高中数学(新人教A版)必修3第一章1.3《算法案例---秦九韶算法》课件_图文

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算 法 案 例

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复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 ( )和( )。

2、两个数21672,8127的最大公约数是 (



A、2709

B、2606

C、2703

D、2706

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新课讲解:

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怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?

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计算多项式f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 当x = 5的值的算法: 算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1

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所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 = 3906 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1

4

算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1
=3125+625+125+25+5+1 = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算。

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算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1
共做了4次乘法运算,5次加法运算。
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《数书九章》——秦九韶算法 设 f (x) 是一个n 次的多项式
f ( x) ? an x ? an ?1 x
n n ?1

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? ? ? a1 x ? a0

对该多项式按下面的方式进行改写:
f ( x) ? an x ? an ?1 x
n n ?1
n?2

? ? ? a1 x ? a0
? ? ? a1 ) x ? a0
n ?3

这是怎样的一 种改写方式? 最后的结果是 什么?

? ( an x

n ?1

? an ?1 x

? ??

? (( an x

n?2

? an ?1 x

? ? ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0

? (?(an x ? an ?1 ) x ? an ?2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a0

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f ( x) ? (?(an x ? an ?1 ) x ? an ? 2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a0

要求多项式的值,应该先算最内层的一次多项式的值,即 然后,由内到外逐层计算一次多项式的值,即
v2 ? v1 x ? an ? 2 v3 ? v2 x ? an ?3
最后的一项 是什么?

v1 ? an x ? an ?1

??
vn ? vn ?1 x ? a0

这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次 多项式的值的方法,称为秦九韶算法。
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秦九韶算法的特点:
通过一次式的反复计算,逐步得出高次多项 式的值,对于一个n次多项式,只需做n次乘法和n 次加法即可。

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例: 已知一个五次多项式为
5 4 3 2

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f ( x) ? 5 x ? 2 x ? 3.5 x ? 2.6 x ? 1.7 x ? 0.8

用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解: 将多项式变形:

f ( x) ? (((( 5 x ? 2) x ? 3.5) x ? 2.6) x ? 1.7) x ? 0.8

按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当x = 5时的值:
v0 ? 5 v1 ? 5 ? 5 ? 2 ? 27 v2 ? 27 ? 5 ? 3.5 ? 138.5 v3 ? 138.5 ? 5 ? 2.6 ? 689.9 v4 ? 689.9 ? 5 ? 1.7 ? 3451.2 v5 ? 3451.2 ? 5 ? 0.8 ? 17255.2

你从中看到了 怎样的规律? 怎么用程序框 图来描述呢?
9

所以,当x = 5时,多项式的值等于17255.2

程序框图:

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开始
输入f(x)的系数: a0,a1,a2,a3,a4a5

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输入x0

?v 0 ? a n ? ?v k ? v k ?1 x ? a n? k ( k ? 1,2, ? , n)

n=1 v=a5

这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤,因此可 用循环结构来实现。

n=n+1
n≤5?
Y

v=vx0+a5-n N

输出v

结束

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另解:(秦九韶算法的另一种直观算法) 多项式的系数

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5

2

3.5

-2.6

1.7

-0.8

+
X5

0
5

25

135

692.5 3449.5 17256

27 138.5 689.9 3451.2 17255.2

多项式的值
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思考:你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗?

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(1)、算法步骤:
第一步:输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的 值. 第二步:将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.
第三步:输入i次项的系数an.

第四步:v=vx+ai, i=i-1.
第五步:判断i是否大于或等于0,若是,则返回第三 步;否则,输出多项式的值v。
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金太阳教育网 www.jtyjy.com (2)程序框图:

开始

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输入n,an,x V=an

i=n-1
i=i-1 v=vx+ai i>=0? N 输出v 结束
输入ai

Y

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(3)程序:

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INPUT “n=”;n INPUT “an=“;a

INPUT “x=“;x
v=a i=n-1

WHILE i>=0
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a

v=v*x+a
i=i-1 WEND

PRINT v
END
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练习:

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1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1

用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。

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课堂小结:
1、秦九韶算法的方法和步骤

2、秦九韶算法的程序框图

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