2014全国高中数学优质课圆锥曲线起始课教学设计(江西南昌二中高鹏)


“圆锥曲线起始课”教学设计
江西省南昌市第二中学 高鹏

一. 【教学内容解析】
1.圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分,也可以说是核心内容.它是继学习了以直线和圆 为代表的简单图形之后,用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形.圆锥曲线能充分体现解析几 何研究方法. 2.圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体.圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式,而是 运用代数的方法.即以代数为工具解决几何问题,用代数的语言来描述几何图形,把几何问题转化为 代数问题,实施代数运算,求解代数问题,再将代数解转化为几何结论,这一过程体现了从形到数的 数形结合的思想. 3.圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型,同时它的几何性质在日常生活,社会生产以及其 他科学中都有着重要而广泛的应用,宇宙天地的运动,光学仪器,建筑学等等.因此圆锥曲线的学习 对学生进一步理解数学模型的意义,树立观念都非常有价值. 本节课的内容是选自北师大出版社《高中数学选修 2-1》第三章知识的引言部分,属于策略性和 介绍性为主的起始课.

二. 【教学目标设置】
1.知识与技能目标 本节课的主线为圆锥曲线的发展史,从中参插各种情景.通过用平面对圆锥面的不同的截法,产 生三种不同的圆锥曲线,经历概念的形成过程,从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系,通过具体情 境,从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程,理解它们的定义(主要是椭圆). 2.过程与方法目标 初步了圆锥曲线研究的内容;通过动手试验、互相讨论等环节,使学生形成自主学习以及相互 协作的团队精神;通过对具体情形的分析,归纳得出一般规律,让学生具备初步归纳能力;借助实物 模型,通过整体观察、直观感知,使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式,完善思维结构,体会 解析几何的研究方法. 3.情感、态度与价值观目标 通过以圆锥曲线的发展史为主线,设立多种情景引入方式,让学生激发学习圆锥曲线的兴趣, 能够自主学习、自我探索,形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观. 4.重难点 重点:圆锥曲线的发展史及定义,椭圆的定义. 难点:用 Dandelin 双球发现椭圆的定义,通过椭圆的定义类比双曲线定义.

三. 【学生学情分析】
1.这节课的授课对象是高中二年级的学生,他们有较好的学习习惯,有一定的口头和书面表达 的能力.在知识层面上,高一阶段已学习了立体几何空间旋转体中的圆锥,学生具有一定的空间想象 能力, 学生还学习了解析几何中的直线和圆, 具有一定的用解析方法处理问题的能力. 在方法的层面, 学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了数形结合的思想与类比与转化思想. 2.学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难:从空间的圆锥截出平面图形的转化问题,特别是 通过 Dandelin 双球发现椭圆的定义;还有理解椭圆,双曲线定义时点的轨迹及动态问题.

四. 【教学策略分析】
1.整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史,使学生产生兴趣,并以润物细无声的方法安排各种情 景,让学生很自然进入学习圆锥曲线的学习,为后面采用解析的方法学习埋下了伏笔.
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2.由于是起始课,因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型,直观感知、操 作确认,避免过度抽象. 思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用. 3.在处理椭圆定义的环节,创造条件让学生亲自动手画出椭圆,并安排了一系列情节引导学生 在操作过程中注意细节,鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论,鼓励学生表 达自己的见解. 4.从多种具体情形出发,引导学生归纳出一般规律,培养学生的归纳总结能力.采用模型和软 件,使学生的想法能够即时得到实现,所想即所见,快速形成正确认知,提高教学实效性.

五. 【教学过程】
环节 1 .课 题 引 入 教学过程和师生活动 通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线. 意图,理念与备注 1.从实际生活出发,直 观感知各种圆锥曲线的 存在, 使学生在头脑中产 生各种曲线的初步印象, 为下一步的数学抽象做 准备.

2. 特别是 “愤怒的小鸟” 这个抛物线段片让学生 马上产生兴趣, 积极参与 发现与探索, 加深直观印 象.

