吉林省吉林市普通高中2012届高三第三次模拟考试数学文试题

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吉林市普通中学 2011—2012 学年度高中毕业班下学期期末教学质量检测

数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 小题,共 150 分,考试时 间 120 分钟。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 2. 选择题必须用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色自己的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀。

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 3 ,或 x ? 4 } , B ? { x | x ? 2 } ,则右图中阴影部分表示的 集合为
U

? (A) (4, ? )

3 (B) ( ?? , ) 3 (D) ( 2 , )

A

B

2 (C) ( ?? , )

2.若复数 3 ? (a ? 1)i ? b ? 2i (a,b ? R) ,则复数 z ? a ? bi 对应的点位于 (A)第一象限 (C)第三象限 3.已知 sin? ? ? (B)第二象限 (D)第四象限

2 ? ? ? ,且 ? ? ? ? , 0 ? ,则 tan? 等于 2 ? 3 ?
(B) ?

(A)

2 5 5

2 5 5

(C)

5 2

(D) ?

5 2

4.下列有关命题的说法正确的是 (A)命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” (B)“ x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”成立的必要不充分条件
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? ? ? (C)线性回归方程 y ? bx ? a 对应的直线一定经过其样本数据点

? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,…, ? xn , yn ? 中的一个点
(D)若“ p ? q ”为真命题,则“ p ? (?q ) ”也为真命题 开始 5.右边程序框图的程序执行后输出的结果是 (A)24 (B)25 (C)34 (D)35 6.已知几何体的三视图如图所示,可得这个几何体的体积是 (A)4 (B)6 (C)12 (D)18 7.实数 m 是函数 f ( x ) ? 2 x ? log 1 x 的零点,则
2

n = 1,S = 0 S=S+n n=n+2 n >10? 是 输出 S 结束 否

(A) 2 m ? 1 ? m (C) 1 ? m ? 2 m

(B) m ? 2 m ? 1 (D) m ? 1 ? 2 m

8.已知 m ? 0 , n ? 0 ,向量 a ? (1 , 1) ,向量 b ? (m , n ? 3) ,且 a ? (a ? b ) ,则 最小值为 (A)18 (B)16 (C)9 (D)8

1 4 ? m n



9 . 已知函数 f ( x ) ? sin? x ? cos(? x ?

?
6

)(? ? 0) 的图象上相邻两条对称轴间的距离为 ? ,则

f ( x ) 的一个单调减区间是

? 7? (A) , ) ( 6 6 5? ? (C) ? ( , ) 12 12

? 7? (B) ( , ) 12 12 5? ? (D) ? ( ,) 6 6

10.已知数列 {a n } ,若点 ( n,a n ) (n ? N ? ) 在经过点 (8 ,4) 的定直线 l 上,则数列 {a n } 的前 15

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项和 S 15 ? (A)12 (B)32 (C)60 (D)120

11.若等边三角形 ABC 的边长为 2 3 ,该三角形所在平面内一点 M 满足 CM ? CB ? CA , 则 MA? MB 等于 (A) ? 2 (B) ? 1 (C)1 (D)2

1 6

2 3

12 . 已知点 P 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支上一点, F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点, I 为 4 12
1 2 1 2

?PF1F2 的内心,若 S?IPF ? S?IPF ? ?S?IF F 成立,则 ? 的值为
(A)

1 4

(B)

1 3

(C)

2 3

(D)

1 2

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

?y ? x ?1 ? 13.若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? ? x ? 2 , 则目标函数 z ? y ? 2 x 的最大值是 . ?x ? 0 ? 14.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行, 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面
的距离均大于 1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 .

15.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, sin A ? sin C ? 2 sin B ,且 B ?

?
3



若△ABC 的面积为

3 , 则 b 等于 2

.

16.已知棱长等于 2 3 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,它的外接球的球心为 O ,点 E 是 AB 的 中点,点 P 是球 O 的球面上任意一点,有以下判断:①该正方体外接球的体积是 36? ;②异 面直线 OE 与 B1C 所成角为 90 ? ; PE 长的最大值为 3 ? 6 ; ③ ④过点 E 的平面截球 O 的截 面面积的最小值为 6? . 其中所有正确判断的序号是 .

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

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17.(本小题满分 12 分) 已知各项均不相同的等差数列 {a n } 的前四项和 S 4 ? 14 , 且 a1,a3,a7 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式;

? 1 ? (Ⅱ)求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? anan?1 ?

