高中数学三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件_图文

1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质(二)

【自主预习】 主题1:正弦、余弦函数的单调性

1.观察正弦函数y=sinx,x∈R的图象,回答问题:

? 3? ? (1)函数y=sinx,x∈ ? ? ? , ? 的单调递增区间 ? 2 2?



,单调递减区间是
? 2 2? ?2 2 ?

.

? ? ? ? ? 3? ? 答案: ? ?? , ? ? , ?

(2)结合正弦函数的周期性,它还有哪些单调区间? 用文字语言描述:在
? ? ?? 及 ?? 3 ? ? , ? , ?? ? ? ? 2 2? ?2 2 ?

的每一个端点上

分别加上±2π ,±4π ,±6π …都是它的单调区间.

?

正弦函数的单调性:单调增区间:
单调减区间:

? ? ? ? ? ? 2k ? , ? 2k ? (k ? Z) ? ? _________________ 2 2 ? ? 3? ?? ? ? 2k ? , ? 2k ? (k ? Z) ? ? _________________ 2 ?2 ?

2.观察余弦函数y=cosx,x∈R的图象,回答问题:

(1)函数y=cosx,x∈[-π ,π ]的单调递增区间 是 ,单调递减区间是 .

答案:[-π ,0] [0,π ]

(2)结合余弦函数的周期性,类比正弦函数的单调性总 结得出 [-π +2kπ ,2kπ ](k∈Z) 余弦函数的单调性:单调增区间:_____________________ [2kπ ,2kπ +π ](k∈Z) 单调减区间: _____________________

主题2:正弦、余弦函数的最值 观察正弦曲线、余弦曲线,回答下面的问题:

正弦曲线:

余弦曲线:

1.观察正弦曲线和余弦曲线,正、余弦函数是否存在最 大值和最小值?若存在,其最大值和最小值分别为多少?

提示:存在.正弦、余弦函数的最大值和最小值分别是 1
和-1.

2.在何处正(余)弦函数取得最大值和最小值? 用文字语言描述:过图象上最高(低)点分别作x轴的垂

线与x轴有无数个交点,在每一个交点处函数分别取得
最大(小)值. ?

正弦、余弦函数的最值: (1)正弦函数:
? ①当x= 2 ? 2k?(k ? Z) 时,正弦函数取最大值1 ? ? ? 2k?(k ? Z) ②当x= 2 时,正弦函数取最小值-1

(2)余弦函数: 2kπ (k∈Z) 时,余弦函数取最大值1 ①当x=___________ π +2kπ (k∈Z) 时,余弦函数取最小值-1 ②当x=______________

【深度思考】 结合教材P39例5你认为求形如

y=Asin(ω x+φ)(ω >0,A>0)的函数单调性的一般步骤
是什么?

换元,令μ =ω x+φ 第一步,_________________;

? ? 令 +2k π ≤ μ ≤ +2k π ,k∈Z 第二步,_______________________________ 2 2 3? ? +2k π ≤ μ ≤ +2k π ,k∈Z _____________________________; 2 2

解出x的取值范围 第三步,________________; 确定y=f(x)的单调区间 第四步,_____________________.

【预习小测】
?? ? 1.下列函数在 ? , ?? 上是增函数的是 ?2 ?

(

)

A.y=sinx C.y=sin2x

B.y=cosx D.y=cos2x
?? ? , ?? ? ?2 ?

?? 【解析】选D.y=cos2x在 ? 0, ? 上为减函数,在 ? ? 2?

上为增函数.

2.函数y=cos2x ( ? ? x ? ? ) 的值域是
6 3

(

)

A.[-2,2]
1 C. [? 1 , ] 2 2

B.[-1,1]
1 D.[? 3 , ]

2 2 ? ? ? 【解析】选C.由 ≤x≤ ,得 ≤2x≤ 2? 3 3 6 3 1 1 所以- ≤cos2x≤ . 2 2

? ? 3.函数y=sin(x+π )在 ? ? ? , ?? 上的递增区间为

【解析】由2kπ- ? ≤x+π≤2kπ+ ? ,k∈Z
2

? 2

?

.

得 ? 3? ? 2k? ? x ? 2k? ? ?,k ? Z
? ? ? ? ? , ?? 因为x∈ ?? , ?? ,故增区间为 ? ? ? 2 ? ?2 ? 答案: ? ? , ?? ? ?2 ? ?
2 2

2

.

