2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1课件创新应用:第一讲 二 平行线分线段成比例定理_图文

理解教材新知 考点一 第 一 讲 二 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 二 平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 (1)文字语言: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成 比例. (2)图形语言: 如图 l1∥l2∥l3, DE AB 则有:BC=______ EF , DE AB DF , = ______ AC EF BC DF = _______. AC AB BC AB AC BC AC 变式有:DE=EF,DE=DF,EF=DF. [说明] “对应线段”是指一条直线被两条平行线截得 的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线 段.如图中 AB 和 DE;而“对应线段成比例”是指同一条直 线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条 线段的比. 2.平行线分线段成比例定理的推论 (1)文字语言: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 对应线段 成比例. 的延长线)所得的__________ (2)图形语言:如图 l1∥l2∥l3, AE AE CE AD AD DB AC EC AC 则有:AB =______,DB=______,AB =______. 3.平行线分线段成比例定理的作用 平行线分线段成比例定理及推论是研究下一节相似三角 形的理论基础,它可以判定线段成比例.另外,当不能直接 证明要证的比例成立时,常用该定理借助“中间比”转化成 另两条线段的比,来得出正确结论.合理添加平行线,运用 定理及推论列比例式,再经过线段间的转换可以求线段的比 值或证明线段间倍数关系. 平行线分线段成比例定理 [例 1] EG∥FH. AB EG 求证:AC=FH. [思路点拨] 由题目中的两组平行线,利用平行线分线段 已知: 如图, AD∥BE∥CF, AB EG 成比例定理,寻求与AC , FH均相等的公共比例式. [证明] AB DE ∵AD∥BE∥CF,∴AC=DF. EG DE 又∵EG∥FH,∴FH=DF. AB EG ∴AC=FH. 平行线分线段成比例定理的解题思路 (1)观察图形和已知条件, 找出图中的三条平行线和被平行 线所截的两条直线; (2)分析截线上的对应线段,写出相应的比例关系; (3)灵活运用比例性质或“中间比”进行线段比的转化, 达 到求线段比或证明线段成比例的目的; (4)注意定理基本图形的几种变式情形, 在复杂图形中识别 能够应用定理的图形. AE 2 1.如图,AD∥EF∥BC,BE= ,DF=4 cm,则 3 FC=________cm. AE DF 解析:∵AD∥EF∥BC,∴BE=FC . AE 2 又BE= ,DF=4 cm, 3 ∴FC=6 cm. 答案:6 2.已知:如图所示,l1∥l2∥l3, AB m BC= n . DE m 求证:DF= . m+ n 证明:∵l1∥l2∥l3, AB DE m ∴BC=EF = n . EF+DE n+m EF n ∴DE=m,则 DE = m , DF m+n DE m 即DE= m .∴DF= . m+ n 平行线分线段成比例定理的推论 [例 2] 已知:如图,点 E 是?ABCD 边 CD 延长线上的一 点,连接 BE 交 AC 于点 O,交 AD 于点 F.求证:OB2=OE· OF. [思路点拨] 利用 AB∥CE,AF∥BC 得出所要比例关系. [证明] 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥CD,AD∥BC. OB OA 由 AB∥CE,得OE=OC. OA OF 由 AF∥BC,得OC=OB. OF OB 所以OB=OE(等量代换). 即 OB2=OE· OF. 运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或求 线段的长度时,应分清相关三角形中的平行线段及所截边,在 解答过程中要灵活应用比例性质. EG AF 3.已知:如图,D 为 BC 的中点,AG∥BC,求证:ED=FC. 证明:因为 AG∥BC, EG AG AF AG 所以ED=BD,FC=DC, EG AF 又 BD=DC,所以ED=FC. 4.如图,已知 AE∥CF∥DG,AB∶BC∶ CD=1∶2∶3, CF=12 cm, 求 AE,DG 的长. AE AB AB 解:∵AE∥CF,∴CF=BC.∴AE=BC· CF. 91 ∵AB∶BC=1∶2, CF=12 cm, ∴AE= ×12=6 (cm). 2 BC CF BC 2 BC 2 ∵CF∥DG,∴BD=DG.∵CD= ,∴BD= . 3 5 BD 5 ∴DG= BC · CF= ×12=30(cm). 2 通过添加平行线构造基本图形寻找公共比 [例 3] 如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于 D, E 为 BC 中点, 延长 AC、 DE 相交于点 F, AC AF 求证:BC=DF. [ 思路点拨 ] 由已知条件,结合图形特 点, 可添加平行线, 构造出能够运用平行线分线段成比例定 理或推论的基本图形, 再结合直角三角形的性质, 找出公共 比,得证. [证明] 作 EH∥AB 交 AC 于点 H, AC BC AC AH 则AH=BE,∴BC= BE . AF DF AF AH 同理:AH=DE,∴DF= DE . ∵△BDC 为直角三角形, 且 E 为 BC 边中点, ∴BE=CE=DE. AH AH AC AF ∴ BE =DE .∴BC=DF. 证明比例式成立, 往往会将比例式中各线段放到一组 平行线中进行研究.有时图形中没有平行线,要添加辅助 线,构造相关图形,创造可以形成比例式的条件,达到证 明的目的. 5.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E,F 分别在 AB,CD 上,且 EF∥ AE 2 BC,若EB= ,AD=8 cm,BC=18 3 cm,求 EF 长. 解:作 AG∥

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