海南省儋州市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(附解析)

2018-2019 学年度第一学期高一年级期中考试试题 数学

注意事项:

1.本次考试的试卷分为试题卷和答题卷,本卷为试题卷,请将答案和解答写在答题卷指定的位置,在试题

卷和其它位置解答无效.

2.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的) 1.下列关系正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

由集合与元素的关系可得:



由集合与集合的关系可得:



结合所给选项可知只有 A 选项正确. 本题选择 A 选项.

2.集合

的子集中,含有元素 的子集共有

A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个

【答案】B

【解析】

试题分析: 中含有元素 的子集有: 考点:集合的子集.

,共四个,故选 B.

3.已知

则 =( )

A. 3 B. 13 C. 8 D. 18

【答案】C

【解析】

.
-1-

4.若 则当

取最小值时,此时 x,y 分别为( )

A. 4,3 B. 3,3 C. 3,4 D. 4,4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意,分析可得 y=x

(x﹣2)

2,由基本不等式的性质可得 y=(x﹣2)

2≥2

2=4,同时可得 x 的值,即可得答案.

【详解】根据题意,y=x

(x﹣2)

2,

又由 x>2,则 y=(x﹣2)

2≥2

2=4,

当且仅当 x﹣2=1 时,即 x=3 时等号成立,

即 x=3,y=4;

故选:C.

【点睛】本题考查了基本不等式的性质,关键是掌握基本不等式的形式.

5.不等式

A.

B.

【答案】B

【解析】

【分析】

对于 恒成立,那么 的取值范围是( )

C.

D.

分当 a=2 时,符合题意与 a≠2 时,则 a 需满足: 【详解】当 a=2 时,﹣4<0,∴符合题意; a≠2 时,则 a 需满足:

,解得 a 的范围即可.

∴﹣2<a≤2;

,解得﹣2<a<2;

故选 B.

【点睛】考查二次函数的最大值的计算公式,注意讨论二次项的系数是否为 0 的情况,注意结合二次函数图

-2-

象,属于中等题.

6.已知

,其中 a,b 为常数,若

,则 等于( )

A. -26 B. -18 C. 10 D. -10 【答案】D 【解析】 【分析】 先把 x=﹣2 代入代数式 ax3+bx﹣4 得出 8a+2b 的值来,再把 x=2 代入 ax3+bx﹣4,即可求出答案. 【详解】∵f(﹣2)=﹣8a﹣2b﹣4=2 ∴8a+2b=﹣6, ∴f(2)=8a+2b﹣4=﹣6﹣4=﹣10 故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题,在解题时要根据题意找出适量关系是解题的关键.

7.已知不等式

的解集为

,则不等式

的解集为( )

A.



B.



C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|﹣1<x<2},ax2+bx+2=0 的两根为﹣1,2,且 a<0,根据韦达定理,我

们易得 a,b 的值,代入不等式 2x2+bx+a<0 易解出其解集.

【详解】∵不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|﹣1<x<2},

∴ax2+bx+2=0 的两根为﹣1,2,且 a<0

即﹣1+2 ,
(﹣1)×2 , 解得 a=﹣1,b=1 则不等式可化为 2x2+x﹣1<0 ,

解得

,

故选:D.

【点睛】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法,及三个二次之间的关系,其中根据三个二次之间的关

-3-

系求出 a,b 的值,是解答本题的关键.

8.已知函数

使函数值为 5 的 的值是( )

A. -2 B. 2 或 【答案】A

C. 2 或-2

【解析】

【分析】

利用分段函数的性质求解.

D. 2 或-2 或

【详解】∵函数 y

,函数值为 5,

∴当 x≤0 时,x2+1=5,解得 x=﹣2,或 x=2(舍),

当 x>0 时,﹣2x=5,解得 x 故选:C.

,(舍).

【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质的合理运用.

9.设

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

,则 的大小关系是( )

∵a=40.8=21.6,b=80.46=21.38,c=( )-1.2=21.2, 又∵1.6>1.38>1.2,∴21.6>21.38>21.2.
即 a>b>c.故选 A.

