2018-2019学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 函数的单调性与导数1 新人教A版选修2-2

1.3.1 函数的单调性与导数

核心必知 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材,回答下列问题. (1)观察教材,回答下列问题: ①函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 在区间(0,a)上的单调性是 什么?h′(t)的符号是正还是负? 【答案】h(t)在(0,a)上为增函数,h′(t)>0.

②函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 在区间(a,b)上的单调性 是什么?h′(t)的符号是正还是负? 【答案】h(t)在(a,b)上为减函数,h′(t)<0. (2)观察教材函数的单调性与其导函数的正负有什么关系? 【答案】①在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=1>0,y(x)是增函数; ②在区间(-∞,0)内,y′(x)=2x<0,y(x)是减函数; 在区间(0,+∞)内,y′(x)=2x>0,y(x)是增函数;

③在区间(-∞,+∞)内,y′(x)=3x2≥0,y(x)是增函数; ④在区间(-∞,0),(0,+∞)内,y′(x)=-x12<0,y(x)是减函数.

(3)观察教材,函数 f(x)在(0,a)和(a,+∞)上都是单调递增 的,但在(0,a)内的图象“陡峭”,在(a,+∞)内的图象“平缓”, 试比较 f(x)在(0,a)和(a,+∞)内导数的大小有什么关系? 【答案】在(0,a)上的导数值大于在(a,+∞)上的导数值.

1
(4)观察函数 f(x)= x ,x∈(0,+∞)的图象,试比较图象在 (0,1)和(1,+∞)上的“陡峭”或“平缓”与 f′(x)在(0,1)和 (1,+ ∞)内的大小有什么关系? 【答案】在(0,1)内图象“陡峭”,在(1,+∞)内图象“平缓”, 导函数 f′(x)在(0,1)内的绝对值大于在(1,+∞)内的绝对值.

2.归纳总结,核心必记

(1)函数的单调性与其导数正负的关系

一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:

导数 函数的单调性

f′(x)>0

单调

f′(x)<0

单调

f′(x)=0 常数函数

(2)函数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系

一般地,设函数 y=f(x),在区间(a,b)上:

导数的绝对值 函数值变化

函数的图象





比较“陡峭”(向上或向下)





比较“平缓 ”(向上或向下)

问题思考 (1)如果在区间(a,b)内恒有 f′(x)=0,则 f(x)有什么特性? 【答案】f(x)为常数函数,不具有单调性. (2)在区间(a,b)内,若 f′(x)>0,则 f(x)在此区间上单调递增, 反之也成立吗? 【答案】不一定成立.比如 y=x3 在 R 上为增函数,但其在 x =0 处的导数等于零.也就是说 f′(x)>0 是 y=f(x)在某个区间上 单调递增的充分不必要条件

(3)下图为导函数 y=f′(x)的图象,则函数 y=f(x)的单调区间 是什么?
【答案】单调递增区间:(-∞,-3],[-2,1],[3,+∞); 单调递减区间:[-3,-2],[1,3].

知识点 1 函数与导函数图象间的关系 讲一讲 1.(1)设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示, 则导函数 y=f′(x)的图象可能为( D )

(2)已知 f′(x)是 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x) 的图象只可能是( D )

【解析】 (1)由函数的图象可知:当 x<0 时,函数单调递增,
导数始终为正;当 x>0 时,函数先增后减再增,即导数先正
后负再正,对照选项,应选 D.
(2)从 f′(x)的图象可以看出,在区间????a,a+2 b????内, 导数单调递增; 在区间????a+2 b,b????内,导数单调递减.即函数 f(x)的图象在????a,a+2 b???? 内越来越陡,在????a+2 b,b????内越来越平缓,由此可知,只有选项 D 符合.