4.若cosx=2m-1有意义,则m的取值范围是 【解析】由于-1≤cosx≤1,

.

所以-1≤2m-1≤1,解得0≤m≤1.
答案:[0,1]

【备选训练】求函数y=2cos ( 1 x ? ? ) 的单调减区间.(仿
2 6

照教材P39例5解析过程)

【解析】令z= x ? ,函数y=2cosz的单调减区间是 [2kπ,2kπ+π],k∈Z,
1 ? 由2kπ≤ x ? ≤2kπ+π, 2 6 7? ? 得4kπ+ ≤x≤4kπ+ ,k∈Z, 3 3 1 ? 所以y=2cos ( x ? ) 的单调减区间为 [4k? ? ? , 4k? ? 7? ] 2 6 3 3

1 2

? 6

(k∈Z).

【互动探究】 1.正弦函数在定义域上是增函数,而余弦函数在定义域

上是减函数,这种说法对吗?

? ? 提示:不正确,正弦函数在每个区间 [? ? 2k?, ? 2k?] 2 2

(k∈Z)上是增函数,并不是在整个定义域上是增函数; 余弦函数在每个区间[2kπ ,2kπ +π ](k∈Z)上是减函 数,并不是在整个定义域上是减函数.

2.已知y=asinx+b(a≠0)x∈R,如何求该函数的最大、 最小值? 提示:当a>0时,ymax=a+b,ymin=-a+b; 当a<0时,ymax=-a+b,ymin=a+b.

【探究总结】

知识归纳:

方法总结: 1.正弦曲线与余弦曲线的对称性

(1)正弦曲线、余弦曲线的对称轴分别过曲线的最高点
? 或最低点,正弦曲线的对称轴是直线x=kπ + (k∈Z), 2

余弦曲线的对称轴是直线y=kπ (k∈Z).

(2)正弦曲线、余弦曲线的对称中心分别是正弦曲 线、余弦曲线与x轴的交点,正弦曲线的对称中心是 (kπ ,0)(k∈Z),余弦曲线的对称中心是 (k? ? ? ,0) (k∈Z).
2

2.形如y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)的最值求法 形如y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)的函数的最值通常利 用“整体代换”,即令ω x+φ=z,将函数转化为y=Asinz 的形式求最值.

【题型探究】 类型一:正弦、余弦函数的单调性及应用 【典例1】(1)(2016?包头高一检测)下列关系式中正 确的是 ( ) A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11°

(2)(2016?巢湖高一检测)已知函数f(x)=
? 2sin(2x ? ) ? 1 ,x∈R. 4 ①求f ( 5? ) 的值; 4

②求函数f(x)的单调递增区间.

【解题指南】(1)先将函数名化为同名,再将角度转化 到同一单调区间内判断. (2)①直接代入求解; ②通过解不等式- ? +2kπ≤2x+ ? ≤ ? +2kπ,k∈Z求函
2 4 2

数f(x)的增区间.

【解析】(1)选C.由cos10°=sin80°, sin168°=sin12°,

根据y=sinx在0°~90°范围单调递增,所以
sin11°<sin12°<sin80°. 即sin11°<sin168°<cos10°.

(2)①因为f(x)= 2sin(2x ? ? ) ? 1 ,x∈R, 所以 f ( 5? ) ? 2sin(2 ? 5? ? ? ) ? 1
4 4 4 4 ? ? ? ? 2sin( ? ) ? 1 ? 2cos ? 1 ? 2. 2 4 4 ②因为函数f(x)= 2sin(2x ? ? ) ? 1 ,由2kπ- ? ≤2x+ ? 4 2 4 ? 3? ≤2kπ+ (k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+ ? , 2 8 8 所以函数f(x)的单调递增区间为 [k? ? 3? , k? ? ? ] 8 8

(k∈Z).

【规律总结】 1.比较三角函数值大小的方法 (1)利用诱导公式转化为锐角三角函数值. (2)不同名的函数化为同名函数. (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.

2.函数y=Asin(ω x+φ)(A,ω ,φ为常数,且A>0)单调区 间求解的注意事项 (1)当ω <0时,应先利用诱导公式转化为ω >0的形式.

(2)当ω >0时,其单调增区间和减区间分别由以下不等
式确定:
? ? - +2kπ ≤ω x+φ≤ +2kπ ; 2 2 ? 3 +2kπ ≤ω x+φ≤ π +2kπ ,k∈Z. 2 2

【巩固训练】 1.比较下列各组数的大小.
3 7 1 (1)sin194°与cos160°.(2)cos ,sin ,-cos . 2 4 10

【解析】(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°, cos160°=cos(90°+70°)=-sin70°.