18. (本小题满分 12 分) 某高校在 2012 年的自主招生考试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩,按成绩共分成五

80 85 90 95 100 组:第 1 组 [75, ) ,第 2 组 [80, ) ,第 3 组 [85, ) ,第 4 组 [90, ) ,第 5 组 [95, ] ,
得到的频率分布直方图如图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生为“优秀”,成 绩小于 85 分的学生为“良好”,且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格. (Ⅰ)求出第 4 组的频率,并补全 频率分布直方图; 0.07 0.06 0.05 计样本的中位数; 0.04 0.03 (Ⅲ)如果用分层抽样的方法从“优 0.02 秀”和“良好” 的学生中选出 5 0.01 O 75 80 85 90 95 100分数 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“优秀”的概率是多少? (Ⅱ)根据样本频率分布直方图估
频率/组距

19.(本小题满分 12 分) 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 平 面 ACE ? 平 面 ABCD , 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ,

?ACB ? 90? , EF // BC , AC ? BC ? 2 , AE ? EC ? 1 .
(Ⅰ )求证: AE ? 平面 BCEF ; (Ⅱ )求三棱锥 D ? ACF 的体积. F E A D

B

C

20.(本小题满分 12 分)
2 已知曲线 C 的方程为 y ? 4 x ? x ? 0? ,曲线 E 是以 F1 ?? 1 , 0? 、 F2 ?1 , 0? 为焦点的

椭圆,点 P 为曲线 C 与曲线 E 在第一象限的交点,且 PF2 ? (Ⅰ)求曲线 E 的标准方程;
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5 . 3

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(Ⅱ)直线 l 与椭圆 E 相交于 A , B 两点,若 AB 的中点 M 在曲线 C 上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? b ln x , g( x ) ? ax 2 ? x (a ? R) . (Ⅰ )若曲线 f ( x ) 与 g ( x ) 在公共点 A(1 , 0) 处有相同的切线,求实数 a 、 b 的值; (Ⅱ )在(Ⅰ)的条件下,证明 f ( x ) ≤ g ( x ) 在 0 , ? ?) 上恒成立; ( (Ⅲ )若 a ? 1 , b ? 2e ,求方程 f ( x ) ? g( x ) ? x 在区间 (1 , e b ) 内实根的个数( e 为自然对数 的底数).

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所选的第一题记分.做 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,PA 为⊙ 的切线,A 为切点,PBC 是过点 O 的割线, PA ? 10 , PB ? 5 , ? BAC O

O 的平分线与 BC 和⊙ 分别交于点 D 和 E.
(Ⅰ )求证:

AB PA ; ? AC PC

(Ⅱ )求 AD? AE 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过点 P (1,?5) ,且倾斜角为

?
3

,以原点 O 为极点,

x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,半径为 4 的圆 C 的圆心的极坐标为 (4, ) .

?

2

(Ⅰ )写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程;

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(Ⅱ )试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 1) . (Ⅰ )若 f ( x ) 的最小值为 3,求 a 的值; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,求使得不等式 f ( x ) ? 5 成立的 x 的取值集合.

命题、校对:刘跃忠 宋军梅

凌志永 董英武 孙长青

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数学(文科)参考答案及评分标准
一.选择题:每小题 5 分 题号 1 2 3 答案 C B B 二.填空题:每小题 5 分 13. 2 ; 三、解答题 17.解: )设公差为 d,由已知得 ? (Ⅰ 14. 4 D 5 B 6 B 7 D 8 C 9 A 10 C 11 A 12 D

1 ; 27

15.

2;

16. ①②③.

?4a1 ? 6d ? 14
2

?(a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 6d ) 联立解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍去). ? a1 ? 2. 故 an ? n ? 1 . 1 1 1 1 (Ⅱ ) ? ? ? an an?1 ? n ? 1? (n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2(n ? 2)

.

…………3 分 …………5 分 …………6 分 …………8 分 …………12 分

18.解: )其它组的频率为 (Ⅰ (0.01+0.07+0.06+0.02)×5=0.8, 所以第四组的频率为 0.2, 频率分布图如图:

……3 分

(Ⅱ)设样本的中位数为 x ,则 5 ? 0.01 ? 5 ? 0.07 ? ( x ? 85) ? 0.06 ? 0.5 , 解得 x ?

…… 5 分

260 260 所以样本中位数的估计值为 ……………6 分 3 3 (Ⅲ)依题意良好的人数为 40 ? 0.4 ? 16 人,优秀的人数为 40 ? 0.6 ? 24 人 优秀与良好的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人,良
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好2人 …………………8 分 记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀为事件 M 将考试成绩优秀的三名学生记为 A,B,C, 考试成绩良好的两名学生记为 a,b 从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件包括:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共 10 个基本事件 …………………9 分 事件 M 含的情况是:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共 9 个 ……10 分

9 …………………12 分 10 19.解: )∵ (Ⅰ 平面 ACE ? 平面 ABCD ,且平面 ACE ? 平面 ABCD ? AC
所以 P ( M ) ?