类题通法 研究函数与导函数图象之间关系的方法
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注 意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个 区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数, 则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于 零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

练一练 1.(1)函数 y=f(x)的图象如图所示,则导函数的图象大致 是( )

【解析】因为函数 f(x)在(0,+∞)和(-∞,0)上都是单调 递减的,所以 f′(x)<0. 【答案】D

(2)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,f′(x)的图象如图所示,则 f(x) 的递增区间是________.
【解析】由图象可知,f′(x)>0 的解集为(-∞,0)∪(2,+∞), 故 f(x)的递增区间为(-∞,0),(2,+∞). 【答案】 (-∞,0),(2,+∞)

知识点 2 判断(证明)函数的单调性 思考 1 若函数 f(x)为可导函数,且在区间(a,b)上是 单调递增(或递减)函数,则 f′(x)满足什么条件?
【答案】f′(x)≥0(或 f′(x)≤0).

思考 2 若函数 f(x)在(a,b)上满足 f′(x)>0(或 f′(x)<0),则 f(x)在(a,b)上具备什么样的单调性?
【答案】若 f′(x)>0,则 f(x)在(a,b)上为增函数; 若 f′(x)<0,则 f(x)在(a,b)上为减函数.
思考 3 如何判断(证明)可导函数 f(x)在(a,b)上的单调性?
【答案】利用 f′(x)的符号,规律方法同[思考 2].

讲一讲 2.求证:函数 f(x)=ex-x-1 在(0,+∞)内是增函数, 在(-∞,0)内是减函数. 证明:由于 f(x)=ex-x-1,所以 f′(x)=ex-1, 当 x∈(0,+∞)时,ex>1,即 f′(x)=ex-1>0. 故函数 f(x)在(0,+∞)内为增函数, 当 x∈(-∞,0)时,ex<1,即 f′(x)=ex-1<0. 故函数 f(x)在(-∞,0)内为减函数.

类题通法 利用导数判断函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x); (2)确定 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)得出结论.

练一练 证2.明试:证由明于:函f(x数)=f(lxnx)=x,ln所xx以在区f′(x间)=(01x,·2x)-x上2ln是x单=调1-递xl2n增x函. 数. 由于 0<x<2,所以 ln x<ln 2<1, 故 f′(x)=1-xl2n x>0, 所以函数 f(x)=ln x在区间(0,2)上是单调递增函数.

知识点 3 利用导数求函数的单调区间 思考 f′(x)>0 或 f′(x)<0 的解集与函数 f(x)的单调区间有什么 关系? 【答案】f′(x)>0 的解集对应函数 f(x)的单调递增区间; f′(x)<0 的解集对应函数 f(x)的单调递减区间.

讲一讲

3.求下列函数的单调区间:

(1)f(x)=x-x3;(2)f(x)=x2-ln x.

解:(1)f′(x)=1-3x2,



1-3x2>0,解得-

3 3 <x<

3 3.

因此,函数

?
f(x)的单调递增区间为??- ?

33.,

33????.



1-3x2<0,解得

x<-

33或

x>

3 3.

因此,函数

?
f(x)的单调递减区间为??-∞,- ?

33????,????

33,+∞????.

(2)函数 f(x)的定义域为(0,+∞).

f′(x)=2x-1x=(

2x-1)( x

2x+1) .

因为 x>0,所以 2x+1>0,由 f′(x)>0,解得 x> 22,

所以函数

?
f(x)的单调递增区间为?? ?

22,+∞????;

由 f′(x)<0,解得 x< 22,又 x∈(0,+∞),

所以函数

?
f(x)的单调递减区间为??0, ?

22????.

类题通法 利用导数求函数单调区间的步骤
(1)求函数的定义域; (2)求 f′(x),解不等式 f′(x)>0(或 f′(x)<0); (3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间. 注意事项: ①求函数的单调区间,必须在函数的定义域内进行.

②如果函数的单调区间有多个时,单调区间不能用“∪”符号 连接,只能用“,”或“和”隔开. ③导数法求得的单调区间一般用开区间表示.