师生活动:让学生踊跃发言. 2 .复 习 和 准备 1.复习圆锥的形成 1.对以前知识回顾, 教师 引导,学生回顾。 2. 注意新旧知识的联系 与发展, 注重知识的系统 性, 使学生带着为什么要 复习这个知识的疑惑走 入课堂。

2.由圆锥的形成过 程引入圆锥面

注:这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半 ? ,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出不同的曲线留下 知识. 师生活动:教师引导学生回忆知识,尽量让学生口述其过程。 3 .新 课 传 授 介绍圆锥曲线的发展史 1.最初发现 PPT 播放结合教师的介绍:

本课以圆锥曲线的发展 史为主线, 在其中创设各 种情景, 引导学生进入圆 锥曲线的学习 1.由第一个环节“最初
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圆锥曲线的发展史:
1.最初发现
早在公元前5世纪-公元前4世纪,古希腊巧辩学派的数 学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意 角”三大不可能尺规作图问题. 化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积. 立方倍积问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积. 三等分任意角问题——把一个给定的角分为三个相等的角.

发现” 中的古老问题的提 出来介绍圆锥曲线的发 现, 即增加了学生的兴趣 和探索欲望, 又能让学生 感受到数学发展过程中 的魅力.

欧几里得(公元前330-公

高斯(1777年-1855年, 元前275,古希腊数学家) 德国数学家,物理学家)

教师附加介绍: 这些问题在两千多年的时间里, 有多数学大师研究 过,比如早到欧几里得,晚到高斯.直至 19 世纪,这三个作图问 题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出. 不知什么缘故, 数 学的美不在乎它的答案而在于它的方法, “不可解”似乎像是一个 令人失望的答案,然而得到这一结论的思维过程却是极具魅力的, 人们屡遭失败之后, 一方面是从反面怀疑它是否可作; 另一方面就 很自然地考虑跳出尺规作图的框框, 而是借助于另外一些曲线, 是 不是可解决这些问题呢?我们今天学习的圆锥曲线, 就是从这里开 始被发现的。

圆锥曲线的发展史:
1.最初发现
公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研 究“立方倍积”问题 ,用平面截不同的圆锥,发 现了圆锥曲线 .

2.引出圆锥曲线的“雏 形”为了让学生明白探 知的过程, 进一步激发学 生的好奇和兴趣. 为下一 步的“圆锥曲线” 的定 义做好铺垫.

梅内克缪斯(公元前 375-公元前325,古 希腊数学家)

当时,希腊人对平面曲线还缺乏认识, 上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得 到,这就是圆锥曲线的“雏形”.

3. 总结古希腊对圆锥曲 教师附加介绍: 不同的圆锥是轴截面顶角分别为直角, 锐角和钝角, 线的认识 , 说出不足 , 为 但都是拿和母线垂直的平面截圆锥, 从而形成不同的曲线, 这就是 学生以后用解析的方法 圆锥曲线的“雏形” . 进一步学习圆锥曲线的 2.奠基工作 理由顺理成章.

3

圆锥曲线的发展史:
2.奠基工作
阿波罗尼的著作《圆锥曲线论》与欧几 里得的《几何原本》同被誉为古希腊几 何登峰造极之作 ,它将圆锥曲线的性 质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余 地.
总而言之,在古希腊对圆锥曲线的 研究就有一个十分清楚的轮廓,只是由 于没有坐标系统,所以在表达形式上存 在着不容忽视的缺陷.

阿波罗尼(约公元前 262~190年,古希腊数 学家,与欧几里得、阿 基米德齐名.)

