2016高考数学大一轮复习 6.3等比数列及其前n项和教师用书 理 苏教版

§6.3

等比数列及其前 n 项和

1.等比数列的定义 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个 数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·q 3.等比中项 若 G =a·b (ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·q
n-m
2

n-1

.

(n,m∈N ).
*

*

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N ),则 ak·al=am·an.
?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}(λ ≠0),? ?,{an},{an·bn},? ?仍是 ?an? ?bn?

等比数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1;

a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q
6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比 为 q
n

.

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足 an+1=qan(n∈N ,q 为常数)的数列{an}为等比数列.( × ) (2)G 为 a,b 的等比中项?G =ab.( × ) (3)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × ) (5)等比数列{an}的首项为 a,公比为-1,前 n 项和为 Sn,则 S2n=0,S2n-1=a.( √ ) )
2 *

1

1-b 2 3 4 5 (6)1+b+b +b +b +b = .( 1-b

5

× )

1.(2013·江西改编)等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项为 答案 -24 解析 由 x,3x+3,6x+6 成等比数列得, (3x+3) =x(6x+6). 解得 x1=-3 或 x2=-1(不合题意,舍去). 故数列的第四项为-24. 2.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10= 答案 -7 解析 方法一 由题意得
?a4+a7=a1q +a1q =2, ? ? 4 5 2 9 ?a5a6=a1q ×a1q =a1q =-8, ? ? ?q =-2, ∴? ?a1=1 ?
3 3 6 2



.

1 ? ?q3=- , 2 或? ? ?a1=-8, ,

∴a1+a10=a1(1+q )=-7.

9

方法二 由?

? ?a4+a7=2, ?a5a6=a4a7=-8 ?

解得?

?a4=-2, ? ?a7=4 ?

或?

?a4=4, ? ?a7=-2. ?

? ?q =-2, ∴? ?a1=1 ?

3

1 ? ?q3=- , 2 或? ? ?a1=-8,
9

∴a1+a10=a1(1+q )=-7. 3 .(2014·江苏 ) 在各项均为正数的等比数列 {an} 中,若 a2 = 1 , a8 = a6 + 2a4 ,则 a6 的值 是 答案 4 解析 因为 a8=a2q ,a6=a2q ,a4=a2q ,所以由 a8=a6+2a4 得 a2q =a2q +2a2q ,消去 a2q , 得到关于 q 的一元二次方程(q ) -q -2=0,解得 q =2,a6=a2q =1×2 =4. 4.(2013·北京)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q= 和 Sn= 答案 2 2
n+1
2 2 2 2 2 4 2 6 4 2 6 4 2 2



;前 n 项

. -2
2

解析 设等比数列的公比为 q, 由 a2+a4=20,a3+a5=40. 得 20q=40,且 a1q+a1q =20,解得 q=2,且 a1=2. 因此 Sn=
3

a1?1-qn? n+1 =2 -2. 1-q

题型一 等比数列基本量的运算 例 1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 = . .

(2)在等比数列{an}中,若 a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3= 31 答案 (1) 4 (2)4 或-4
3

a1q·a1q =1, ? ? 解析 (1)显然公比 q≠1,由题意得?a1?1-q3? = 7, ? ? 1-q a1=4, ? ? 解得? 1 q= ? ? 2
5

a1=9 ? ? 或? 1 q=- ? 3 ?

(舍去),

1 4?1- 5? 2 a1?1-q ? 31 ∴S5= = = . 1-q 1 4 1- 2
?a1q -a1q=6, ? (2)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),则? 4 ?a1q -a1=15, ?
3

q 2 2 两式相除,得 2= ,即 2q 1+ q 5

1 -5q+2=0,解得 q=2 或 q= . 2
? ?a1=1, 所以? ?q=2 ?

a1=-16, ? ? 或? 1 q= . ? ? 2

故 a3=4 或 a3=-4.

思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q,

an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
(1)已知正项数列{an}为等比数列,且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项,若 a2=2,则 该数列的前 5 项的和为 .

