惠州市2013届高三第三次调研考试数学试题(理)

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惠州市 2013 届高三第三次调研考试 数学试题(理)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1、复数
1 ? 3i i
3

的共轭复数是( .... B、 ? 3 ? i

) C、 3 ? i D、 3 ? i )

A、 ? 3 ? i

2、已知向量 p ? ? 2 , 3 ? , q ? ? x , ? ,且 p // q ,则 p ? q 的值为( ? 6 A、 5 B、 1 3 C、 5 D、 1 3

3、已知集合 A ? ? ? 1 ,? , B ? ? x a x ? 1 ? 0 ? ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集合为( 1 A、 ? ? 1? B、 ?1?
1 2



C、 ? ? 1 ,? 1
2 2

D、 ? ? 1 , ,? 0 1

4、已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( A、
1 4



) ,则 lo g 4 f ( 2 ) 的值为(



B、-

1 4

C、2

D、-2 )

2 2 5、“ m ? n ? 0 ”是“方程 m x ? n y ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的(

A、充分而不必要条件 C、充要条件

B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

6、某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示, 则甲、乙两名运动员的中位数分别为( A、19、13 C、20、18 ) B、13、19 D、18、20

?x ? y ? 5 ? 0 ? , 则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( 7、已知 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ?y ? 0 ?



A、 ? 1 4

B、 ? 1 5

C、 ? 1 6

D、 ? 1 7 ) D、82

n 8、数列{ a n } 中, a n ? 1 ? ( ? 1) a n ? 2 n ? 1 ,则数列{ a n }前 1 2 项和等于(

A、76

B、78

C、80

二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 30 分)
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(一)必做题(第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9、在等比数列 ? a n ? 中, a 1 ? 1 ,公比 q ? 2 ,若 ? a n ? 前 n 项和 S n ? 1 2 7 ,则 n 的值为 10、阅读右图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为________. . 开始 输入 n
? 1 的一个焦点与抛线线 y
2

11、已知双曲线 曲线的离心率等于

x a

2 2

?

y b

2 2

? 4 10 x 的焦点重合,且双
k ? 0

10 3

,则该双曲线的方程为



=3 k=k+1 否
n ? 3n ? 1

12、已知 m , n 是两条不同直线, ? , , 是三个不同平面,下列命题 ? ? 中正确的有 . n 则 ? 则 ① 若 m‖ ? , ‖ ? , m‖ n ; ② 若 ? ? ? , ? ? , ? ‖ ? ;
m 则 n 则 ③ 若 m‖ ? , ‖ ? , ? ‖ ? ; ④ 若 m ? ? , ? ? , m‖ n .
? 2 1 x ? x ? a ? 2 , ≤1, 13、已知函数 f ? x ? ? ? .若 f 2 x ?a ? a , x ? 1 ? 则实数 a 的取值范围为 .

n ? 150 ?


? ? x ? 在 ? 0 , ? ? 上单调递增,

输出 k ,n

结束 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (几何证明选讲选做题)如图, P A 切 ? O 于点 A ,割线 P B C 经过圆心 O ,O B ? P B ? 1 ,O A 绕点 O 逆时针旋转 6 0 ? 到 O D ,则 P D 的长为 .

15、 (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 已知两点 A 、B 的极坐标分别为 ( 3 , ) , 4 , ) , 则△ A O B (
3 6

?

?

(其中 O 为极点)的面积为



三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16、(本小题满分12分)已知函数 f ( x ) ? s i n x c o s? ? c o sx s i n (其中 x ? R , 0 ? ? ? ? ),且 函数 ?
2? ? ? ? ? ) ? y ? f ?2x? 对称;(1)求 ? 的值;(2)若 f ( ? ? ? 的图像关于直线 x ? 3 4 ? 6 ? 2 4

