A, B, C , D 四个社团中分别抽取学生人数为 2,1,4,3. (Ⅱ)设在 A 社团中抽取的 2 学生分别为 x, y , 在 D 社团中抽取的 3 学生分别为 a, b, c , 从社团 A, D 所抽取的 5 名学生中,任取 2 个,共有 ( x, a), ( x, b), ( x, c), (a, b), (a, c), (b, c), ( y, a), ( y, b), ( y, c), ( x, y ) 10 种情况, 其中符合 A, D 社团中各有 1 名学生的情况共有 ( x, a ), ( x, b), ( x, c), ( y, a ), ( y, b), ( y, c) 6 种; 6 3 故 A, D 社团中各有 1 名学生的概率 P ? ? ?????????12 分 10 5 19.解: (Ⅰ)证明:因为 AD // BC , BC ? 2 AD , AD ? AB ? 2 , AB ? BC ,
所以 BD ?

AB 2 ? AD 2 ? 2 , ?DBC ? ?ADB ? 450

CD ? 22 ? (2 2) 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 cos 45 ? 2 ,
BD 2 ? CD 2 ? BC 2 ,所以 CD ? BD .
·5 ·

因为平面 ABD ? 平面 BCD ,平面 ABD 所以 CD ? 平面 ABD .???? 6 分 (Ⅱ)解: (略)利用等积法求解 得点 M 到平面 ACD 的距离为 20.解: (Ⅰ)由已知得

平面 BCD ? BD ,

2 . 2

??????12 分

( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 | x?

4 3 | 3 x2 化简得点 M ( x, y ) 的轨迹方程为 ? y 2 ? 1 .?????????6 分 4 2 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? ( x ? 3) . 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? ?4 2 联立方程组 ? ,消去 y 并整理得 3 x ? 4 3 x ? 2 ? 0 , ? y ? 2 ( x ? 3) ? ? 2 4 3 2 所以 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 3 3
由 | AB |? 1 ? (

?

3 2

2 2 3 ) x1 ? x2 ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 2 2

原点 O 到直线 AB 的距离 d ?

2 (0 ? 3) ? 0 2 2 ( )2 ? 1 2

?1

所以 S ?AOB ?

1 AB ? d ? 1 2
x 2

???????????? 12 分

21.(Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? e ? x ? ex ? 2 ∵ f ?( x) ? e ? 2 x ? e ,
x

∴ f (1) ? e ? 1 ? e ? 1 ? 2 ? ?3 , f ?(1) ? ?2 ∴曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 ?????????6 分 y ? 3 ? ?2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 1 ? 0
1 2

(Ⅱ) f ( x) ? e ? ax ? ex ? 2 ,
x 2

h( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? e , h?( x) ? e x ? 2a 1 (1)当 a ? 时,∵ x ? [0,1] , 1 ? e x ? e ,∴ 2a ? e x 恒成立, 2 x 即 h?( x) ? e ? 2a ? 0 , h( x ) 在 [0,1] 上单调递增, 所以 h( x ) ? h(0) ? 1 ? e .
·6 ·

e 时,∵ x ? [0,1] , 1 ? e x ? e ,∴ 2a ? e x 恒成立, 2 x 即 h?( x) ? e ? 2a ? 0 , h( x ) 在 [0,1] 上单调递减, 所以 h( x ) ? h(1) ? ?2a . 1 e x (3)当 ? a ? 时, h?( x) ? e ? 2a ? 0 得 x ? ln(2a ) 2 2 h( x ) 在 [0, ln 2a ] 上单调递减,在 [ln 2a , 1] 上单调递增, 所以 h( x ) ? h(ln 2a ) ? 2a ? 2a ln 2a ? e ?????????12 分
(2)当 a ?

请考生从第 22、23、24 题中任选一题做答.多答按所答的首题进行评分. 22.证明:(Ⅰ)在△EAB 与△ECA 中 因为 AE 为圆 O 的切线,所以∠EBA =∠EAC 又∠E 公用,所以∠EAB =∠ECA 因为△ACD 为等边三角形,所以 ?EAB ? ?ECA ? 120o (Ⅱ)因为 AE 为圆 O 的切线,所以∠ABD=∠CAE 因为△ACD 为等边三角形,所以∠ADC =∠ACD, 所以∠ADB=∠ECA,所以△ABD∽△EAC 所以

???5 分

AD EC ,即 AD CA ? BD EC ? BD CA
?????????????10 分
2 2

因为△ACD 为等边三角形,所以 AD=AC=CD, 所以 CD 2 =BD EC

23.解:(Ⅰ)圆 C 的普通方程是(x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ?????????5 分 (Ⅱ)因为射线 OM : ? ? 的普通方程为 y ? x, x ? 0 4 ? y ? x, x ? 0 联立方程组 ? 消去 y 并整理得 x 2 ? x ? 0 2 2 ?(x ? 1) ? y ? 1 解得 x ? 1 或 x ? 0 ,所以 P 点的坐标为 (1, 1) 所以 P 点的极坐标为 ( 2, 解法 2:把 ? ?

?

?
4

)

?????????10 分

?
4

代入 ? ? 2 cos ? 得 ? ? 2 cos

?
4

? 2

所以 P 点的极坐标为 ( 2,

?
4

)

?????????10 分

24.证明: (Ⅰ)由 a ? 0 ,
·7 ·

有 f ( x) =| x ? 所以 f ( x) ? 2

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a) | ? ? a ? 2 a a a
?????????5 分

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