(2)(2014·天津)设{an}是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和.若 S1,S2,
3

S4 成等比数列,则 a1 的值为
1 答案 (1)31 (2)- 2 解析 (1)设{an}的公比为 q,q>0. 由已知得 a4+3a3=2×5a2,



即 a2q +3a2q=10a2,q +3q-10=0, 解得 q=2 或 q=-5(舍去), 又 a2=2, 则 a1=1,

2

2

a1?1-q5? 1×?1-25? 所以 S5= = =31. 1-q 1-2
(2)因为等差数列{an}的前 n 项和为

n?n-1? Sn=na1+ d,
2 所以 S1,S2,S4 分别为 a1,2a1-1,4a1-6. 因为 S1,S2,S4 成等比数列, 1 2 所以(2a1-1) =a1·(4a1-6),解方程得 a1=- . 2 题型二 等比数列的性质及应用 例 2 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值, 且 a6a10+a3a5=41, a4a8=5, 则 a4+a8= (2)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 答案 (1) 51 1 (2)- 2
2 2

. .

S10 31 = ,则公比 q= S5 32

解析 (1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=a8,a3a5=a4, 得 a4+a8=41.因为 a4a8=5, 所以(a4+a8) =a4+2a4a8+a8=41+2×5=51. 又 an>0,所以 a4+a8= 51. (2)由
2 2 2 2 2

S10 31 = ,a1=-1 知公比 q≠1, S5 32 S10-S5 1 =- . S5 32
5

则可得

由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10 成等比数列,且公比为 q , 1 1 5 故 q =- ,q=- . 32 2 思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质

4

“若 m+n=p+q,则 am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解 题时注意设而不求思想的运用. (1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S6∶S3=1∶2,则 S9∶S3= (2)在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则 a41a42a43a44= . .

(3)设数列{an}、{bn}都是正项等比数列,Sn、Tn 分别为数列{lg an}与{lg bn}的前 n 项和,且

Sn n = ,则 logb5a5= Tn 2n+1

.

9 答案 (1)3∶4 (2)1 024 (3) 19 解析 (1)由等比数列的性质: S3, S6-S3, S9-S6 仍成等比数列, 于是(S6-S3) =S3·(S9-S6), 1 S9 3 将 S6= S3 代入得 = . 2 S3 4 (2)方法一 a1a2a3a4=a1·a1q·a1q ·a1q =a1·q =1,①
4 6 2 3 2

a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15
=a1·q =8,② ②÷①:
54 a4 1·q 48 16 =q =8? q =2, 4 a1·q6 40 41 42 43 4 54

又 a41a42a43a44=a1q ·a1q ·a1q ·a1q =a1·q =a1·q ·q
4 6 16 10 4 166 4 6 160

=(a1·q )·(q ) =1·2 =1 024. 方法二 由性质可知,依次 4 项的积为等比数列,设公比为 p, 设 T1=a1·a2·a3·a4=1,

10

T4=a13·a14·a15·a16=8,
∴T4=T1·p =1·p =8? p=2. ∴T11=a41·a42·a43·a44 =T1·p =2 =1 024.
10 10 3 3

S9 lg?a1·a2·?·a9? (3)由题意知 = T9 lg?b1·b2·?·b9?
lg a5 lg a5 = 9= lg b5 lg b5 9 =logb5a5= . 19 题型三 等比数列的判定与证明 例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an+Sn=n.
5
9

(1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 ∵an+Sn=n,① ∴an+1+Sn+1=n+1.② ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴

an+1-1 1 = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2

1 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 ∵cn=an-1, 1 1 ∴首项 c1=a1-1,∴c1=- ,公比 q= . 2 2 1 1 ∴{cn}是以- 为首项,以 为公比的等比数列. 2 2

? 1? ?1?n-1 ?1?n (2)解 由(1)可知 cn=?- ?·? ? =-? ? , 2 2 ? ? ? ? ?2? ?1?n ∴an=1-? ? . ?2?
思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法, 其他方法只用于填空题中 的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. (2)利用递推关系时要注意对 n=1 时的情况进行验证. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由 a1=1 及 Sn+1=4an+2, 有 a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3. 又?
?Sn+1=4an+2, ? ?Sn=4an-1+2, ?

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1, 故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)知 bn=an+1-2an=3·2
n-1



6



an+1 an 3
2
n+1

- n= , 2 4

an 1 3 故{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 4 an 1 3 3n-1 ∴ n= +(n-1)· = , 2 2 4 4
得 an=(3n-1)·2
n-2

.

分类讨论思想在等比数列中的应用 3 * 典例:(14 分)(2013·天津)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),且-2S2, 2

S3,4S4 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; 1 13 * (2)证明:Sn+ ≤ (n∈N ). Sn 6 思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明. 规范解答 (1)解 设等比数列{an}的公比为 q, 因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4,

a4 1 可得 2a4=-a3,于是 q= =- .[3 分] a3 2
3 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 2

an= ×?- ?n-1=(-1)n-1· n.[5 分] 2

3 2

? 1? ? ?

