山东文登第一中学2014-2015学年高二期末理科数学试题


高二期末模块检测 理科数学
2015.6

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 4 页.满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 考试结束,将试卷答题卡交上,试题不交回.

第Ⅰ卷

选择题(共 50 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内,超出该区域的答案无效. 参考公式:如果事件 A, B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 如果事件 率

A, B 互相独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k
次的概

k n?k Pn (k ) ? C k n p (1 ? p)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1. i ? z ? i ? 1 ( i 为虚数单位) ,则 z ? A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i

2.否定“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 A. a, b, c 都是奇数 C. a, b, c 至少有两个偶数 B. a, b, c 都是偶数 D. a, b, c 至少有两个偶数或者都是奇数

3.某校组织一次校外活动, 有 10 名同学参加, 其中有 6 名男生,4 名女生, 从中随机抽取 3 名, 其中至多有 1 名女生的概率 A.

1 3 1 x 1 x2

B.

1 2
2

C.

2 3

D.

5 6

4.下列求导正确的是 A. ( x ? )? ? 1 ?
x x

B. ( x cos x)? ? ?2 x sin x D. (log 2 x)? ?

1 x ln 2 5.有一批产品,其中 12 件是正品, 4 件是次品,有放回的任取 4 件,若 X 表示取到次品的件
C. (3 )? ? 3 log3 e 数,则 D( X ) ?

A.

3 4

B.

8 9

C.

3 8

D.

2 5

6.若 f ( x) ?

ln x , e ? b ? a ,则 x
B. f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (b) D. f (a) f (b) ? 1

A. f (a) ? f (b)

7.某企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,随机抽取了

72 名员工进行调查,所得的数据如下表所示:
积极支持改革 工作积极 工作一般 合 计 不太支持改革 合 计

28

8

36

16
44

20 28

36 72

对于人力资源部的研究项目,根据上述数据能得出的结论是 (参考公式与数据: ?2 ?
2

n(n11 n22 ? n12 n21 ) 2 .当 ? 2 ? 3.841 时, 有 95% 的把握说事件 A n1? n2? n?1n? 2
2

与 B 有关;当 ? ? 6.635 时,有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关; 当 ? ? 3.841 时认为事件

A 与 B 无关.)
A.有 99% 的把握说事件 A 与 B 有关 C.有 90% 的把握说事件 A 与 B 有关 B.有 95% 的把握说事件 A 与 B 有关 D.事件 A 与 B 无关

8.现有 16 个不同小球,其中红色,黄色,蓝色,绿色小球各 4 个,从中任取 3 个,要求这 3 个 小球不能是同一颜色,且红色小球至多 1 个,不同的取法为 A. 232 B. 256
x

C. 408

D. 472

9.设 a ? R ,若函数 y ? e ? 2ax , x ? R 有大于 0 的极值点,则 A. a ? ?

1 e

B. a ? ?

1 e

C. a ? ?

1 2

D. a ? ?

1 2

10.给出下面三个命题:
2 ①已知随机变量? 服从正态分布 N (0, ? ) ,且 P(?2 ? ? ? 2) ? 0.9 ,则 P(? ? 2) ? 0.05 ;

②某学生在最近的 15 次数学测验中有 5 次不及格.按照这个成绩, 他在接下来的 6 次测验中, 恰好前 4 次及格的概率为 ( ) ( ) ; ③假定生男孩、生女孩是等可能的.在一个有两个孩子的家庭中,已知有一个是女孩,则另 一个孩子也是女孩的概率是 则正确的序号为 A.①②

2 3

4

1 3

2

1 . 4
C.① D.②

B.①③

第Ⅱ卷

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 11.已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 的系数为 5 ,则 a ?
2

. 种.

12.把 4 本不同的课外书分给甲、乙两位同学,每人至少一本,则不同的分法有

13.某地区恩格尔系数(表示生活水平高低的一个指标) y (%) 与年份 x 的统计数据如下表: 年份 x 恩格尔系数 y (%)

2004
47

2005
45.5

2006
43.5

2007
41

? ? 4055.25 ,据此模型 ? ? bx 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关,且可得回归直线方程为 y
可预测 2015 年该地区的恩格尔系数为

%.
.