,求 sin 2 ? 的值。

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2

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17、(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取 4 0 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分100 分,成绩均为不低于 4 0 分的整数)分成六段: ? 4 0 , 0 ? , ? 5 0 , 0 ? ,?, ? 9 0 , 0 0 ? 后得到如下图的频率分布 5 1 6 直方图;(1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 6 4 0 人,试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 6 0 分的人数; (3)若从数学成绩在 ? 4 0 , 0 ? 与 ? 9 0 , 0 0 ? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成 5 1 绩之差的绝对值不大于 1 0 的概率。 频率 组距

a
0.025 0.020

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

18、 (本小题满分14分)如图,在长方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中, A D ? A A1 ? 1 , A B ? 2 ,点 E 在棱 A B 上 移动。 (1)证明: D 1 E ? A1 D ;(2)当 E 点为 A B 的中点时,求点 E 到平面 A C D 1 的距离; (3) A E 等于何值时,二面角 D 1 ? E C ? D 的大小为
?
4


D1 C1

A1

B1

D A E B

C

19、 (本小题满分 14 分)已知点(1, )是函数 f ( x ) ? a ( a ? 0 , 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 { a n }
x

1

3

的前 n 项和为 f ( n ) ? c , 数列 { b n } ( b n ? 0 ) 的首项为 c , 且前 n 项和 S n 满足: S n - S n ? 1 = S n + S n ? 1 ( n ? 2 ) ; (1)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式;(2)若数列 { c n } 的通项 c n ? b n ? ( ) ,求数列 { c n } 的前 n 项和 R n ;
n

1

3

(3)若数列{

1 b n b n ?1

} 前 n 项和为 T n ,问 T n ?

1000 2009

的最小正整数 n 是多少?

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3

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20、(本小题满分14分)设椭圆 M :
???? ????

x a

2 2

?

y

2

?1

2

?

a ?

2

? 的右焦点为 F 1 ,直线 l : x ?
a
2

a
2

2

与 x 轴交于
? 2

点 A ,若 O F1 ? 2 F1 A (其中 O 为坐标原点);
2 (1)求椭圆 M 的方程;(2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点, E F 为圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的任意一条直

径( E 、 F 为直径的两个端点),求 PE ? PF 的最大值.

21、(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ln ? 2 a x ? 1 ? ? (1)若 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;

x

3

? x ? 2ax
2

3

?a ? R ? .

(2)若 y ? f ( x ) 在 ? 3 , ? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; ? (3)当 a ? ?
1 2

时,方程 f ? 1 ? x ? ?

?1 ? x ?
3

3

+

b x

有实根,求实数 b 的最大值。

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惠州市 2013 届高三第三次调研考试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 D B C A C A B B 答案 1、【解析】
1 ? 3i i
3

? ? 1 ? 3i ? i = 3 + i .故选 D.

2、【解析】 2 ? 6 ? 3 x ? 0 ? x ? ? 4 ? p ? q ? ( 2 , 3) ? ( ? 4 , ) ? ( ? 2 ,3) ? ? 6 3、【解析】 a ? 0 或 1 或 ? 1 .故选D. 4、 【解析】由设 f ( x ) ? x ,图象过点 ( 选 A. 5、【解析】 m x ? n y ? 1 ?
2 2
1

1 3 .故选 B.

?

1 2



2 2

) 得(

1 2

)

?

?

2 2

? (

1 2

)2 ? ? ?

1 2

1

, lo g 4 f ( 2 ) ? lo g 4 2 2 ?

1 4

.故

x

2

1 m

?

y

2

1 n

? 1 ,m ? n ? 0 ? 0 ?

1 m

?

1 n

,即 p ? q .故选 C.

6、【解析】甲中位数为 19,甲中位数为 13.故选 A.
? 7、【解析】最优解为 ( ? 2 .5 , 2 .5 ) ? z m in ? ? 1 5 .故选 B.
n 8、【解析】 a n ? 2 ? a n ? ( ? 1) ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1) ,

取n ? 1, , 及n ? 2 , ,0 , 5 9 6 1 结果相加可得 S 1 2 ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? ? ? a 1 1 ? a 1 2 ? 7 8 .故选 B.

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9、7 ; 10、3 ; 11、
1? 2 x
n 2

? y
n

2

?1 ;

12、④ ;

9

13、 ? 1 , ? ;14、 7 ; 2

15、3;

9、【解析】 S n ? 1 2 7 ?

1? 2

? 2 ? 1 ? n ? 7 .答案: 7 .