3 2

? 1?n (2)证明 由(1)知,Sn=1-?- ? , ? 2?
Sn+ =1-?- ?n+ Sn ? 2?
1

? 1?

1

? 1?n 1-?- ? ? 2?

1 ? ?2+2 ?2 +1?,n为奇数, =? 1 ?2+2 ?2 -1?,n为偶数. ?
n n n n

[8 分]

7

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = .[10 分] Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = .[12 分] Sn S2 12 1 13 * 故对于 n∈N ,有 Sn+ ≤ .[14 分] Sn 6 温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有: ①已知 Sn 与 an 的关系,要分 n=1,n≥2 两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比 q=1,q≠1 讨论. ③项数的奇、偶数讨论. ④等比数列的单调性的判断注意与 a1,q 的取值的讨论. (2)数列与函数有密切的联系, 证明与数列有关的不等式, 一般是求数列中的最大项或最小项, 可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.

方法与技巧 1.已知等比数列{an} 1 2 (1)数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an},{ }也是等比数列.

an

(2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1. 2.判断数列为等比数列的方法 (1)定义法:

an+1 an * =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N )?数列{an}是等比数列;也可用 =q(q an an-1
*

是不等于 0 的常数,n∈N ,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只 是 n 的初始值不同. (2)等比中项法:an+1=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N )?数列{an}是等比数列. 3.解题中要注意选用等比数列的性质,减少运算量. 失误与防范 1.注意等比数列中的分类讨论. 2.由 an+1=q·an(q≠0),并不能断言{an}是等比数列,还要验证 a1≠0.
2 *

8

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.(2014·重庆改编)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是 ①a1,a3,a9 成等比数列 ②a2,a3,a6 成等比数列 ③a2,a4,a8 成等比数列 ④a3,a6,a9 成等比数列 答案 ④ 解析 设等比数列的公比为 q,因为 = =q ,即 a6=a3a9,所以 a3,a6,a9 成等比数列. 2 .(2014·大纲全国改编 ) 等比数列 {an} 中, a4 = 2 , a5 = 5 ,则数列 {lg an} 的前 8 项和 为 答案 4 解析 数列{lg an}的前 8 项和 S8=lg a1+lg a2+?+lg a8=lg(a1·a2·?·a8)=lg(a1·a8) =lg(a4·a5) =lg(2×5) =4. 3.(2013·课标全国Ⅱ改编)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 = 答案 1 9 .
4 4 4

(填序号).

a6 a9 a3 a6

3

2



解析 设等比数列{an}的公比为 q, 由 S3=a2+10a1 得 a1+a2+a3=a2+10a1, 即 a3=9a1,q =9, 1 4 又 a5=a1q =9,所以 a1= . 9 4.一个等比数列的前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所有项的积为 729,则该数列的 项数是 答案 12 解析 设该等比数列为{an},其前 n 项的积为 Tn, 则由已知得 a1·a2·a3=3,an-2·an-1·an=9, (a1·an) =3×9=3 , ∴a1·an=3,又 Tn=a1·a2·?·an-1·an,
3 3 2



Tn=an·an-1·?·a2·a1,
9

∴Tn=(a1·an) ,即 729 =3 ,∴n=12. 5. 设各项都是正数的等比数列{an}, Sn 为前 n 项和, 且 S10=10, S30=70, 那么 S40= 答案 150 解析 依题意,数列 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成等比数列, 因此有(S20-S10) =S10(S30-S20), 即(S20-10) =10(70-S20), 故 S20=-20 或 S20=30; 又 S20>0, 因此 S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40, 故 S40-S30=80.
2 2

2

n

2

n

.

S40=150.
6.等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为 答案 3 解析 由 a3=2S2+1,a4=2S3+1 得 .

a4-a3=2(S3-S2)=2a3,
∴a4=3a3,∴q= =3. 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,则对任意的 n∈N ,都有 an+2+an+1 -2an=0,则 S5= 答案 11 解析 利用“特殊值”法,确定公比. 由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q,则 a1(q +q-2)=0. 由 q +q-2=0 解得 q=-2 或 q=1(舍去), 则 S5=
2 2 *

a4 a3

.

a1?1-q5? 1-?-2?5 = =11. 1-q 3
.