14.曲线 y ? x2 ?1 与直线 x ? 2, y ? 0 所围成的区域的面积为

15.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚才所想的数字, 把乙猜的数字记为 b ,其中 a, b ? {1,2,3,4,5,6} ,若 | a ? b |? 1 ,就称甲、乙“心有灵犀”. 现任意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知复数 z 同时满足下列两个条件: ① z 的实部和虚部都是整数,且在复平面内对应的点位于第四象限; ②1 ? z ?

2 ?4. z 2?i |. 2?i

(Ⅰ)求出复数 z ; (Ⅱ)求 | z ?

17. (本小题满分 12 分) 已知 ( x ?

2 n ) 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大. x2

(Ⅰ)求该展开式中所有有理项的项数; (Ⅱ)求该展开式中系数最大的项. 18. (本小题满分 12 分) 某区要进行中学生篮球对抗赛,为争夺最后一个小组赛名额,甲、乙、丙三支篮球队要进

行比赛,根据规则:每两支队伍之间都要比赛一场;每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有 平局,获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为 率为

1 ,甲队获得第一名的概 5

1 1 ,乙队获得第一名的概率为 . 6 15

(Ⅰ)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 P 1 , P2 ; (Ⅱ)设在该次比赛中,甲队得分为 X ,求 X 的分布列及期望. 19.(本小题满分 12 分) 已知曲线 f ( x) ? ? x3 ? 2 x2 ? 2ax ? 8 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直. (Ⅰ)求 f ( x ) 解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间并画出 y ? f ( x) 的大致图象; (Ⅲ)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2mx ,若对任意 x1 , x2 ? [1, 2] ,总有( x1 ? x2 )[ g ( x1 ) ?
2

g ( x2 )] ? 0, 求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 已知 f (n) ? 1 ?

1 1 1 5 7 ? ? ? ? .经计算得 f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? . 2 3 n 2 2

(Ⅰ)由上面数据,试猜想出一个一般性结论; (Ⅱ)用数学归纳法证明你的猜想.

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? m( x ? 1) ln( x ? 1) ,其中 m 为非负实数. (Ⅰ)求 f ( x) 的极大值; (Ⅱ)当 m ? 1 时,若直线 y ? 2t 与函数 f ( x) 在 [ ? 范围; (Ⅲ)证明:当 a ? b ? 0 时, (1 ? a)b ? (1 ? b)a .

1 ,1] 上的图象有交点,求实数 t 的取值 2

高二理数学参考答案

2015.6

一、 BDCDA BADCA 二、11. ? 1 12. 14 13. 25.25 14.

4 3

15.

4 9

三、16.解: (Ⅰ)设 z ? a ? bi(a, b ? Z , 且a ? 0, b ? 0) , 则z?

2 a(a 2 ? b 2 ? 2) b(a 2 ? b 2 ? 2) ? ? i z a2 ? b2 a2 ? b2

????2 分

?b(a 2 ? b 2 ? 2) ? 0(1) 2 ? , ? 1 ? z ? ? 4 ,? ? a(a 2 ? b 2 ? 2) z ? 4 ( 2 ) ?1 ? a2 ? b2 ?
由(1)知:? b ? 0,? a 2 ? b 2 ? 2 . 代入(2)得: 1 ?

????4 分

????5 分 ????6 分

4a 1 ? 4 ,即 ? a ? 2 . 2 2

?a ? 1 ? a, b ? Z , a ? 0, b ? 0 ,? ? , ?b ? ?1
? z ? 1? i .
(Ⅱ)由题意: z ? ????8 分

2?i 3 4i 8 1 ? 1? i ? ? ? ? i , 2?i 5 5 5 5

????10 分

?| z ?