4 .创 设 情 景,突 破 概 念 (一)

1.实验:利用手机中的闪光灯,绕线筒和纸板,把光线投影到纸板, 观察影子的变化

1. 学生对手机和绕线筒 非常熟悉,这个试验马上 能引起学生注意,也定会 感叹设计的巧妙和数学 的无处不在. 2. 利用身边的实物来做 个试验,揭示三种曲线的 形成,但对抛物线和双曲 线的显示不足,这为我们 下面的定性分析做了铺 垫

师生活动:让学生参与,看到现象,探究原因. 这里学生很容易认识到这个模型,把圆和椭圆说出,但是对于抛物 线和双曲线的形成和位置的判别不太清楚 .这没有关系,等下还有 定性分析. 2.探讨 问题 1:用过顶点的平面截圆锥面,可能得到哪些曲线? 师生活动:学生很容易回答 “点”,容易忽视“两条相交直线” 问题 2:用不过顶点的平面截圆锥面,可能得到哪些曲线? 师生活动:学生也很容易回答出“圆” 思考:当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时, 还能得到哪些不 同的截线? 师生活动:通过学生上台来控制动画,直观认识不同平面截圆锥 得出的曲线

3.从特殊位置考虑, 培养 学生分类讨论的思想, 提 高数学的严密性.

4.学生先有直观感受, 让 学生动手实验, 通过自主 探索活动, 让学生参与到 教学活动的全过程中来, 体现学生参与的主体地 位,使学生手,脑,口并 用, 主动地获取知识, 培 养学生自主探究学习的 能力
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3.定性的分析总结: 圆锥曲线的定义

探讨

用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面,当平 面与圆锥面的所成角 ? 与轴截面顶角的半角 ? 大小关系不 同时,截线的不同情况如下:

5. 重点的突破在这里显 得很自然,但是对于学生 理解上还是有一定难度, 教师要注意好这个环节.

?

?<? < 2

?

?

0 ?? ??

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(1)椭圆

(2)双曲线

(3)抛物线

椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线.

师生互动:这里对学生而言理解会有一定的困难,教师的讲解要清 晰,细致,不要着急. 5 .创 设 情 景,突 破 概 念 (二) 1. 回 到 圆 锥 曲 线 的 发 展 史 , 阐 述 阿 波 罗 尼 对 椭 圆 的 研 究 发 现

圆锥曲线的发展史: 椭圆:

1. 利用史料和传说小故 事 , 引出椭圆的画法 , 能 提高学生学习的兴趣和 积极性,又能普及数学史 培养正确的价值观.

椭圆上任意一点 M有 | MF1 | ?
阿波罗尼(约公元前 262~190年,古希腊数 学家,与欧几里得、阿 基米德齐名.)

| MF2 |? 常数,(F1 , F2为定点, 后人称为焦点,常数?| F1 F2 | )

2. 联系中国古代的事物和数学家的介绍 , 用一个刘徽传授椭圆画 法的传说故事和自述的“木工师傅做椭圆镜框”一小故事来引出 椭圆的画法.

圆锥曲线的发展史: 椭圆:

2. 在 处 理 画 椭 圆 的 环 节, 创造条件让学生亲自 动手画出椭圆, 并安排了 一系列情节引导学生在 操作过程中注意细节, 鼓 励学生通过动手实验、 独 立思考、 相互讨论等手段 得出结论, 鼓励学生表达 自己的见解.

刘徽(约公元225—295, 魏晋期间伟大的数学家, 他的杰作《九章算术》和 《海岛算经》,是中国最 宝贵的数学遗产.)

3.画椭圆 学生分组利用纸板,钉子和绳子来动手自己画椭圆. 引导学生在画的过程中要注意的细节 ,如绳子要绷直,两个钉子要
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3. 有意安排画出不同的 椭圆为随后的椭圆的性 质研究累计素材.还安排

稳定等细节. 安排其中一个组领到的纸板上两个钉子的绳子已经是绷直的. 在教师展示其他组画的不同形状的椭圆时,这个组的成员会提出问 题:老师,我们组的画不出椭圆,而是画出了一条线段. 借此教师那那组的纸板加以解释,当绳子的长度和两个定点距离相 等时,画出的只是一条线段, 继续提问,当绳子的长度小于两个定点的距离呢? 学生马上反应过来,这时应该画不出任何图形.