8. 设等比数列{an}的各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn, 若 a1=1, a3=4, Sk=63, 则 k= 答案 6 解析 设等比数列{an}公比为 q,由已知 a1=1,a3=4, 得 q = =4. 又{an}的各项均为正数,∴q=2. 1-2 而 Sk= =63, 1-2 ∴2 -1=63,解得 k=6. 9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8.
k k
2

a3 a1

10

(1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d, 则由已知得?
?a1+d=2, ? ? ?a1+4d=8.

∴a1=0,d=2.

∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q =a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. ∴{bn}的前 n 项和 Tn= =2 -1. 10.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=4an-3(n∈N ). (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)若数列{bn}满足 bn+1=an+bn(n∈N ),且 b1=2,求数列{bn}的通项公式. (1)证明 依题意 Sn=4an-3(n∈N ),
* * * 2

b1?1-qn? 1×?1-2n? = 1-q 1-2

n

n=1 时,a1=4a1-3,解得 a1=1.
因为 Sn=4an-3,则 Sn-1=4an-1-3(n≥2), 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 4 整理得 an= an-1. 3 又 a1=1≠0,所以{an}是首项为 1, 4 公比为 的等比数列. 3 4 n-1 (2)解 因为 an=( ) , 3 由 bn+1=an+bn(n∈N ), 4 n-1 得 bn+1-bn=( ) . 3 可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1) 4 n-1 1-? ? 3 =2+ 4 1- 3 4 n-1 =3·( ) -1(n≥2), 3
*

11

当 n=1 时也满足, 4 n-1 所以数列{bn}的通项公式为 bn=3·( ) -1. 3 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数

n为
答案 16 解析



a5+a6+a7+a8 4 =q =2, a1+a2+a3+a4

由 a1+a2+a3+a4=1, 1-q 得 a1· =1,∴a1=q-1, 1-q 又 Sn=15,即
n
4

a1?1-qn? =15, 1-q
4

∴q =16,又∵q =2,∴n=16. 2.(2013·福建改编)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,

cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·?·am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是
①数列{bn}为等差数列,公差为 q ; ②数列{bn}为等比数列,公比为 q ; ③数列{cn}为等比数列,公比为 q m ; ④数列{cn}为等比数列,公比为 q m . 答案 ③ 解析 ∵bn=am(n-1)(q+q +?+q ) ∴
2
m 2



m

2m

m

bn+1 amn?q+q2+?+qm? amn m = = =q (常数). 2 m bn am?n-1??q+q +?+q ? am?n-1?

bn+1-bn 不是常数.
又∵cn=(am(n-1)) q ∴
m 1+2+?+m

=(am(n-1)q

m ?1 2

),

m

cn+1 amn m m m m2 =( ) =(q ) = q (常数). cn am?n-1?

3.已知数列{an}是等比数列,a1,a2,a3 依次位于下表中第一行,第二行,第三行中的某一 格内,又 a1,a2,a3 中任何两个都不在同一列,则 an= 第一列 第一行 1 第二列 10 (n∈N ). 第三列 2
*

12

第二行 第三行 答案 2·3
n-1

6 9

14 18

4 8

解析 观察题中的表格可知 a1,a2,a3 分别为 2,6,18, 即{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列, ∴an=2·3
n-1

.
*

4.在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N . (1)证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. (1)证明 由题设 an+1=4an-3n+1, 得 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N . 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1, 且公比为 4 的等比数列. (2)解 由(1)可知 an-n=4
n-1
*


n-1

于是数列{an}的通项公式为 an=4
n

+n,

4 -1 n?n+1? 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= + . 3 2 3 * 5.已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N ),且 S3+a3,S5+a5, .. 2

S4+a4 成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式; 1 * (2)设 Tn=Sn- (n∈N ),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.

Sn

解 (1)设等比数列{an}的公比为 q, 因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列, 所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,

a5 1 2 于是 q = = . a3 4
3 1 又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- . 2 2 故等比数列{an}的通项公式为

an= ×?- ?n-1=(-1)n-1· n. 2

3 2

? 1? ? ?

3 2

13

1 1+ ,n为奇数, ? ? 1? ? 2 (2)由(1)得 S =1-?- ? =? ? 2? 1 1- ,n为偶数. ? ? 2
n n n n

当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小, 3 所以 1<Sn≤S1= , 2 1 1 3 2 5 故 0<Sn- ≤S1- = - = . Sn S1 2 3 6 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大, 3 所以 =S2≤Sn<1, 4 1 1 3 4 7 故 0>Sn- ≥S2- = - =- . Sn S2 4 3 12 7 1 5 * 综上,对于 n∈N ,总有- ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6 5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12

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