10、【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 1 6 , ? 1 ? n ? 4 9, ? 2 ? n ? 1 4 8 , ? 3 .答案:3. k k k k
10 a 10 3

2 2 0 11、【解析】抛线线 y 2 ? 4 10 x 的焦点 ( 10 , ) ? a ? b ? 1 0 . e ?

?

? a ? 3 ? b ? 1 .答案:

x

2

? y

2

? 1.

9

12、【解析】 m , 均为直线,其中 m , 平行 ? , m , 可以相交也可以异面,故①不正确;m ? ? ,n⊥α n n n 则同垂直于一个平面的两条直线平行;④正确 .答案④. 13、【解析】 1 ?
2

1 2

a ? 2 ? 0 ? a ? 2 , a ? a 是增函数,所以 a ? 1
x

? 1 ? a ? 2 .答案: 1 ? a ? 2 .

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)
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14、【解析】∵PA 切 ? O 于点 A,B 为 PO 中点,∴AB=OB=OA, ∴ ? A O B ? 6 0 ,∴ ? P O D ? 1 2 0 ,在△POD 中由余弦定理, 得: P D ? P O ? D O ? 2 P O ? D O c o s ? P O D
2 2 2 ? ?

= 4 ? 1 ? 4 ? (?

1 2

) ? 7.

解析 2:过点 D 作 DE⊥PC 垂足为 E, ∵? PO D ? 120 , ∴? D O B ? 60 , 可得 O E ?
1 2
? ?

,DE ?
PE
2

3 2

,在 R t ? P E D 中,
? 25 4 ? 3 4 ? 7

∴PD ?

? DE

2

.答案:
?

7 .

15、 【解析】A 、B 的极坐标分别为 ( 3 , ) ,( 4 , ) , S ? A B C ? 则
3 6

?

1 2

O A ?O B s in ? A O B ?

1 2

? 3 ? 4 ? s in

?
6

?3

(其中 O 为极点).答案 3. 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、(本小题满分12分) (1)解:∵ f ( x ) ? sin ? x ? ? ? ,??????????????2分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2 ? .??????????????3分 ∵函数 y ? f ? 2 x ?
? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ,???????????5分 ? ? s in ? 2 x ? 4 ? 4 ? ?

又 y ? s in x 的图像的对称轴为 x ? k ? ? 令2x ? 将x ?
?
4 ? ? ? k? ?

?
2

( k ? Z ),????????????6分

?
2


?
12

?
6

代入,得 ? ? k ? ?
1 1? 12

( k ? Z ).

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? (2)解: f ( ? ?
s in ? ? c o s ? ? 1 2
2? 3

.??????????????7分
2 4 ? s in ( ? ? 2? 3 ? 1 1? 12 ) ? s in ( ? ?

) ?

?
4

) ?

2 2

( s in ? ? c o s ? ) ,?9分

? 1 ? s in 2 ? ?

1 4

? s in 2 ? ? ?

3 4

???12分

17、(本小题满分12分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 1 0 ? ( 0 .0 0 5 ? 0 .0 1 ? 0 .0 2 ? a ? 0 .0 2 5 ? 0 .0 1) ? 1 . 解得 a ? 0 .0 3 .

??????????1 分

???????????????????????????2 分

(2)解:根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 1 0 ? ( 0 .0 0 5 ? 0 .0 1) ? 0 .8 5 .??3 分 由于该校高一年级共有学生 640 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分的人数约为 6 4 0 ? 0 .8 5 ? 5 4 4 人.???????????????5 分
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(3)解:成绩在 ? 4 0 , 0 ? 分数段内的人数为 4 0 ? 0 .0 5 ? 2 人,?????? 5 成绩在 ? 9 0 ,1 0 0 ? 分数段内的人数为 4 0 ? 0 .1 ? 4 人,
2 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 C 6 ? 1 5

6分

??????????????7 分 ??????? 9分

如果两名学生的数学成绩都在 ? 4 0 , 0 ? 分数段内或都在 ? 9 0 , 0 0 ? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之 5 1 差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ? 4 0 , 0 ? 分数段内,另一个成绩在 ? 9 0 , 0 0 ? 分数段内,那么这两名 5 1 学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.???????
7 15

10 分 ??11 分

2 2 则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 分的取法数为 C 2 ? C 4 ? 7

所以所求概率为 P ? M ? ?

