等差数列基础+复习+习题+练习)


课题:等差数列
考纲要求:
① ② ③ ④ 理解等差数列的概念. 掌握等差数列通项公式与前 n 项和公式. 能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题. 了解等差数列与一次函数的关系

教材复习
等差数列 定义 等比数列

an?1 ? an ? d

( n ? 1, 2,3 ,…)

an ?1 ?q an

( n ? 1, 2,3 ,…)

通 项 公式 求和 公式

an ? a1 ? ? n ?1? d , an ? am ? ? n ? m? d
n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? Sn ? na1 ? d? 2 2

an ? a1qn?1 , an ? amqn?m
? na1 ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? ? ? 1? q (q ? 1) (q ? 1)

中项 公式 对 称 性 分 段 和 原 理

A? 1 2 (a ? b)
若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq

G ? ? ab
若 m ? n ? p ? q ,则 aman ? a p aq

Sm 、 ? S2m ? Sm ? 、 ? S3m ? S2m ? 成等差数列

Sm 、 ? S2m ? Sm ? 、 ? S3m ? S2m ? 成等比数列

基本知识方法 1. 等差数列的判定方法: ?1? 定义法: an?1 ? an ? 常数( n ? N * ) ? ?an ? 为等差数列;

? 2 ? 中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N * ) ? ?an ? 为等差数列; ? 3? 通项公式法: an ? kn ? b ( n ? N * ) ? ?an ? 为等差数列; ? 4 ? 前 n 项求和法: Sn ? pn2 ? qn ( n ? N * ) ? ?an ? 为等差数列;
2. 等差数列的相关性质:

?1? 等差数列 {an } 中, am ? an ? ? m ? n? d ,变式 d ?

am ? an ; m?n ? 2 ? 等差数列 {an } 的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m ,

仍为等

差数列. 283 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

? 3? 等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ,
若 m ? n ? 2 p ,则 am ? an ? 2a p

? 5? 两个等差数列 {an } 与 {bn} 的和差的数列 {an ? bn } 仍为等差数列. ? 6 ? 若 {an } 是公差为 d 的等差数列,则其子列 ak , ak + m , ak + 2m , L 也是等差数列,
且公差为 md ; {kan } 也是等差数列,且公差为 kd

? 4 ? 等差数列 {an } 中, Sn ? an2 ? bn (其中 a ? 2 d , d ? 0 )

1

? 7 ? 在项数为 2n ? 1 项的等差数列 {an } 中, S奇 =(n+1)a中,S偶 =na中,S2n+1 =(2n+1)a中 ;
在项数为 2 n 项的等差数列 {an } 中 S奇 =nan ,S偶 =nan?1 ,S2n+1 =n(an ? an?1 ) .

?8? 等差数列 {an } 中, ? ?
上; 点

Sn ? ? 也是一个等差数列,即点 ( n , an ) ( n ? N * )在一条直线 ?n?

(n, Sn )
n

( n ? N * )在一条直线上.

? 9 ? 两个等差数列 {an } 与 {bn} 中, S n , T n 分别是它们的前 n 项和,则
典例分析:

an S2 n ?1 . ? bn T2 n ?1

考点一 等差数列的基本计算 问题 1. ?1? ( 01 全国)设数列 {an } 是递增等差数列,前三项的和为12 ,前三项的
积为 48 ,求 a1

? 2 ?( 04 全国Ⅰ文)等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,已知 a10 ? 30 ,
② 若 Sn ? 242 ,求 n

a20 ? 50 , ①求通项 an ;

284 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

考点二 等差数列性质的应用

问题 2. ?1? ( 03 北京春)在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 ,
则 a3 ?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

? 2 ? ( 08 届高三湖南师大附中第二次月考)在等差数列 {an } 中,
a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 ?
A. 24 B. 22 C. 20 D. ? 8

? 3? ( 04 全国理Ⅱ)等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24 , a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,
则此数列前 20 项和等于

A. 160

B. 180

C. 200

D. 220

? 4 ? ( 04 东北三校)设等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,
则 S9 ?

A. 60

B. 45

C. 36

D. 18

考点三 等差数列的函数特征 问题 3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 (Ⅰ)求公差 d 的取值范围;(Ⅱ)指出 S1 , S2 ,…, S12 ,中哪一个值最大,并说明理由

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285 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

问题 4.等差数列 {an } 中, S5 ? ?5 , S10 ? 15 ,求数列 ? ?

Sn ? ? 的前 n 项和 Tn ?n?

考点四 等差数列的判定与证明

问题 5.

已知数列 {an } 的前项和为 Sn ,且 an ? 2Sn ? Sn?1 ? 0 ? n ≥ 2? , a1 ?

1 2

?1? 求证: ? S

?1? ? 为等差数列, ? 2 ? 求 an 的表达式. ? n?

286 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

问题 6.在数列 ?an ? 中, a1 ? ?3 , an ? 2an?1 ? 2n ? 3( n ≥ 2 , n ? N ? ).

