配套K12高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系知识导航学案

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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
知识梳理 1.我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线. 2.空间两条直线的位置关系有且仅有三种:相交、平行、异面.根据两条直线是否共面,
将它们分成共面直线和异面直线,其中共面直线包括相交、平行.根据两条直线有无公共元素, 也可将它们分为两类:有且仅有一个公共点的是相交,没有公共点的是平行、异面.
3.平行于同一条直线的两条直线平行,公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的传递 性.
4.空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 5.已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O,作直线 a′、b′,我们把 a′与 b′所成的 锐角(或直角)叫做异面直线所成的角.特别地,若两条异面直线所成的角是直角,那么就说这 两条直线互相垂直. 知识导学 空间直线的三种位置关系在现实中大量存在,异面直线概念是本小节的重点和难点.对 于异面直线的学习,应遵循由具体例子到抽象概念的原则,除了正例外,还可借助于反例来进 行剖析. 公理 4 表明了平行的传递性,它可以作为判断两直线平行的依据,同时也给出了空间两 直线平行的一种证明方法.等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的,它是公理 4 的 直接应用. 通过画平行线的方式可把两条异面直线所成的角移到同一平面上,这是求异面直线所成 的角的基本方法. 疑难突破 1.理解异面直线要注意什么问题? 剖析:异面直线是不同在任何一个平面内的直线.要注意异面直线定义中的“任何”两字,它 指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为:在空间中找不到一个平面,使其同时经过 a、b 两条直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,分别在两个平面内的直 线可以平行,可以相交,也可以异面. 2.异面直线的判定? 剖析:要判定两直线是异面直线,只凭空间想象、空间观察是不够的,它有两种判定方法:一是 反证法,二是判定定理. 判定定理:经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线. 所谓两条直线异面,是指这两条直线只能构成空间图形,而不能构成平面图形. 如图 2-1-10 所示,直线 l 经过平面外一点 A 和平面内一点 B,它与 α 内不经过 B 点的直 线 a 是异面直线.
图 2-1-10 对异面直线的概念,除了紧扣定义从正面进行理解外,还可借助于公理 2 的三个推论从 反面去认识.由于经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面;经过两条相交直线或 平行直线都可以确定一个平面,即能够在同一平面内的两条直线有且只有平行和相交两种情 况,所以,两条直线是异面直线等价于这两条直线既不相交也不平行.
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小学+初中+高中+努力=大学 3.异面直线所成的角
剖析:对于两条异面直线 a、b,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,则把 a′与 b′所成 的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).
异面直线所成角的定义向我们展示了两点:一是如何作出所成的角,作两异面直线的平 行线,当然尽管定义中是过空间任意一点 O 作了两条平行线 a′、b′,但在实际应用中,为了 简便,点 O 通常取在两条异面直线中的某一条上,然后只需作另一条的平行线即可.二是两异 面直线所成的角是锐角或直角而绝不能是钝角,这一点应值得注意,如果作平行线后算出的 角是钝角,这时应取其补角作为两异面直线所成的角.
寻找两条异面直线 a、b 所成的角时,要经过空间任意一点 O 作 a′∥a、b′∥b.这里涉 及经过空间任意一点如何引平行线的问题.由公理 2 可知:经过一条直线(在直线上取两点) 及直线外一点有且仅有一个平面,因此,经过直线 a 及空间不在直线 a 上一点 O,可确定一个 平面 α ,在平面 α 内,经过点 O 作 a′∥a,这样的直线 a′就是过直线 a 外一点,平行于直线 a 的直线.
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