一种特殊情况让学生自 己发现并提出问题,加深 学生的印象,培养学生思 维的严密性.

4.总结: 4. 学会有数学语言来描 椭圆的定义: 述定义. 一般地,平面内到两个定点 F1 ,F2 的距离的和等于常数(大于 F1 F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点 F1 ,F2 叫做椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 用数学表达式体现: MF1 ? MF2 ? 2a(2a ? F1 F2 ) 对为什么用 2 a 的表示常数 ,我们后面会知道它的作用 ( 为求标准 方程打下基础) 5.论证: 论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来的椭圆 在圆锥曲线的众多研究者中, 19 世纪的法国数学家 Dandelin 是非 常著名的一位 .19 世纪初,法国数学家 Dandelin 利用与圆锥面和截面均相切的 两个球(Dandelin 双球) ,给出了研究椭 圆定义的一种巧妙的方法. Dandelin 在截面的两侧分别放置一个球, 使它们都与截面相切(切点分别为 F1 , F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的 公共点分别构成圆 O1 和圆 O2. 设点 M 是平面与圆锥面的截线上任一点, 过 M 点作圆锥面的一条母线分别交圆 O1 和圆 O2 于 P,Q 两点. 问题 1:图中所示线段之间的长度有什么关系? 学生:因为过球外一点所作球的切线的长相等,所以 MF1=MP, MF2=MQ, 故 MF1+MF2=MP+MQ=PQ 问题 2:PQ 长有什么特点. (学生思考,教师展示 M 点在截线上运动时的动画.) 学生:PQ 是常数. 总结:截线上任意一点到两个定点 F1 ,F2 的距离的和等于常数. 就是我们刚刚画的椭圆的定义. 例.已知?ABC 中,B(-3,0) ,C(3,0) ,且 AB,BC,AC 成等 差数列.试问:点 A 在一个什么样的圆锥曲线上运动?说明理由 教师巡视学生作答情况,并要学生作答,注意答题细节
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5. 这个环节对学生而言 有一定难度,对空间立体 几何的认知要求颇高,是 本节课的一个难点. 6. 这个环节能让学生体 会到从空间事物抽象到 平面的一个过程,有利于 培养学生的转化能力.

小试牛刀,熟悉定义

6.类比学习 思考:

当平面上的点 M满足MF1 ? MF2 ? 常数 (F1,F2为平面上的两个定点) 时, M将是什么样的轨迹呢?
引入拉链和双曲线 继续以动画为载体,演示拉拉链这个实验,在这个过程让学生发现 问题,并加以总结.

8. 这里安排利用拉链实 验类比推理出双曲线的 定义,不但加深了椭圆定 义的理解和记忆,也为以 后由椭圆类比学习其他 曲线埋下伏笔和打下基 础.

9. 再次利用动态事物帮 助学生理解轨迹的形成.

引导学生从实验抽象出数学性质 10. 注意双曲线的两支 . 培养学生的学习能力, 让 他们学会归纳,学会学 习。

7.由学生类比总结出双曲线定义: 一般地,平面内到两个定点 F1 ,F2 的距离的差的绝对值等于常 数(小于 F1 F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点 F1 , F2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 用数学表达式体现: | MF1 ? MF2 |? 2a(0 ? 2a ? F1 F2 ) 提示学生同样要注意这个定义成立的条件 6 .回 归 数 学史

圆锥曲线的发展史:
PPT 展示结合教师的讲评

1.感受数学发展的漫长 和艰辛.

3.长期停滞
又经过了 500 年,到了 3 世纪,希腊数学家帕普斯在他的著作《汇 篇》中,才完善了关于圆锥曲线的统一定义,并对这一定理进行了 证明。这时,圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了. 在这之后的 13 个世纪里, 整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有 什么进展.

4.有所突破
有两件事促使人们对圆锥曲线的进一步研究
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圆锥曲线的发展史:
4.有所突破
德国数学家开普勒继承了哥白尼 的日心说,揭示出行星按椭圆轨道绕 太阳运行,是圆锥曲线摆脱圆锥而成 为自然界中物体运动的普遍形式.