?1? 求 a2 , a3 的值; ? 2 ? 设 bn ?

an ? 3 ? (n? N ) ,求证: ?bn ? 是等差数列. n 2

课后作业:
1. 填空: 最后三项的和为 146 , 且所有项的和为 390 , ?1? 若一个等差数列前 3 项的和为 34 ,
则这个数列有 项;

? 2 ? 等差数列前 m 项和是 30 ,前 2 m 项和是100 ,则它的前 3m 项和是

? 3?

若 {an } 是 公 差 为 ?2 的 等 差 数 列 , 如 果 a1 ? a 4? a ???? ?a 2 ?890 , 那 么 7

a4 ? a6 ? a8 ? ? ? ? a ? 5 0

?

2. 含 2n ? 1 个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为 2n ? 1 n ?1 n ?1 n ?1 A. B. C. D. n n 2n n

3. 已知 5 个数成等差数列,它们的和为 5 ,平方和为

85 ,求这 5 个数 9
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287 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

4. 等差数列 {an } 中共有 2n ? 1 项,且此数列中的奇数项之和为 77 ,偶数项之和为 66 ,

a1 ? 1 ,求其项数和中间项.

? 1 ? 5. ( 06 宿迁模拟)已知数列 ?an ? 中 a3 ? 2 , a7 ? 1 ,若 ? ? 为等差数列,则 a11 ? ? an ? 1 ? 1 2 A. 0 B. C. D. 2 2 3

6. ( 06 潍坊模拟)等差数列 ?an ? 中, a1 ? 8 , a5 ? 2 ,若在每相邻两项之间各插入一个
数,使之成为等差数列,那么新的等差数列的公差是

A.

3 3 6 B. ? C. ? 4 4 7

D. ?1

7. 在等差数列 ?an ? 中, 3? a3 ? a5 ? ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则此数列的前 13 项之和等于 A. 13 B. 26 C. 52 D. 156

288 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

8.( 06 江南十校) 已知函数 f ( x) ?

x , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an?1 ? f (an ) ? n ? N *? 3x ? 1 ?1? x x2 xn ?1? 求证:数列 ? a ? 是等差数列; ? 2 ? 记 Sn ? x ? ? ? ? ??? ? ,求 Sn ? x ? . a1 a2 an ? n?

5. ( 06 汕头模拟)已知数列 {an } 中, a1 ?
( n ≥ 2, n ? N * )数列 ?bn ? 满足 bn ?

3 1 ,数列 an ? 2 ? 5 an ?1

?1? 求证:数列 ?bn ? 是等差数列; ? 2 ? 求数列 {an } 的最大项与最小项,并说明理由.

1 ( n ? N * ). an ? 1

289 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

走向高考:
1 1. ( 03 全国)等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33 ,则 n 是 3 A. 48 B. 49 C. 50 D. 51

2.( 02 春高考) 设 ?an ?( n ? N * ) 是等差数列,Sn 是前 n 项和,S5 ? S6 ,S6 ? S7 ? S8 ,
则下列结论错误的是

A. d ? 0

B. a7 ? 0 C. S9 ? S5 D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大项

3. ( 04 福建文)设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 A. 1 B. ?1 C. 2

a5 5 S ? ,则 9 ? a3 9 S5
D.

1 2

4. ( 06 全国Ⅱ)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 A.

S3 1 S ? ,则 6 ? S6 3 S12
D.

3 10

B.

1 3

C.

1 8

1 9

5. ( 06 福建)在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 ? A. 40 B. 42 C. 43 D. 45

6. ( 06 广东)已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15 ,偶数项之和为 30 ,则 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 其公差是

290 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

7. ( 06 陕西文) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S9 等于
A. 18 B. 27 C. 36 D. 45

2 8. ( 06 江西文) 在各项均不为零的等差数列 ?an ? 中,若 an?1 ? an ? an?1 ? 0 (n ≥ 2) ,则

S2n?1 ? 4n ?

A. ?2

B. 0

C. 1

D. 2

9. ( 06 全国Ⅰ文) 设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ?
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

10. ( 06 山东文) 等差数列 ?an ? 中, S4 ? 14 , S10 ? S7 ? 30 ,则 S9 ?

11. ( 03 上海春)设 f ( x) ?

1 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法, 2 ? 2
x

可求得 f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) ?

12. ( 2013 新课标全国Ⅰ) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,
则 m?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

291 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,

13. ( 07 海南)已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 ,则其公差 d ?
A. ?

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

14. ( 07 陕西文)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 2 , S4 ? 10 ,则 S6 等于
A. 12 B. 18 C. 24 D. 42

15. ( 07 辽宁)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 A. 63 B. 45 C. 36 D. 27 a7 ? a8 ? a9 ?

16. ( 2013 全国大纲)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =a22 ,且 S1 , S2 , S4
成等比数列,求 ?an ? 的通项公式.

292 而错过则是永远的遗憾! 不会学会,会的做对. 过错是暂时的遗憾,


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