.??????????????????????????13 分

18、(本小题满分14分) (1)证明:如图,连接 D 1 B ,依题意有:在长方形 A1 A D D 1 中, A D ? A A1 ? 1 ,
四 边 形 A1 A D D 1 A1 D ? A D 1 ? ? ? A1 D ? 平 面 A D 1 B ? 又 A B ? 平 面 A1 A D D 1 ? A B ? A 1 D ? ? ? A 1 D ? D 1 E .??? 4 分 D1E ? 平 面 A D1B ? ? AD ? AB ? A? ?

D

(2)解: A C ?
EC ?
2

AB ? BC
2 2

2

?

5 , AE ? AB / 2 ? 1 ,

1

C
1

BE ? BC

?

2,
? ? 2 2

cos ? A E C ?

1? 2 ? 5 2 ?1?
2 2

A

B
1



1

2

? s in ? A E C ? 1 2


2? 2 2 ? 1 2

D

45

0

C F

∴ S ?AEC ?
VD
? AEC

?1?

,????? 6 分
A A1 ? D A
2 2

A E
D 1C 1 ? C C 1 ?
2 2

B

?

1 3

?1?

1 2

?

1 6

1

. A D1 ?
1 2 ? 3 10 10
3 10 10 ?

?

2 , D 1C ?

5 ,

5? ? s in ? D 1 A C ?
1 2


3 2

5
2? 5?

∴ S ?A DC ?
1

?



设点 E 到平面 A C D 1 的距离为 d , ∴V D
1

? AEC

? V E ? AD C ?
1

1 3

d ?

3 2

? 1 3

1 6

? d ?

1 3



∴点 E 到平面 A C D 1 的距离为

. ??????????????????? 8 分

(3)解:过 D 作 D F ? E C 交 E C 于 F ,连接 D 1 F .由三垂线定理可知,? D F D 1 为二面角 D 1 ? E C ? D 的 平面角. ∴ ? D F D1 ?
s in ? D C F ?

?
4

, ? D1 D F ?
? 1 2

?
2

, D 1 D ? 1 ? D F ? 1 . ????????? 10 分
?
6

DF DC

? ?DCF ?

,∴ ? B C F ?

?
3

.???????? 12 分

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∴ ta n
?
3 ? BE BC
3 时,二面角 D 1 ? E C ? D 的平面角为

? BE ?

3 , AE ? AB ? BE ? 2 ?

3 .

故 AE ? 2 ?

?
4

.??????????? 14 分

19、(本小题满分14分)
?1? 解:(1) Q f ? 1 ? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ?3?
1 a1 ? f ?1 ? ? c ? 1 3 ? c , a2 ? ? f ?
x

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
? f ?1 ? ? c ? ? ? ? ?
2 9

?2? ? c? ? ?
2 27



a3 ? ? f ?

?3? ? c? ? ?

? f ?

?2? ? c? ?

? ?

.
4

又数列 ? a n ? 成等比数列, a 1 ?

a2

2

? ?

a3

2 1 81 ? ? ? ?c 2 3 3 27
n ?1 n

,所以 c ? 1 ;

又公比 q ?

a2 a1

?

1 3

,所以 a n ? ?
S n ?1

2?1? ? ? 3?3?

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n? N

*

;????????2 分
? 2?

Q S n ? S n ?1 ?

?

Sn ?

??

Sn ?

S n ?1

??

Sn ?

S n ?1

?n

又 bn ? 0 , S n ? 0 , ?

Sn ?

S n ?1 ? 1 ;

2 数列 ? S n ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列, S n ? 1 ? ? n ? 1 ? ? 1 ? n , S n ? n

2 当 n ? 2 , b n ? S n ? S n ? 1 ? n ? ? n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ;又其满足 b1 ? c ? 1 , 2

? b n ? 2 n ? 1 ( n ? N );
*

???????????? 5 分
n

(2)? c n ? b n ?
1

?1? ?1? ? ? ( 2 n ? 1) ? ? ,所以 R n ? c 1 ? c 2 ? c 3 ? L ? c n ?3? ?3?
2 3 3

n

?1? ?1? ?1? ?1? R n ? 1 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? ( 2 n ? 1) ? ? ? ?3? ?3? ?3? ?3?
1
2 3 4


n n ?1

?1? ?1? ?1? ?1? ?1? R n ? 1 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? L ? ( 2 n ? 3 ) ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ? ? 3 ?3? ?3? ?3? ?3? ?3?



