正切函数的性质和图像课件


学习目标: 1、能画出函数的图象。(重点) 2、掌握正切函数的性质(重点 难点) 3 、正切函数的定义域及正切曲线的渐近线 (易错点)

函数
y
1

y=sinx
y
1

y=cosx
??
?

图像 定义域

?? 2

0
-1

?

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

0
-1

2

?

3? 2

2?

5? 2

x

x ? ? ? 2k? 时, ymax ? 1 x ? 2k? 时, ymax ? 1 2 最值 x ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 x ? ? ? ? 2k? 时,ymin ? ?1 2 x?[- ? ? 2k? , ? ? 2k? ] 函数递增 x?[?? ? 2k? , 2k? ] 函数递增 2 2 单调性 x?[ ? ? 2k? , 3? ? 2k? ] 函数递减 x?[2k? , ? ? 2k? ] 函数递减 2 2
奇偶性
周期 对称性 奇函数 偶函数

值域

y ?[?1,1]

x?R

x?R
y ?[?1,1]

2 对称中心: (k? ,0) k ? Z

2? 对称轴: x ? ? ? k? , k ? Z

2?
对称轴: 对称中心:( ?

x ? k? , k ? Z

2

? k? , 0) k ? Z

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域;

2、正切函数 y ? tan x 是否为周期函数? 由诱导公式知

y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x ? ? ? ? k? ? ( k ? z ) 2
?
2

? f ?x ? ? ? ? tan ?x ? ? ? ? tan x ? f ?x ?, x ? R, x ?

? k? , k ? Z

? 是它的一个周期. ∴ y ? tan x 是周期函数,

思考 3、正切函数 y ? tan x 是否具有奇偶性? 由诱导公式知

? f ?? x ? ? tan ?? x ? ? ? tan x ? ? f ?x ?, x ? R, x ?
正切函数是奇函数.

?
2

? k? , k ? Z

5、回忆正切线的做法:
y
T

y

o

x
(1,0)

A

x
正切线AT

o x(1,0) A
T

x

y

y
T

x

x
(1,0)

o

A
T

x

o

(1,0)

A

x

? ? ?? y ? tan x x ? 利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

二:性质

你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗? y

1
-3?/2 -? -?/2

-1

0

?/2

?

x
3?/2

函数 定义域

值域
周期性 奇偶性 单调性

y=tanx ? {x | x ? k? ? , k ? Z } 2 R T= ? 奇函数 ? ? 增区间 (k? ? , k? ? )k ? Z 2 2

正 切 函 数 图 像
性质 :

渐 近 线

渐 近 线

? k?Z 渐近线方程: x ? k? ? , 2

问 题





问题:
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数?为什么?
A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 内都是增函数。 2 2

在每一个开区间

基础练习
关于正切函数

y ? tan x B , 下列判断不正确的是(



A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值 D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线 段相等

例题分析
例1、比较下列每组数的大小。

(1)tan167 与 tan173
解:
0 0 0

o

o

13π 11π tan() 与 tan() (2) 4 5

? 90 ? 167 ? 173 ? 180
? tan167 ? tan173
0 0

0

?? ? y ? tan x在 ? ,? ? 上是增函数, ?2 ?

规律总结:比较两个正切值大小,关键是 把相应的角 化到y=tanx的同一单调区间内, 再利用y=tanx的单调递增性解决。

巩固练习

1、比较大小:
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π > (2)tan()_____tan() 4 5 0

例题分析
tan x ? 3 例 2 解不等式:

解:

y

3
0 ?

? x
2

3

? ?? ? 由图可知:x ? ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 3 2? ?

巩固练习

1、 解不等式 1+tanx ? 0

2、解不等式:1- tan x ? 0
3 3、解不等式: tan( x ? ) ? 6 3
? ? ? 答案: 1. x ? ? x k ? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? ?
4 2 ? ? ? ? ? ? 2. x ? ? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 2 4 ? ? ? 2? ? ? x ? x k ? ? ? x ? k ? ? , k ? Z ? ? 3. 3 3 ? ?

?

例题分析
例3求函数 y ? tan(

?
2

x?

?
3

) 的定义域、周期和单调区间。
?
? k? ?

解:函数的自变量x应满足 2 3 1 x ? 2k ? 即 K∈Z 3 所以,函数的定义域是{x|x≠2k+1/3,k∈Z}, 由于

?

x?

?
2

K∈Z

f ( x) ? t an( ?
? tan[

?

2

x?

?
3

) ? tan(

?
2

x?

?
3

??)

因此函数的周期为2. ? ? ? ? ? ? k? ? x ? ? ? k? K∈Z 由
2 2 3 2

2

( x ? 2) ?

?
3

] ? f ( x ? 2)
解得

?

5 1 ? 2k ? x ? ? 2k 3 3

K∈Z
5 1 (? ? 2k , ? 2k ), k ? Z 3 3

因此,函数的单调递增区间是

提高练习
?? ? 求函数 y ? tan ? 3 x ? ? 的定义域、值域,并指出它的 3? ? 单调性、奇偶性和周期性;
答案:

1、定义域 2、值域

1 5? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 3 18 ? ? y?R

3、单调性
4、奇偶性 5、周期性

? 1 5? ? ?1 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 18 3 18 ? ?3
非奇非偶函数
最小正周期是

?
3

四、小结:正切函数的图像和性质
? ? 1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 平正 切 线 得 y ? tan x, x ? ( ? , )的 图 象 , 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。

2 、y ? tan x 性质:

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑶ 周期性: ⑵ 值域: R ⑷ 奇偶性:奇函数,图象关于原点对称。

?

(5) 对称性:对称中心:

无对称轴

(6)单调性: 在每一个开区间 π π (- + kπ, + kπ ), k ? Z 内都是增函数。 2 2 ? k?Z (7)渐近线方程: x ? k? ? , 2


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