2.鼓励学生敢于探索, 敢于突破.

开普勒
(1571-1630,德国天文 学家、数学家 )

圆锥曲线的发展史:
4.有所突破
伽利略得出斜抛运动的轨道是抛物线, 突破了静态圆锥曲线的观念.人们开始感到古 希腊人的证明方法太缺乏一般性,几乎每个 定理都是要想出一个特殊的证明方法.于是, 对圆锥曲线的处理方法开始有了变化.

伽利略(1564-1642, 意大利数学家、物理 学家、天文学家)

5.别开生面

圆锥曲线的发展史:
5.别开生面
解析几何的创立,使人们对圆锥曲线的 研究方法不同于以前,而是朝着解析方法的 方向发展.即建立坐标系,得出圆锥曲线的方 程,再利用方程研究圆锥曲线的性质,以摆 脱几何直观而达到抽象化的目标,也可以求 得对圆锥曲线研究的高度概括与统一.在这方 面,笛卡儿等解析几何的鼻祖作出了巨大的 贡献. 笛卡尔(1596-1650,法国数学家、 物理学家,解析几何创始人)

4.由“别开生面”这个阶 段, 介绍我们为什么学习 解析几何,了解其由来, 为后面建立坐标系到求 标准方程, 再来研究其性 质这个过程做了个很好 的铺垫.

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6.系统总结

圆锥曲线的发展史:
6.系统总结
18世纪,牛顿、伯努力和等先后提出不同的坐标系,尤其影 响深刻的是极坐标系,随着坐标系的系统化,关于圆锥曲线性质 研究逐渐系统化起来.

5. 这个是离我们实际最 近的一个阶段,也是和我 们生活最紧密的一个阶 段,再次拿出一些我们现 实生活中的圆锥曲线 ,让 学生再次体会数学的实 际应用.

牛顿(16431727,英国物理学 家,数学家)

伯努利(16231708,瑞士数学 家)

圆锥曲线的发展史:
6.系统总结
欧拉1745年发表的《分析引 论》,被誉为解析几何发展史 上的重要著作,系统地研究了 圆锥曲线的各种情形,并证明 通过坐标变换,一定可以把任 何圆锥曲线化为某种标准形式.
欧拉之后,三维解析几何的研究 蓬勃开展,由圆锥曲线导出了圆 锥曲面.至此,关于圆锥曲线的理 论被广泛应用,直至今天.

6. 这里还讲了个关于欧 拉的小故事,培养学生学 习数学的意志品质.

欧拉(1707-1783,瑞士 数学家、自然科学家)

火电厂及核电站的冷却塔
“嫦娥一号”探月变轨轨道图

冷却塔的轴截面是双曲线,从底部到中部直径变小,是将 蒸汽抽到塔内,防止底部逸出,而上部直径变大,可以降 低上升到顶部热气的流动速度,从而降低抽力,使蒸汽尽 可能的留在塔内,提高冷却回收率.

7 .小 结 8. 作 业

小结: 和学生一起小结通过本节课的学习,你了解到什么? 1. 在 ?ABC 中,BC=2, | AB ? AC |? 1 ,那么点 A 在怎样的曲线 上运动? 2. 已知 ?ABC 中,BC 长为 6,周长为 16,那么顶点 A 怎样的曲 线上运动? 3. 如图,圆 F1 在圆 F2 的内部,且点 F1 , F2 不重合. 求证:与圆 F1 外切,且与圆 F2 内切的圆的圆 心 C 的轨迹是椭圆. 4.(探究题)将一个半径为 R 的篮球放在地 面上,被阳光斜照留下的影子是椭圆 . 如果将光源换成电光源, 那么影子可能是抛物线吗?
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进一步巩固课题的重, 难 点。 让学生在作业中中发 现不足、 弥补不足, 加深 对知识理解, 真正把学到 的知识转化成能力。


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