①式减②式得:
?? 1 ? ?1? ?1? ?1? ? ?1? R n ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? ? ? 3 3 ?3? ?3? ?3? ? ?3? ?? 3 ? ? ? 2 1
2 3 4 n n ?1

?? 7 分

?1? ? ?1? ? ? ?1 ? ? ? ?3? ? ?3? 2 1 ? 化简: R n ? ? 2 ? 1 3 3 1? 3
2

n ?1

? ? ? ?

?1? ? ( 2 n ? 1) ? ? ? ?3?

n ?1

?

2 3

?

2 ( n ? 1) 3

?1? ? ? ? ?? ?3?

n

9分

所以所求 R n ? 1 ? (3) T n ?
? 1 b1 b 2 ?

n ?1 3
1 b 2 b3
n

????????????????
1 b3b4 ?L ? 1 b n b n ?1

10 分
?K ? 1 ( 2 n ? 1) ? ? 2 n ? 1 ?

?

?

1 1? 3

?

1 3? 5

?

1 5?7

1 ? 1? 1 ?1 1? 1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2 ?5 7 ? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ?

?? 12 分
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? 1 ? 1 n ? ;w.w.w.k.s.5. ?? ?1 ? ? ? 2? 2n ? 1 ? 2n ? 1

13 分

u.c.o.m 由Tn ?
n 2n ? 1 ? 1000 2009

得n ?

1000 9

,满足 T n ?

1000 2009

的最小正整数为 112. ???? 14 分

20、(本小题满分14分) 解:(1)由题设知, A (
???? ????
a
2 2

a ?2
2

, ) , F1 0
? ? ? a a
2 2

?
? 2

a ? 2 , ,????????????1 分 0
2

?

由 O F1 ? 2 A F1 ? 0 ,得 a ? 2 ? 2 ? 解得 a
2

?

a

2

? ? 2 ? ,??????????3 分 ? ?

? 6.
x
2

所以椭圆 M 的方程为 M :

?

y

2

? 1 .??????????????????????4 分
2

6

2

2 (2)方法 1:设圆 N : x ? ? y ? 2 ? ? 1 的圆心为 N ,

则 PE ? PF ? NE ? NP ? NF ? NP

?

???? ??? ? ???? ??? ? ? ? N F ? N P ? N F ? N P ????????????????7 分

??

?

??????????????????6 分

?

??

?

??? 2 ???? 2 ? ??? 2 ? ? N P ? N F ? N P ? 1 .????????????????????????8 分

从而求 PE ? PF 的最大值转化为求 NP 的最大值.??????????????9 分 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P ? x 0 ,y 0 ? ,???????????????10 分 所以
x0 6
2

2

?

y0 2

2

? 1 ,即 x 0
2

2

? 6 ? 3 y 0 .??????????????????11 分
? x0
2

2

因为点 N ? 0 , 2 ? ,所以 NP
? ?

? ?y0 ? 2?

2

? ? 2 ? y 0 ? 1 ? ? 12 .???????12 分
2

因为 y 0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ? 1 时, NP

2

取得最大值 12.???????13 分

所以 PE ? PF 的最大值为 11.??????????????????????14 分
y 方法 2:设点 E ( x 1 ,y 1 ) ,F ( x 2 ,y 2 ) , P ( x 0 , 0 ) ,

因为 E , F 的中点坐标为 ( 0 , 2 ) ,所以 ?
??? ??? ? ?

? x 2 ? ? x1 , ? y 2 ? 4 ? y1 .