10.已知 A.
C. 【答案】B 【解析】 【分析】
-4-

,则 的解析式是( ) B.
D.

利用配方法,把 f( 1)的解析式配方,求出 f(x)的解析式与定义域. 【详解】∵f( 1)=x+2 ,

∴f( 1)=x+2 1﹣1

1,

∴f(x)=x2﹣1;

又∵ 0,∴ 1≥1,

∴f(x)的定义域是{x|x≥1};

即 f(x)的解析式为 f(x)=x2﹣1(x≥1).

故选:B.

【点睛】本题考查了求函数定义域的问题及函数解析式的求法,解题时应根据函数的解析式特点选择适当的

方法,是基础题.

11.定义在 R 上的偶函数 满足:对任意的

等式 A. C. 【答案】A 【解析】

解集是( ) B. D.

,有

,且

,则不

试题分析:∵对任意的 ∈(-∞,0](

),有



∴此时函数 f(x)为减函数,

∵f(x)是偶函数,∴当 x≥0 时,函数为增函数,

则不等式

等价为

∵f(-2)=-f(2)=0,

∴作出函数 f(x)的草图:

,即 xf(x)<0,

则 xf(x)<0 等价为





即 x<-2 或 0<x<2,

故不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,2).

考点:函数单调性的性质

-5-

12.已知函数

A.

B.

【答案】A

【解析】

满足对任意

,都有

C.

D.

成立,则 的取值范围是

试题分析:由题意可得函数为减函数,则有 考点:函数单调性应用.

,解得



二、填空题(每小题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题卡上)

13.已知函数



【答案】

【解析】

试题分析:根据题意,由于函数

上是减函数,则实数 的取值范围是________. 在区间 上是减函数,且其对称轴为 x=1-a,那么

开口向上,可知只要 4

即可,故可知答案为

考点:二次函数的单调性

点评:主要是考查了二次函数单调性的运用,属于基础题。

14.若 【答案】

,则 的值域是______________________.(请用区间表示)

【解析】

【分析】

利用分离参数法即可求解.

【详解】 故 f(x) ,

2



故答案为

.

【点睛】本题考查了分式型函数的值域的求法,属于基础题.

15.已知 是定义在 上的偶函数,且

对 恒成立,当

时,

,则

=__________.
-6-

【答案】 【解析】 【分析】

利用函数的周期性,可得 f( )

,再利用奇偶性即可得出.

【详解】f(x+2)=f(x)对 x∈R 恒成立,∴f( )



∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,





当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,则 f( )



故答案为: .

【点睛】本题考查了函数的周期性与奇偶性,考查了推理能力计算能力,属于中档题.

16.已知函数 在定义域

上是奇函数又是减函数,若

,则 的取值范围是

_________. 【答案】(-2,1)

【解析】

【分析】

根据定义域先建立两个不等关系式,再结合函数的单调性和奇偶性建立关系式,解之即可.

【详解】因为函数 f(x)的定义域是

,又是奇函数,所以有 =-3,a=5.

所以有﹣3 1﹣m 3 ①

﹣3 1﹣m2 3



又 f(x)是奇函数,所以 f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0 可变为 f(1﹣m)<f(m2﹣1)

又 f(x)在(﹣1,1)内是减函数,所以 1﹣m>m2﹣1 ③

由①、②、③得



故答案为(-2,1). 【点睛】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用,以及不等式的求解,属于中档题.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)

17.已知全集







.

(1)求



(2)求

.

-7-

【答案】(1)

(2)

【解析】

试题分析:集合的交集为两集合的相同元素构成的集合,集合的并集为两集合所有元素构成的集合,集合的

补集为全集中除去集合中的元素,剩余的元素构成的集合,本题(1)中先求得 再求与 A 的并集,(2)

中先求得 B,C 两集合的补集,再求其并集

试题解析:(1)依题意有:



,故有



(2)由 考点:集合的交并补运算 18.求下列函数的定义域

;故有

(1) 【答案】(1) 【解析】 【分析】

(2) (2)

(1)根据函数成立的条件有

,即可求出函数的定义域.

(2)由

,即可求出函数的定义域.