练一练 3.求函数 f(x)=x-ex 2的单调区间. 解:函数 f(x)的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞). f′(x)=ex((xx--22))-2 ex=e(x(x-x-2)3)2 . 因为 x∈(-∞,2)∪(2,+∞),所以 ex>0,(x-2)2>0.

由 f′(x)>0 得 x>3, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(3,+∞); 由 f′(x)<0 得 x<3,又定义域为(-∞,2)∪(2,+∞), 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,2)和(2,3).

讲一讲

4.已知函数 f(x)=x3-ax-1.讨论 f(x)的单调区间.
解:f′(x)=3x2-a.

(1)当 a≤0 时,f′(x)≥0,所以 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.

(2)当

a>0

时,令

3x2-a=0,得

x=±

3a 3.

当 x>

33a或 x<-

33a时,f′(x)>0;

当-

3a 3 <x<

33a时,f′(x)<0.

?
因此 f(x)在??-∞,- ?

33a????,????

33a,+∞????上为增函数,

?
f(x)在??- ?

33a,

33a????上为减函数.

综上可知, 当 a≤0 时,f(x)在 R 上为增函数.

?
当 a>0 时,f(x)在??-∞,- ?

33a????,????

33a,+∞????上为增函数,

?
在??- ?

33a,

33a????上为减函数.

类题通法 讨论含有参数的函数的单调性,通常归结为求含参数
不等式的解集问题,而对含有参数的不等式要针对具体情 况进行讨论,但要始终注意定义域对单调性的影响以及分 类讨论的标准.

练一练 4.(1)本讲中 f(x)不变,若 f(x)为单调递增函数,求实数 a 的取值范围. 解:由已知得 f′(x)=3x2-a, 因为 f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数, 所以 f′(x)=3x2-a≥0 在(-∞,+∞)上恒成立, 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立. 因为 3x2≥0,所以只需 a≤0.

又因为 a=0 时,f′(x)=3x2≥0, f(x)=x3-1 在 R 上是增函数,所以 a≤0. 即实数 a 的取值范围为(-∞,0].

(2)本讲中 f(x)不变,若 f(x)在区间(1,+∞)内为增函数, 求 a 的取值范围.
解:因为 f′(x)=3x2-a,且 f(x)在区间(1,+∞)上为增函数, 所以 f′(x)≥0 在(1,+∞)恒成立, 即 3x2-a≥0 在(1,+∞)恒成立, 所以 a≤3x2 在(1,+∞)恒成立, 即 a 的取值范围为(-∞,3].

(3)本讲中 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上为减函数, 试求 a 的取值范围. 解:由 f′(x)=3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立, 得 a≥3x2 在 x∈(-1,1)恒成立. 因为-1<x<1, 所以 3x2<3,所以 a≤3, 所以 a≥3. 即 a 的取值范围是[3,+∞).

(4)本讲中 f(x)不变,若 f(x)的单调递减区间为(-1,1), 求 a 的取值范围. 解:由例题可知,f(x)的单调递减区间为(- 33.a., 33a), ∴ 33a=1,即 a=3.

(5)本讲中 f(x)不变,若 f(x)在区间(-1,1)上不单调, 求 a 的取值范围. 解:∵f(x)=x3-ax-1,∴f′(x)=3x2-a, 由 f′(x)=0,得 x=± 33a(a≥0), ∵f(x)在区间(-1,1)上不单调,∴0< 33a<1,即 0<a<3. 故 a 的取值范围为(0,3).

课堂总结 1.本节课的重点是函数的单调性与其导数正负的关系、函 数图象的变化趋势与导数绝对值大小的关系.难点是与参数 有关的函数单调性问题. 2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)函数与导函数图象间关系的应用,见讲 1;

(2)判断(证明)函数单调性的方法,见讲 2; (3)利用导数求函数单调区间的方法,见讲 3; (4)利用导数解决与参数有关的函数单调性问题,见讲 4.
3.在利用导数求函数的单调区间时,易忽视函数的定义 域,这是本节课的易错点,如讲 3(2).


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