因为0°<14°<70°<90°,函数y=sinx在0°<x<90°是
增函数, 所以sin14°<sin70°,所以-sin14°>-sin70°,

所以sin194°>cos160°.

(2) sin 1 ? cos( ? ? 1 ), ?cos 7 ? cos(? ? 7 ),
10

2 10 4 4 7 ? 1 3 因为0< ? ? ? ? ? <π,函数y=cosx在(0,π)上 4 2 10 2

是减函数, 所以 cos(? ? 7 ) ? cos( ? ? 1 ) ? cos 3 ,
2 10 7 1 3 即 ?cos ? sin ? cos . 4 10 2 4 2

2.求函数y=3sin ( ? ? 2x) 的单调增区间.

【解析】由y=3sin ( ? ? 2x) =-3sin (2x ? ? ) ,
所以y=3sin ( ? ? 2x) 的增区间为y=3sin (2x ? ? ) 的减区间,
? ? 3? 由 +2kπ≤2x- ? +2kπ,k∈Z, 2 3 2

3

3

3

3

3

5 11 ? ? x ? k? ? ?, k ? Z, 12 12 所以y=3sin ( ? ? 2x) 的增区间为 [k? ? 5? , k? ? 11 ?] 3 12 12

得 k? ?

(k∈Z).

类型二:正弦、余弦函数的最大值、最小值
?x ? 【典例2】(1)(2016天津高一检测)函数y=2sin ( ? ) 6 3

(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为

.

(2)(2016?青岛高一检测)已知函数f(x)=sin (2x ? ? ) ? 1 ? m
6 2

的图象过点

5 ( ?,0). 12

①求实数m的值及f(x)的周期及单调递增区间;
?? ②若 x ? ? 0, , 求f(x)的值域. ? ? ? 2?

【解题指南】(1)利用x的范围,求出 ( ?x ? ? ) 的范围,然
6 3

后求函数的最大值和最小值.

5? (2)①根据图象过点 ( ,0) 求出m,利用 T ? 2? 求周期, 12 ? 再由 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? ? ? 2k?,k ? Z 求增区间; 2 6 2 ? ②由x的范围,求出 2x ? 的范围,求出最大、最小值,从 6

而得值域.

【解析】(1)当0≤x≤9时, ? x ? ? ? [? ? , 7 ?] ,所以函数
6 3 3 6

的值域是 [? 3, 2] ,所以最大值与最小值之和是2- 3 .
答案:2- 3

(2)①由题意可知,sin(2 ? 5 ? ? ? ) ? 1 ? m ? 0, 所以m=-

12 6 2 ? 2? 2? 所以 f ? x ? ? sin(2x ? ),T ? ? ? ?, 由 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 6 ? 2 2 6 ? ? ? ? 2k?(k ? Z), 解得: ? ? k? ? x ? ? k?, 所以f(x)的 3 6 2 ? ? 单调递增区间为 [? ? k?, ? k?] (k∈Z). 3 6

1 2

,

②因为0≤x≤ ? 所以0≤2x≤π,所以 ? ≤2x+ ? ≤7? .
2 6 6

6

所以 ? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 1, 所以f(x)的值域为 [? 1 ,1].
2 6 2

【延伸探究】 1.题(2)②条件“若x∈ [0, ? ] ”改为“若 x ? [? ? , ? ] ”
2 6 12

其他条件不变.求f(x)的最大值、最小值.

【解析】由条件可得f(x)=sin (2x ? ? ),
? ? ? ? ? ? x ? , 所以 ? ? 2x ? ? , 因为 6 12 6 6 3 所以 ? 1 ? sin(2x ? ? ) ? 3 , 2 6 2 所以f(x)=sin (2x ? ? ) 的最大值为 3 6 2 ? 6

,最小值为 ? 1 .
2

2.题(2)条件不变,求f(x)的对称轴方程. 【解析】由条件可得f(x)=sin (2x ? ? ) ,由2x+ ? =kπ+ ? ,k∈Z,所以x= k? ? ? ,k∈Z,
2 2 6 2 6 6

所以函数f(x)的对称轴方程为x= k? ? ? ,k∈Z.
6

【规律总结】三角函数最值问题的三种常见类型及求 解方法 (1)形如y=asinx(或y=acosx)型,可利用正弦函数,余弦 函数的有界性,注意对a正负的讨论.