【详解】解:(1)由题意知, 所以函数 的定义域是

,得 x 且 x≠-2,

(2)由

,得 x≥0 且

所以函数 的定义域是

. .

【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

19.已知二次函数 满足

,且

.

(1) 求 解析式;

(2)当

时,

,求 的值域;

(3)若方程

没有实数根,求实数 m 取值范围.

【答案】(1) 【解析】 【分析】

;(2) ;(3)

-8-

(1)设 f(x)=ax2+bx+c,a≠0,由 f(0)=1 可求 c,代入 f(x+1)﹣f(x)=2x 可求 a,b,进而可求 f(x).

(2)由(1)得:g(x)=

,x∈[﹣1,1],结合二次函数的图象及性质可求 g(x)的值域.

(3)方程

没有实数根就是

没有实数根,利用判别式直接求得 m 的范围.

【详解】(1)设

可变为

解得

,

,由

得,

代入化简为



所以 解析式为



(2)由(1)可得

∵ 的对称轴 >1,∴ 在



,

即 的值域为



, 上 随 的增大而减小,

(3)方程

没有实数根就是

没有实数根,

所以,

,∴

,∴

∴ 的取值范围是 .

【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,函数零点的判定定理、二次函数的性质应用,属于基

础题.

20.已知函数 (1)判断函数的奇偶性,并加以证明; (2)用定义证明 在 上是减函数; (3)函数 在 上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求写证明过程). 【答案】(Ⅰ)函数 为奇函数;(Ⅱ)略;(Ⅲ) 在(﹣1,0)上是减函数. 【解析】

试题分析:(Ⅰ)首先求函数

定义域并验证其定义域是否关于原点对称,再根据奇函数的定义验



即证;(Ⅱ)根据减函数的定义,证明当



时,总有

即证;

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知函数

为奇函数,其图像关于原点对称,得 在(﹣1,0)上是减函数。

试题解析:(Ⅰ)函数 为奇函数,理由如下:

易知函数 的定义域为:

,关于坐标原点对称.

-9-

又 在定义域上是奇函数.

(Ⅱ)设



,则

∵0<x1<x2<1,∴x1x2<1,x1x2﹣1<0, 又∵x2>x1∴x2﹣x1>0.



,即

因此函数 在(0,1)上是减函数.

(Ⅲ) 在(﹣1,0)上是减函数.

考点:1、奇、偶函数的判定方法;2、函数单调性的判定方法;3、函数的单调区间.

21.某工厂生产的某种产品,当年产量在 吨至 吨之间时,年生产总成本 (万元)与年产量 (吨)之

间的关系可近似地表示成

,问年产量为多少时,每吨的平均成本最低?并求出该最低成

本.

【答案】年产量为 吨时,每吨的平均成本最低,最低为 万元.

【解析】

分析:利用函数的解析式求出平均成本的表达式,利用基本不等式求解即可.

详解:

设每吨的平均成本 (万元/ ),





当且仅当



( )的每吨平均成本最低,且最低成本为 万元.

点睛:本题考查函数的模型的实际应用,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.

22.已知函数 是定义在 上的偶函数,且当 时,

.

- 10 -

(1)已画出函数 在 轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数 的图像,并根据图像写出函数 的

增区间;

⑵写出函数 的解析式和值域.

【答案】(1)函数 的增区间是 ,

.

(2)

.

【解析】

试题分析:(1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,由此补出完整函数 f(x)的图象即可,再由图

象直接可写出 f(x)的增区间;(2)可由图象利用待定系数法求出 x>0 时的解析式,也可利用偶函数求

解析式,值域可从图形直接观察得到

试题解析:(1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,补出完整函数图象如图:………3 分

所以 f(x)的递增区间是(﹣1,0),(1,+∞).………………5 分

(2)设 x>0,则﹣x<0, 所以 f(﹣x)=x2﹣2x, 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(﹣x)=f(x), 所以 x>0 时,f(x)=x2﹣2x,………………9 分

故 f(x)的解析式为 值域为{y|y≥﹣1}………………12 分
- 11 -

………………10 分

考点:二次函数的图象;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间
- 12 -

- 13 -


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