2?i 8 1 64 1 65 . |?| ? i |? ? ? 2?i 5 5 25 25 5
n ? 1 ? 6 ,? n ? 10 . 2
10?5r 2

????12 分

17.解: (Ⅰ)由题意可知:
r ?Tr ?1 ? C10 x 10?r 2

????1 分 ???3 分

r 2 r x ?2r ? C10 2r x

, (0 ? r ? 10, 且r ? N )

要求该展开式中的有理项,只需令

10 ? 5r ?Z , 2

????4 分 ????6 分

? r ? 0,2,4,6,8,10 ,所有有理项的项数为 6 项.
(Ⅱ)设第 Tr ?1 项的系数最大,

1 ?2 ? r r r ?1 r ?1 ? ? ? r 11 ? r ?C10 2 ? C10 2 则? r r ,即 ? , r ?1 r ?1 ? ? 1 ? 2 ?C10 2 ? C10 2 ? ?10 ? r r ? 1
解得:

????8 分

19 22 ?r? ,? r ? N ,得 r ? 7 . 3 3

????10 分

7 7 ? 展开式中的系数最大的项为 T8 ? C10 2 x

?25 2

? 15360 x

?25 2

.

????12 分

18.解: (Ⅰ)由题意,甲队获得第一名,则甲队胜乙队且甲队胜丙队,

? 甲队获得第一名的概率为 P1 ? P2 ?

1 ; 6



????1 分 ② ???2 分

同理:乙队获得第一名的概率为 (1 ? P1 ) ? 由①②得: P 1 ?

1 1 ? . 5 15

2 1 , P2 ? . 3 4 2 1 所以甲队战胜乙队的概率为 ,甲队战胜丙队的概率 . 3 4
(Ⅱ) X 可能取的值为: 0,3,6 . ????6 分

????5 分

2 1 1 P( X ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? ;????7 分 3 4 4 2 1 2 1 7 P( X ? 3) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ;????8 分 3 4 3 4 12 2 1 1 P( X ? 6) ? ? ? . ????9 分 3 4 6 X 的分布列为: 3 0 X 1 7 P 4 12 E( X ) ? 0 ? 1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? . 4 12 6 4

6 1 6
????10 分

????12 分

2 19 解: (Ⅰ)对 f ( x ) 求导 f ?( x) ? ?3x ? 4 x ? 2a ,

由题意 f ?(1) ? ?3 ? 4 ? 2a ? ?3

?????1 分 ??????2 分

? a ? 2 ,? f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 8 .
(Ⅱ) f ( x) ? ?3x ? 4x ? 4 ? ?(3x ? 2)( x ? 2)
/ 2 / 由 f ( x) ? 0 得 ?2 ? x ?

2 2 / ,由 f ( x) ? 0 得 x ? 或 x ? ?2 3 3 2

?????4 分

∴单调增区间为 ? ?2, ? ,单减区间为 (??, ?2) , ( , ??) 3 3

? ?

2? ?

?????5 分

2 13 f ( x) 极小值= f (?2) ? 0 , f ( x) 极大值= f ( ) ? 9 3 27
大致图像如图

????6 分

13 9 27

y

?2

2 3

x

?????8 分 (Ⅲ) g ( x) ? ? x3 ? x2 ? (4 ? 2m) x ? 8 , 由题意知 g ( x) 在 x ? [1,2] 上为增函数, 即 g ?( x) ? ?3x2 ? 2 x ? (4 ? 2m) ? 0 在 x ? [1,2] 恒成立. ????9 分

? 2m ? ?3x 2 ? 2 x ? 4 在 x ? [1,2] 恒成立.
令 h( x) ? ?3x2 ? 2 x ? 4 ,只需 2m ? h( x)min , ?????10 分

? h( x) 在 x ? [1,2] 上为减函数,? h( x)min ? h(2) ? ?12 ,
? m ? ?6 ,所以实数 m 的取值范围为 (??, ?6] .
20.解(Ⅰ)由题意知, f (2 ) ? 2 ?
2