? BC ? AC
? BC ? AE ,

BC ? 平面 BCEF ? BC ? 平面 AEC

…………2 分 …………3 分

又 AC ? 2 , AE ? EC ? 1

? AC2 ? AE 2 ? CE 2 ? AE ? EC

…………4 分 …………………6 分

且 BC ? EC ? C ,∴ AE ? 平面 ECBF .

(Ⅱ)设 AC 的中点为 G,连接 EG,? AE ? CE ? EG ? AC 由(Ⅰ)可知 BC ? 平面 AEC ,? BC ? EG 即 EG ? BC , ? EG ? 平面 A B C D 又 AC ? BC ? C E F/ / B CEF ? 平面 A B C D , , 所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离 即点 F 到平面 ABCD 的距离为 EG 的长

………8 分

…………………10 分

?VD? ACF ? VF ? ACD ? VE ? ACD ? S ΔACD ? 1 AC ? AD ? 2 1 2 ?V D ? A C F? ? 1 ? ? 3 2

1 ? S ΔACD EG 3

1 2 1 EG ? AC ? ? 2? 2 ?1 2 2 2 2 2 即三棱锥 D ? A C F的体积为 6 6

…………12 分

5 2 ,利用抛物线的定义可得 x P ? , 3 3 ?2 2 6? ? …………………2 分 ? P 点的 坐标为 ? , ?3 3 ? ? ? 7 5 7 | PF1 |? ,又由椭圆定义得 2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 4, a ? 2 .………………4 分 3 3 3 2 x y2 2 2 2 ?1; ?b ? a ? c ? 3 ,所以曲线 E 的标准方程为 ? …………………6 分 4 3 (Ⅱ) (方法一)设直线 l 与椭圆 E 交点 A? x1 , y1 ?, B? x2 , y2 ?, A , B 的中点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ? ,
20.解: (Ⅰ)依题意, c ? 1 , | PF2 |? 设直线 l 方程为 y ? kx ? m?k ? 0 , m ? 0?

x2 y2 2 ? ? 1 联立得 ?3 ? 4k ? ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 与 4 3 2 2 由 ? ? 0 得 4k - m ? 3 ? 0 ① 8km 4km ? x0 ? ? 由韦达定理得 x1 ? x 2 ? ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

…………………8 分

y0 ?

3m 3 ? 4k 2

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2

4km 3m 16k (3 ? 4k ) 2 , )代入 y ? 4 x 整理得 m ? ? ②…10 分 2 2 3 ? 4k 9 3 ? 4k 将②代入①得 162 k 2 3 ? 4k 2 ? 81 3 2 令 t ? 4k 2 ?t ? 0? 则 64t ? 192t ? 81 ? 0 ? 0 ? t ? 8 6 6 且 k ? 0 …………………12 分 ?? ?k? 8 8 (方法二)设直线 l 与椭圆 E 交点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , A, B 的中点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? ,
将 M( ?

?

?

?3 x12 ? 4 y12 ? 12 ? 0 ? 将 A, B 的坐标代入椭圆方程中,得 ? ?3 x2 2 ? 4 y2 2 ? 12 ? 0 ? 两式相减得 3? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? 4? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 y ? y2 3x ? 1 ?? 0 , x1 ? x2 4 y0 y ? y2 3 2 ? ? y0 , ? y0 ? 4x0 ,? 直线 AB 的斜率 k ? 1 x1 ? x2 16
? y2 ? 4 x ? 3 x 2 ? 16x ? 12 ? 0 , 由? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0 2 ??3 x ? 2?? x ? 6? ? 0 ,解得 x ? ,或 x ? ?6 (舍) 3 8 2 6 ? y 2 ? 4 x ? ,? y ? ? , 3 3 2 6 2 6 6 3 6 ? y0 ? ( y0 ? 0 ) ,? ? 由题设 ? , ? ? y0 ? 8 16 8 3 3 6 6 即? ?且k ? 0? . ?k? 8 8
21. 解: ) f ?? x ? ? (Ⅰ

…………………7 分 …………………8 分

………………10 分 …………………12 分 …………………2 分

b , g ?? x ? ? 2ax ? 1 . x ∵ 曲线 f ? x ? 与 g ? x ? 在公共点 A?1 , 0 ? 处有相同的切线

? f ?1? ? b ln 1 ? 0 ?a ? 1 ? ∴ ? g ?1? ? a ? 1 ? 0 , 解得, ? . …………………4 分 ?b ? 1 ?b ? 2a ? 1 ? (Ⅱ )设 F ? x ? ? f ? x ? ? g? x ? ? ln x ? x 2 ? x , 1 ? ?2 x ? 1?? x ? 1? 则 F ?? x ? ? ? 2 x ? 1 ? , ……………5 分 x x ∴当 0 ? x ? 1 时, F ??x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, F ??x ? ? 0 ,即 F ?x ? 在 ?0 , 1? 上单调递增, 在 ?1 , ? ? ? 上单调递减. …………………7 分

?