???????????????6 分

所以 P E ? P F ? ( x1 ? x 0 )( x 2 ? x 0 ) ? ( y 1 ? y 0 )( y 2 ? y 0 ) ?????????????7 分
? ( x1 ? x 0 ) ( ? x1 ? x 0 ) ? ( y 1 ? y 0 ) ( 4 ? y 1 ? y 0 )
? x 0 ? x1 ? y 0 ? y 1 ? 4 y 1 ? 4 y 0
2 2 2 2

? x 0 ? y 0 ? 4 y 0 ? ( x 1 ? y 1 ? 4 y 1 ) .???????????????9 分
2 2 2 2
2 2 2 2 因为点 E 在圆 N 上,所以 x 1 ? ( y 1 ? 2 ) ? 1 ,即 x 1 ? y 1 ? 4 y 1 ? ? 3 .??????10 分

因为点 P 在椭圆 M 上,所以

x0

2

?

y0

2

6 2 ??? ??? ? ? 2 2 所以 P E ? P F ? ? 2 y 0 ? 4 y 0 ? 9 ? ? 2 ( y 0 ? 1) ? 1 1 .??????????????12 分 ??? ???? ? ? 1 1 .?????????14 分 因为 y 0 ? [ ? 2 , 2 ] ,所以当 y 0 ? ? 1 时, P E ? P F

? 1 ,即 x 0 ? 6 ? 3 y 0 .??????????11 分
2 2

?

?

m in

方法 3:①若直线 E F 的斜率存在,设 E F 的方程为 y ? k x ? 2 ,?????????6 分
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由?
? y ? kx ? 2 ?x
2

? ( y ? 2)

2

?1

,解得 x ? ?
k

1
2

.?????????????????7 分
?1

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x 0 ,y 0 ? , 所以
x0 6
2

?

y0 2

2

? 1 ,即 x 0

2

? 6 ? 3 y 0 .?????????????????8 分
k k
2

2

所以 P E ? ?
? k

??? ?

?

1
2

?1

? x0 ,

??? ? ? ? ? 2 ? y0 ? , P F ? ? ? ?1 ? ?
k k
2 2

1 k
2

?1

? x0 , ? k

k
2

? ? 2 ? y0 ? ?1 ?

?????????????9 分 所以 PE ? PF ? x 0 ?
2

1 k
2

?1

? (2 ? y 0 )

2

?

?1

? x0

2

? (2 ? y 0 )

2

? 1 ? ? 2 ( y 0 ? 1)

2

? 11 .

??????????????10 分 因为 y 0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ? 1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????11 分
? ?

②若直线 E F 的斜率不存在,此时 E F 的方程为 x ? 0 ,由 ? 不妨设, E ? 0 , ? , F ? 0 , ? . 3 1

?x ? 0 ? x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

,解得 y ? 1 或 y ? 3 .

????????????????12 分

因为 P 是椭圆 M 上的任一点,设点 P ? x 0 ,y 0 ? , 所以
x0
2

?

y0

2

6 2 ??? ? ??? ? 所以 P E ? ? ? x 0 , ? y 0 ? , P F ? ? ? x 0 , ? y 0 ? . 3 1 ??? ??? ? ? 所以 P E ? P F ? x 0 2 ? y 0 2 ? 4 y 0 ? 3 ? ? 2 ( y 0 ? 1) 2 ? 1 1 .

? 1 ,即 x 0

2

? 6 ? 3 y0 .

2

因为 y 0 ? ? ? 2 , 2 ? ,所以当 y 0 ? ? 1 时, PE ? PF 取得最大值 11.?????13 分
? ?

综上可知, PE ? PF 的最大值为 11.????????????????14 分 21、(本小题满分 14 分) 解:(1) f ? ( x ) ?
2a 2ax ? 1 ? x ? 2 x ? 2a ?
2
2 2 x ? 2 a x ? ?1 ? 4 a ? x ? ? 4 a ? 2 ? ? ? ?

2ax ? 1

.??1 分

因为 x ? 2 为 f ? x ? 的极值点,所以 f ? ? 2 ? ? 0 .?????????????2 分 即
2a 4a ? 1 ? 2 a ? 0 ,解得 a ? 0 .

????????????????3 分
? 2为 f ( x )

又当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? x ( x ? 2 ) ,从而 x (2)因为 f ? x ? 在区间 ? 3, ? ? ? 上为增函数, 所以 f ? ? x ? ?

的极值点成立.

?????4 分

2 2 x ? 2 a x ? ?1 ? 4 a ? x ? ? 4 a ? 2 ? ? ? ?