??????12 分

2?2 5 3? 2 , f (23 ) ? ? ?1 分 2 2 2

4?2 7 5?2 .?????2 分 , f (25 ) ? ? 2 2 2 n?3 n ?1 由此得到一般性结论: f (2 ) ? .?????5 分 2 n?2 n (n ? 2, n ? N ) 也行) (或者猜测 f (2 ) ? 2 f (24 ) ? 3 ?
(Ⅱ)证明:

1 1 1 25 4 1 ? 3 ? ? ? ? ? , 所以结论成立.???7 分 2 3 4 12 2 2 k ?3 k ?1 (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时,结论成立,即 f (2 ) ? ??8 分 2 1 1 1 1 1 1 k ?2 ? k ?1 ? ? ? k ?2 那么, n ? k ? 1 时, f (2 ) ? 1 ? ? ? ? ? k ?1 ? k ?1 2 3 2 2 ?1 2 ? 2 2 k ?3 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? ? ? k ?2 ????10 分 2 2 ? 1 2k ?1 ? 2 2
(1)当 n ? 1 时, f (2 ) ? 1 ?
2

k ?3 1 1 1 k ? 3 2k ?1 k ? 1 ? 3 ? k ?2 ? k ?2 ? ? ? k ?2 ? ? k ?2 ? 2 2 2 2 2 2 2 所以当 n ? k ? 1 时,结论也成立. ?????12 分 综上所述,上述结论对 n ? 1, n ? N 都成立,所以猜想成立. ?????13 分 ?
21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ? m ln( x ? 1) ? m ,定义域为 (?1, ??) ,

m ? 0 时, f ?( x) ? 1 ? 0 ,? f ( x) 在 (?1, ??) 是增函数, f ( x) 不存在极大值. ?2 分 m ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 得 m ln( x ? 1) ? 1 ? m

?0 ? x ?1 ? e

1? m m

,令 f ?( x) ? 0 得? x ? 1 ? e

1? m m

? f ( x) 在 (?1, e

1? m m

? 1] 上单调递增,在 [e
1? m m

1? m m

? 1, ??) 上单调递减,????4 分

所以 f ( x ) 极大值= f (e

? 1) ? me

1? m m

?1.
1? m m

综上, m ? 0 时, f ( x ) 不存在极大值, m ? 0 时, f ( x ) 极大值 ? me (Ⅱ)当 m ? 1 时, f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) , 由 题意知 ,直线 y ? 2t 与 函 数 f ( x) 在 [ ?

? 1 . ??5 分

1 ,1] 上 的图 象有交 点等 价于 方程 f ( x) ? 2t 在 2
?????6 分

1 [ ? ,1] 上有实数解 . 2
由(I)知, f ( x) 在 [ ?

1 , 0] 上单调递增,在 [0,1] 上单调递减. 2 1 1 1 又 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ? ln 4, f (? ) ? ? ? ln 2 , 2 2 2 1 ? f (1) ? f (? ) ? 0 ???8 分 2 1 ? 当 2t ?[1 ? ln 4,0] 时,即 t ? [ ? ln 2, 0] 时,方程 f ( x) ? 2t 有解, 2 1 即直线 y ? 2t 与函数 f ( x) 在 [ ? ,1] 上的图象有交点. ?????9 分 2
(Ⅲ)要证: (1 ? a) ? (1 ? b)
b a

只需证 b ln(1 ? a) ? a ln(1 ? b) ,只需证:

ln(1 ? a ) ln(1 ? b) ? a b

?????10 分

x ? ln(1 ? x) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ln(1 ? x) 1 ? x ? , ( x ? 0) 则 g ?( x) ? 设 g ( x) ? . ?12 分 2 x x 2 (1 ? x) x
由(I)知 x ? (1 ? x) ln(1 ? x) 在 (0, ??) 单调递减,

? x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ? 0 即 g ( x) 在 (0, ??) 上是减函数,而 a ? b ? 0
? g (a) ? g (b) ,故原不等式成立.
?????14 分


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