?

∴ F ?x ? 在 ?0 , ? ?? 上的最大值为 F ?1? ? 0 . (Ⅲ )原方程可化为 b ln x ? x ? 0
2

∴ F ? x ? ? f ? x ? ? g? x ? ? 0 ,即 f ? x ? ? g? x ? .

…………………8 分

令 G( x ) ? b ln x ? x 2 ,则 G ' ( x ) ?
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b ? 2x2 ' ,由 G ( x) ? 0 得 x ? ? x

b 2
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? x ? ( 1, e b ) 且 b ? 2e ,? 显然得到
? 由 G ' ( x) ? 0 得 1 ? x ?

b ? e ? 1, e b ? 2

b 2

b b , G ' ( x) ? 0 ,得 ? x ? eb 2 2 b b ) 上单调递增,在 ( , e b ) 上单调递减 ? G (x) 在 (1 , 2 2 b b b b b b b b ? ? ln ? ? (ln ? 1) 时, Gmax ( x ) ? b ln ?当 x ? 2 2 2 2 2 2 2 2 b b b ? b ? 2e ,? ? e ,? ln ? ln e ? 1 ,? G ( )?0 2 2 2 又? G (1) ? -1 ? 0 G(e b ) ? b ln e b ? e 2b ? b 2 ? e 2b ? (b ? e b )(b ? e b ) ? 0 b ? 方程 f ( x ) ? g ( x ) ? x 在区间 (1 , e ) 内有两个实根
…………………12 分 O ? 22.解: 解: )∵ 为⊙ 的切线,∴ PAB ? ?ACP , (Ⅰ PA

……10 分

……12 分

AB PA ? . …………………4 分 AC PC O PA2 ? PB ? PC . (Ⅱ PA 为⊙ 的切线, PBC 是过点 O 的割线,∴ )∵ ……5 分
? 又 ?P ? ?P ,∴ PAB∽ PCA .∴ ?

PA PC ? 20 , BC ? 15 . 又∵ ? 10 , PB ? 5 ,∴

AB PA 1 O BC ? ? ,∵ 是⊙ 的直径, AC PC 2 ?CAB ? 90? .∴ 2 ? AB2 ? BC 2 ? 225,∴ ? 6 5, AB ? 3 5 AC ∴ ……7 分 AC ? 连结 CE ,则 ?ABC ? ?E , 又 ?CAE ? ?EAB ,∴ ACE ∽ ADB , ? AB AD ? ∴ ∴ ? AE ? AB ? AC ? 3 5 ? 6 5 ? 90 . …………………10 分 AD AE AC
由(I)知,

? ? x ?1? ? 23.解(Ⅰ )直线 l 的参数方程是 ? ? y ? ?5 ? ? ? 圆心 C 的直角坐标为 (0 , 4) ……3 分

1 t 2 , t 为参数) ( …………………2 分 3 t 2 2 2 圆 C 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 4) ? 16 …4 分

?x2 ? y 2 ? ? 2 由? …5 分得圆 C 的极坐标方程是 ? ? 8sin ? . …6 分 ? ?y ? ? s i n (Ⅱ )圆心的直角坐标是 (0, 4) ,直线 l 的普通方程是 3x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , ………8 分
圆心到直线的距离 d ?
0?4?5? 3 3 ?1 ? 9? 3 ? 4, 2

…………………9 分 …………………10 分 ………………3 分 …………………5 分

所以直线 l 和圆 C 相离. 24.解: )因为 | x ? 4 | ? | x ? a |? ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 , (Ⅰ 所以 a ? 4 ? 3 ,即 a ? 7或a ? 1

由 a >1 知 a ? 7 ; …………………6 分 (Ⅱ )当 x ? 4 时,不等式化为 ? 2 x ? 11 ? 5 解得: 3 ? x ? 4 …………………7 分 当 4 ? x ? 7 时,不等式化为 3 ? 5 恒成立 所以: 4 ? x ? 7 …………………8 分 当 x ? 7 时,不等式化为 2 x ? 11 ? 5 解得: 7 ? x ? 8 …………………9 分
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综上不等式 x ? 4 ? x ? 7 ? 5 的解集为

?x | 3 ? x ? 8? .

…………………10 分

()

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