(2)形如y=Asin(ω x+φ)+b(或y=Acos(ω x+φ)+b)型, 可先由定义域求得ω x+φ的范围,然后求得

sin(ω x+φ)(或cos(ω x+φ))的范围,最后求得最值.
(3)形如y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型,可利用换元思想, 设t=sinx,转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围

需要根据定义域来确定.

【补偿训练】函数f(x)=2cos2x-4cosx+1,x∈R的值 域为 是 . ;且当f(x)取最大值时,x的取值集合

【解析】令t=cosx,则t∈[-1,1], 所以y=2t2-4t+1=2(t-1)2-1,t∈[-1,1], 所以当t=-1,即cosx=-1,x=2kπ+π,k∈Z时y最大,最大 值为7; 当t=1时,y最小,最小值为-1. 答案:[-1,7]
{x |? 2k? ? ?,k ? Z}

类型三:正弦函数、余弦函数的对称性 【典例3】(1)(2015?四川高考改编)下列函数中,最小 正周期为π 且图象关于原点对称的函数是
? A.y ? cos(2x ? ) 2 ? C.y ? 2sin(2x ? ) 4 ? B.y ? sin(2x ? ) 2 ? D.y ? 2sin(x ? ) 4

(

)

(2)已知ω >0,0<φ<π ,直线

? 5? x ? 和x ? 是函数 4 4

f(x)=sin(ω x+φ)图象的两条相邻的对称轴,求ω 和φ 的值.

【解题指南】(1)分别求出其对称中心判断. (2)通过相邻对称轴获得函数的周期,从而确定ω的值, 将其中一条对称轴方程代入函数对称轴方程公式,求得 φ值.

【解析】(1)选A.y=cos (2x ? ? ) =-sin2x,满足题意;B中 y=sin (2x ? ? ) =cos2x,其对称中心为 ( ? ? k? ,0) (k∈Z),
4 2 最小正周期为π;C中,其对称中心为 ( k? ? ? ,0) (k∈Z), 2 8 ? 最小正周期为π.D中,其对称中心为 (k? ? ,0) (k∈Z), 4 2 2

最小正周期为2π.故A正确.

5? ? (2)由题意知T=2× ( ? ) =2π,故ω=1. 4 4 ? 所以f(x)=sin(x+φ),令x+φ=kπ+ (k∈Z), 2 ? ? 将x= 代入可得φ=kπ+ (k∈Z), 4 4 ? 又因为0<φ<π,所以φ= . 4

【规律总结】正弦函数、余弦函数的对称中心与对 称轴 (1)正弦函数的图象与x轴的每一个交点(kπ ,0)(k∈Z) 都是它的对称中心;过最值点且垂直于x轴的直线 x=kπ + ? (k∈Z)都是它的对称轴.
2

(2)余弦函数的图象与x轴的每一个交点 (k? ? ? ,0)
2

(k∈Z)都是它的对称中心;过最值点且垂直于x轴的直 线x=kπ (k∈Z)都是它的对称轴.

【巩固训练】 1.(2016?天津高一检测)函数y=cos 一条对称轴方程为
? A.x ? ? 8 ? C.x ? ? 2
? (2x ? ) 4

的图象的

(

)

? B.x ? ? 4 D.x ? ??

【解析】选A.因为函数y=cos

? (2x ? ) 4

的图象的对称轴

是过图象的顶点且垂直于x轴的直线,所以对称轴方程
? k? ? ? 为 2x ? ? k?, 即 x ? ? , k∈Z,当k=0时, x ? ? . 8 2 8 4

? ? ( ?| ? ) 的一条对称轴为x= 2.函数y=2sin(3x+φ)| , 2 12

则φ=
? A. 6

(
? B. 3

)
? C. 4 ? D. ? 4

【解析】选C.由y=sinx的对称轴为x=kπ+ ? (k∈Z),
? 可得3× 12 ? 又|φ|< 2

2 ? ? +φ=kπ+ (k∈Z),则φ=kπ+ (k∈Z), 2 4 ? ,所以k=0,得φ= . 4


相关文档

高中数学第一章三角函数1_4_2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教a版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件【新人教版】
新人教版必修四高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课件
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课件新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教A版必修2
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课件【新人教版】
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)课件新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一)课件新人教A版必修2
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)课件新人教A版必修4
电脑版