2ax ? 1

? 0 在区间 ? 3, ? ? ? 上恒成立.???5 分

? ①当 a ? 0 时, f ? ( x ) ? x ( x ? 2 ) ? 0 在 [3, ? ? ) 上恒成立,所以 f ( x ) 在 [3 , ? ) 上为增函数,故 a ? 0 符合 题意.????????????????6 分

②当 a ? 0 时,由函数 f ? x ? 的定义域可知,必须有 2 a x ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 ,
? 所以 2 a x ? (1 ? 4 a ) x ? ( 4 a ? 2 ) ? 0 对 x ? [ 3 , ? ) 上恒成立.
2 2

????????7 分 , ????8 分

令 g ( x ) ? 2 a x ? (1 ? 4 a ) x ? ( 4 a ? 2 ) ,其对称轴为 x ? 1 ?
2 2

1 4a

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10

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因为 a ? 0 所以 1 ?
2

1 4a

? ? 1 ,从而 g ( x ) ? 0 在 [3 , ? ) 上恒成立,只要 g (3 ) ? 0 即可,

因为 g ? 3 ? ? ? 4 a ? 6 a ? 1 ? 0 , 解得
3? 4 13 ? a ? 3? 4 3? 4 13 13

. .

??????????????9 分

因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ?

? 3 ? 13 ? ?0 , ?. 综上所述, a 的取值范围为 4 ? ?

???????????10 分
b x
2 3

(3)若 a ? ?

1 2

时,方程 f (1 ? x ) ?
2

(1 ? x ) 3

3

+

可化为, ln x ? (1 ? x ) ? (1 ? x ) ?
2

b x



问题转化为 b ? x ln x ? x (1 ? x ) ? x (1 ? x ) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0 , ? ? 上有解, ?
2 3 即求函数 g ( x ) ? x ln x ? x ? x 的值域.

????????????11 分

以下给出两种求函数 g ? x ? 值域的方法: 方法 1:因为 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x 2 ? ,令 h ( x ) ? ln x ? x ? x 则 h ?( x ) ?
1 x ? 1? 2x ? ( 2 x ? 1 )( 1 ? x ) x
2

(x ? 0) ,



????????????12 分

1) 所以当 0 ? x ? 1时 , h ? ( x ) ? 0 ,从而 h ( x ) 在 ( 0 , 上为增函数, h 当 x ? 1时 , ? ( x ) ? 0 ,从而 h ( x ) 在 (1, ?? ) 上为减函数,

??????13 分

因此 h ( x ) ? h (1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h ( x ) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. 方法 2:因为 g ? x ? ? x ? ln x ? x ? x
2

???????????????14 分
ln x ? 1 ? 2 x ? 3 x .
2

2

? ,所以 g ? ( x ) ?
1 x

设 p ( x ) ? ln x ? 1 ? 2 x ? 3 x ,则 p ? ( x ) ? 当0 ? x ? 当x ?
1? 6
1? 6 7

? 2 ? 6x ? ?

6x ? 2x ?1
2



x

时, p ? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 ( 0 ,
1? 6 7

1? 6

7

) 上单调递增;

7

时, p ? ? x ? ? 0 ,所以 p ? x ? 在 (
?1? ?

, ? ) 上单调递减; ?

因为 p ? 1 ? ? 0 ,故必有 p ? ? 因此必存在实数 x 0 ? (
?当0 ?x

7 ? 2 3 3 ? 1 ? ? ? 0 ,又 p ? ? ?2 ? 1 ? 2 ? 4 ? ? 4 ? 0 , ? 2 ? 6 e e e ? ?e ?
7 ) 使得 g '( x 0 ) ? 0 ,

1 e
2

1? , 6

? ? x0 时 , g ( x) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 ? 0 , 0 ? 上单调递减; x

当 x 0 ? x ? 1时 ,g ? ( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 ? x 0 ,1 ? 上单调递增; 当 x ? 1时 , '( x ) ? 0 , 以 g ( x ) 在 ? 1 , ? ? 上单调递减; g 所 ? 又因为 g ( x ) ? x ln x ? x ? x ? x (ln x ? x ? x ) ? x (ln x ?
2 3 2

1 4

),

ln 当 x ? 0时 , x ?

1 4

? 0 ,则 g ( x ) ? 0 ,又 g (1) ? 0 .

因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0. ????????????????14 分
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