1.4.3正切函数的性质与图像_图文


问题提出

1. 正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的? 2. 正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容?这些性质是怎样得到的? 3. 三角函数包括正、余弦函数和正切函 数,我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质, 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然.

知识探究(一):正切函数的性质

思考1:正切函数的定义域是什么?用 区间如何表示?
? ? (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ?

思考2:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数是周期函数吗?其最小正周期为 多少? 正切函数是周期函数,周期是π.

思考3:函数 y ? tan(2 x ? 8 ) 的周期为 多少?一般地,函数 y ? tan(? x ? ? )(? ? 0) 的周期是什么? 思考4:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数具有奇偶性吗? 正切函数是奇函数

?

思考5:观察下图中的正切线,当角x ? ? 在 ( ? 2 , 2 )内增加时,正切函数值发生 什么变化?由此反映出一个什么性质?
y
T2

O

O

A
T1

x

思考 6 :结合正切函数的周期性,正切 函数的单调性如何?

? ? 正切函数在开区间(? ? k ???? ? k ?? ??? ?? 2 ? 都是增函数
思考7:正切函数在整个定义域内是增函 数吗?正切函数会不会在某一区间内是 减函数?

? ? ? 时,正切 思考8:当x大于 ? 2 且无限接近 2 ? ?

值如何变化? 当x小于 2 且无限接近 2 时, 正切值又如何变化?由此分析,正切函 数的值域是什么?
y
T2

O

O

A
T1

x

正切函数的值域是R.

知识探究(一):正切函数的图象

? ? ( ? , ) 的图象,具体应如何操作? 2 2
y

思考 1 :类比正弦函数图象的作法, 可以利用正切线作正切函数在区间

?

? 2

O

? 2

x

p x = 思考2:上图中,直线 2

与 正切函数的图象的位置关系如何?图象 的凸向有什么特点?

p 和x = - 2

思考 3 :结合正切函数的周期性 , 如何画 出正切函数在整个定义域内的图象?
y

?? ? 2

??

? ? 2

O

? 2

?

?? 2

x

思考4:正切函数在整个定义域内的图 象叫做正切曲线 . 因为正切函数是奇函 数,所以正切曲线关于原点对称,此外, 正切曲线是否还关于其它的点和直线对 称? kp , 0) 对称. 正切曲线关于点 (
2

思考5:根据正切曲线如何理解正切函数 的基本性质?一条平行于x轴的直线与相 邻两支曲线的交点的距离为多少?

理论迁移

例1 求函数 周期和单调区间.

? ? y ? tan( x ? ) 2 ?

的定义域、

例2 试比较tan8

28? 和tan(? ? )的大小.

3 例3 若 ?1 ? tan x ? ,求 x 的取值范围.

小结作业

1. 正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成 ,且 kp 关于点( 2 , 0) 对称, 正切函数的性质 应结合图象去理解和记忆. 2. 正切曲线与 x 轴的交点及渐近线 , 是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一 般先找出这些点和线,再画正切曲线.

域.

? ? (? , ) 2 2 的情形 ,

3.研究正切函数问题时,一般先考察
再拓展到整个定义

作业:P45练习:2,3,4,6.

三角函数的图象与性质 习题课

例1 求下列函数的定义域和值域:

(1) f (x ) =

(2) f (x ) = lg(2cos x - 1) .
p 例2 已知函数 f (x ) = 4 cos(2wx + ) + 1 3 p p , ] 时, 的最小正周期为π,当 x ? [
3 6

p sin(2x - ) 3



求f(x)的最大值和最小值.

例3 确定下列函数的奇偶性: 5p (1) f (x ) = sin x + cos(2x + ) ; 2 p p (2) f (x ) = tan(x + ) + tan(x - ) . 4 4
x p 例4 已知函数 f (x ) = 2 sin( - ) 在区间 2 6 28p [ , a ] 上是减函数,求a的取值范围.
5

p 例5 把函数 f (x ) = sin(2x + ) 的图象向 4
右平移 a 个单位得曲线 C ,若曲线 C 关于 p x = 直线 对称,求 a 的最小值 . 4

例6 已知函数f(x)=cos2x+sinx+a, 17 若对任意x∈R都有1 # f (x ) 成立,求实 4 数a的取值范围.

作业:

P46习题1.4A组:2,10. P47习题1.4B组: 1,2.


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